河北省衡水市第十三中学2023届高三质检(四)理科数学试题(解析版)

PAGE1衡水市第十三中学2023～2023学年第一学期16级质检四考试理数试卷第一卷一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1.直线的倾斜角是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意，取得直线的斜率，进而可求得倾斜角，得到答案．【详解】由题意得，故倾斜角为.应选B.【点睛】此题主要考查了直线的斜率与倾斜角，以及三角函数的求值，其中解答中根据直线的方程，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于根底题．2.设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，〔为虚数单位〕，那么〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得，那么，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，那么，那么根据复数的运算，得.应选A.【点睛】此题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法那么，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于根底题．3.集合，，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得，，再根据集合的运算，即可求解．【详解】由题意，可求得，，那么，所以.应选B.【点睛】此题主要考查了复数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于根底题．4.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，那么以下结论错误的选项是〔〕A.得分在之间的共有40人B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5C.估计得分的众数为55D.这100名参赛者得分的中位数为65【答案】D【解析】【分析】根据频率和为1，求得，根据得分在的频率是0.40，得到A正确；根据得分在的频率为0.5，得到B正确；根据最高的小矩形对应的底边中点为，得到C正确，进而得到答案．【详解】根据频率和为1，计算，解得，得分在的频率是0.40，估计得分在的有人，A正确；得分在的频率为0.5，可得这100名参赛者中随机选取一人，得分在的概率为0.5，B正确；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为，即估计众数为55，C正确，应选D.【点睛】此题主要考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的根本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体那么是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比拟准确，直方图比拟直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.5.直线：与抛物线：，那么“〞是“直线与抛物线恰有一个公共点〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，直线与抛物线恰有一个公共点，满足题意；当直线与抛物线相切时，联立方程组，根据，即可求解，得到答案．【详解】由题意，当时，直线与抛物线相交，恰有一个公共点，满足题意；当直线与抛物线相切时，联立直线与抛物线方程，消去，得，那么，解得.故直线与抛物线恰有一个公共点时，或0.应选A.【点睛】此题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与抛物线位置关系的判定方法，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题．6.抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球〔2个红色，3个黄色，其余为白色〕，抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖。有90人依次进行有放回抽奖，那么这90人中中奖人数的期望值和方差分别是〔〕A.6,0.4B.18,14.4C.30,10D.30,20【答案】D【解析】【分析】根据题意可得中奖的概率，而中奖人数服从二项分布，由此即可得到答案.【详解】由题可得中奖概率为，而中奖人数服从二项分布，故这90人中中奖人数的期望值为方差为应选D.【点睛】此题考查二项分布的判别及其期望和方差的求法，属中档题.7.随机变量，其正态分布密度曲线如下图，假设向长方形中随机投掷1点，那么该点恰好落在阴影局部的概率为〔〕附：假设随机变量，那么，.A.0.1359B.0.7282C.0.8641D.0.93205【答案】D【解析】【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即可得到答案．【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：，故所求的概率为.应选D.【点睛】此题主要考查了几何概型中概率的计算，以及正态分布密度曲线的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的对称性是解答此题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于根底题．8.动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与定圆相切，那么动圆的圆心P的轨迹是()A.线段B.直线C.圆D.椭圆【答案】D【解析】【分析】设切点为M，根据题意，列出点P满足的关系式即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6．那么P点的轨迹是椭圆即得解．【详解】设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到定点A〔﹣3，0〕和定圆圆心B〔3，0〕距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4的椭圆，b==．∴点P的轨迹方程为．故答案为：D【点睛】此题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法，应该熟练并灵巧运用．9.点分别在正方形的边上运动，且，设，，假设，那么的最大值为〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】,又因为,,当且仅当x=y时取等号,,即的最大值为,应选C.10.函数，假设，且满足，，那么的最大值为〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简得，由题意得到，解得，求得，进而得到，即可求解．【详解】由三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式，化简得，根据题意知，，得.，那么，∴，由，得，那么.综上的最大值为.应选B.【点睛】此题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，三角恒等变换的化简，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再由题意得出是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，那么直线的斜率()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为，，，利用椭圆与平行四边形的对称性可得：，联立直线与椭圆方程根据韦达定理求得，即可求得结果【详解】设直线的方程为，，，利用椭圆与平行四边形的对称性可得：联立，可化为，，解得〔时不能构成平行四边形〕，那么直线的斜率应选【点睛】此题考查了平行四边形与椭圆的关系，设直线方程和点坐标，结合椭圆的对称性，联立直线方程与椭圆方程来求解，理解并掌握解题方法。12.定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，假设对任意的正整数均成立，那么实数的取值范围为〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，【详解】由题意，可得当时，；时，，∴当时，的最大值为；又由，∴当时，的最大值为；当时，的最大值为，…，所以当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，得.假设对任意的正整数成立，那么，应选B.【点睛】此题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．二、填空题：此题共4小题，每题5分。13.我国古代数学算经十书之一的?九章算术?有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人.