福建省宁德市竹管垄乡中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

福建省宁德市竹管垄乡中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.连续地掷一枚质地均匀的骰子2次，则出现向上的点数之和小于4的概率为（

）A．B．C．D．参考答案：B2.如图，在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.已知函数的定义域为,则函数的定义域为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B4.“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

（

）充分不必要条件

必要不充分条件充分必要条件

既不充分也不必要条件参考答案：A略5.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得e==2，即c=2a，又由双曲线的性质可得b=，结合c2=a2+b2，计算可得a2的值，将a2、b2的值代入双曲线方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则e==2，即c=2a，又由右焦点到一条渐近线的距离为，则有b=，又由c2=a2+b2，即4a2=a2+3，则有a2=1，则双曲线的方程为：x2﹣=1；故选：B．6.已知直线x=与椭圆C：（a＞b＞0）交于A、B两点，若椭圆C的两个焦点与A、B两点可以构成一个矩形，则椭圆C的离心率为（）A． B．C． D．参考答案：C【分析】由题意求得A点坐标，将A代入直线方程，利用椭圆的性质，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆C的两个焦点与A、B两点可以构成一个矩形，∴AB=2c，即A（，c），∴?3a2=4c2，?e=，故选：C【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆离心率的求法，考查计算能力，属于中档题7.，则的值为(

)

A.

B.

C.

D.－参考答案：A8.设集合，，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：，，，故选C.考点：集合的运算9.下列四个函数中，在区间，上是减函数的是(

).

.

.

.参考答案：B10.数列{an}满足,且．记数列{an}的前n项和为Sn,则当Sn取最大值时n为（

）A.11 B.12 C.11或13 D.12或13参考答案：C【分析】分的奇偶讨论数列的奇偶性分别满足的条件,再分析的最大值即可.【详解】由题,当为奇数时,,.故.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当为偶数时,.故偶数项为公差为-3的等差数列.又即.又.所以.综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着的增大由正变负.故当取最大值时n为奇数.故n为奇数且此时有,解得.故或.故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.5人排成一列，其中甲、乙二人相邻的不同排法的种数为

．（结果用数字表示）参考答案：48【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步用捆绑法进行分析：①、将甲乙二人看成一个元素，考虑其顺序，②、二人排好后，与剩余三人全排列，分别用排列、组合数公式计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将甲乙二人看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种排法；②、二人排好后，与剩余三人全排列，有A44=24种情况，则一共有2×24=48种不同排法；故答案为：48．12.如图,、为圆的两条割线,若，，，，则

.参考答案：613.从中得出的一般性结论是_____________.参考答案：14.函数(x∈R)的图象为,以下结论中:

①图象关于直线对称;

②图象关于点对称;

③函数在区间内是增函数;

④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.

则正确的是

.(写出所有正确结论的编号)参考答案：①②③15.数列{an}前n项和，则an=______．参考答案：当时，，，两式相减，得．又当时，，不满足，所以．16.已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．参考答案：5【考点】并集及其运算．【分析】求出A∪B，再明确元素个数【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题17.过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60°的直线被圆截得的弦长是．参考答案：考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线的焦点坐标求出直线方程，再求出圆的圆心的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由此能求出弦长．解答：解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），∴过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60°的直线方程为：y=tan60°（x﹣1），即，∵圆的圆心（2，﹣2），半径r=4，∴圆心（2，﹣2）到直线的距离：d==，∴弦长L=2=2=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆相交的弦长的求法，是中档题，解题时要注意抛物线、圆、直线方程、点到直线距离公式等知识点的灵活运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知命题:,;命题:,使得.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.参考答案：或由条件知,对成立,∴;

∵,使得成立.

∴不等式有解,∴,解得或;

∵或为真,且为假,

∴与一真一假.

①真假时,;

②假真时,.

∴实数的取值范围是或.19.有混在一起的质地均匀且粗细相同的长分别为1，2，3的钢管各2根（每根钢管有不同的编号）。现随意抽取3根（每根钢管被抽取的可能性是均等的）。再将抽取的三根钢管首尾相接焊成笔直的一根。（不考虑焊接顺序）

（1）求抽取的3根钢管中恰有两根长度相等的概率；

（2）用表示新焊成的钢管长度（不计焊接误差），求的分布列和期望.参考答案：20.（13分）已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值g（a）．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题．【分析】（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（II）先研究f（x）在区间上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，由题意知x=﹣e时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，∴a=﹣1∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，∵x∈，∴﹣x∈，∴ln（﹣x）∈，①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在上是增函数，fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右减，∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）综上：（14分）【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，中档题．21.某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185）100.100合计1001.00参考答案：【考点】频率分布直方图；频率分布表．【分析】（1）根据频率、频数与样本容量的关系，求出对应的数值，画出频率分布直方图；（2）利用分层抽样原理，求出各小组应抽取的人数；（3）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示；（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：×6=3人；第4组：×6=2人；第5组：×6=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．（3）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，具体如下：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C；其中第4组的2位同学B1，B2至少有一位同学入选的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，B1C，B2C共9种可能；所以其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学入选的概率为P==．22.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形