〞假设要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役，那么西乡比南乡多抽出__________人．【答案】80【解析】【分析】根据分层抽样，求得抽样比例，进而求得南乡应抽出的人数和西乡应抽取的人数，即可得到答案．【详解】根据分层抽样，可得抽样比例为，故南乡应抽出人，西乡应抽取人，故西乡比南乡多抽取80人.【点睛】此题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的抽取方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于根底题．14.，记，那么的展开式中各项系数和为__________．【答案】【解析】【分析】根据定积分的计算，得到，令，求得，即可得到答案．【详解】根据定积分的计算，可得，令，那么，即的展开式中各项系数和为.【点睛】此题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得的表示是解答此题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于根底题．15.某市政府决定派遣8名干部〔5男3女〕分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，假设要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，那么不同的派遣方案共有_________种.〔用数字作答〕【答案】180【解析】【分析】由派遣8名干局部成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，分别求得两类分法的种数，再由分类计数原理，即可求解．【详解】由题意，派遣8名干局部成两个小组，每组至少3人，可得分组的方案有3、5和4、4两类，第一类有种；第二类有种，由分类计数原理，可得共有种不同的方案.【点睛】此题主要考查了分类计数原理，及排列、组合的应用，其中解答中根据题意合理分组，分别求得两组分法的种数，再由分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于根底题．16.双曲线的上焦点为，下、上顶点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，，连接交轴于点，假设，，三点共线，那么双曲线的离心率为__________．【答案】5【解析】【分析】根据，得，又由三点共线，得到，所以，整理得，即可求解,得到答案.【详解】设为坐标原点，因为垂直于轴，且,所以，根据，得，即，又由，，三点共线，知，所以，即，整理得，所以双曲线的离心率为，故答案为.【点睛】此题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中把又由三点共线，根据，利用相似求得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在中，角，，的对边分别为，，，且是与的等差中项.〔1〕求角；〔2〕假设，且的外接圆半径为1，求的面积.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕由题意，得，由正弦定理，化简，进而得到，即可求解；〔2〕设的外接圆半径为，求得，利用余弦定理求得，进而利用面积公式，即可求解．【详解】〔1〕因为是与的等差中项.所以.由正弦定理得，从而可得，又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形内角，因此.〔2〕设的外接圆半径为，那么，，由余弦定理得，即，所以.所以的面积为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适宜，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，那么考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．18.抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.〔1〕求抛物线的标准方程；〔2〕假设不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕根据线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，利用抛物线的方程，求解，即可得到抛物线的方程；〔2〕设直线：，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，，再由得，即可得到结论．【详解】〔1〕设，两点的坐标分别为，，那么，，两式相减得.即，又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴.即抛物线的标准方程为.〔2〕设直线：与抛物线：交于点，，那么，，∴，∴，，由得，即，，直线为，∴过定点.【点睛】此题主要考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程与抛物线线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题．19.近年来，随着互联网的开展，诸如“滴滴打车〞“神州专车〞等网约车效劳在我国各城市迅猛开展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在省的开展情况，省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的，两项指标数，数据如下表所示：城市1城市2城市3城市4城市5指标数24568指标数34445经计算得：，，.〔1〕试求与间的相关系数，并利用说明与是否具有较强的线性相关关系〔假设，那么线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合〕；〔2〕建立关于的回归方程，并预测；当指标数为7时，指标数的估计值；〔3〕假设城市的网约车指标数落在区间的右侧，那么认为该城市网约车数量过多，会对城市交通管理带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理，直至指标数回落到区间之内.现2023年11月该城市网约车的指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介入进行治理？试说明理由.附：相关公式：，，，参考数据：，.【答案】〔1〕，与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系；〔2〕，当时，；〔3〕要介入进行治理.【解析】【分析】〔1〕由数据可得，利用公式，求得相关系数，即可作出判断，得到结论；〔2〕由〔1〕，求得和，求得回归直线的方程，代入，即可求得回归方程；〔3〕由，而，即可得到结论．【详解】〔1〕由数据可得，.所以相关系数.因为，所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系.〔2〕由〔1〕可知，，所以与之间线性回归方程为.当时，.〔3〕，而，故2023年11月该城市的网约车已对城市交通带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理.【点睛】此题主要考查了回归直线方程的求解及应用问题，其中解答中，认真审题，正确理解题意，利用公式准确计算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于根底题．20.如图，在底面为矩形的四棱锥中，.〔1〕证明：平面平面；〔2〕假设异面直线与所成角为，，，求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得平面，结合面面垂直的判断定理即可证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的大小是.试题解析：〔1〕证明：由四边形为矩形，得，∵，，∴平面.又，∴平面.∵平面，∴平面平面.〔2〕解：以为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系.设，，那么，，，，所以，，那么，即，解得〔舍去〕.设是平面的法向量，那么，即，可取.设是平面的法向量，那么即，可取，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.21.点是圆：上的一动点，点，点在线段上，且满足.〔1〕求点的轨迹的方程；〔2〕设曲线与轴的正半轴，轴的正半轴的交点分别为点，，斜率为的动直线交曲线于、两点，其中点在第一象限，求四边形面积的最大值.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕由向量的数量积的运算，可得，化简得，利用椭圆的定义，即可求得动点的轨迹方程．〔2〕设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式，求得和，在利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离和点到直线的距离为，得出四边形面积，即可求解．【详解】〔1〕由题意，，∴.∴，∴点的轨迹是以点，为焦点且长轴长为6的椭圆，即，，∴，，∴.即点的轨迹的方程为