安徽省安庆市漳湖中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析

安徽省安庆市漳湖中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202—1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的，，，则程序框图计算的结果对应的多项式等于（

）A． B．C. D．参考答案：C2.已知是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，则的方程为（）A．

B．

C.

D．参考答案：C3.定义在R上的函数满足，则（）A.-1 B.0 C.1 D.2参考答案：C【分析】推导出，由此能求出的值．【详解】∵定义在R上的函数满足，∴，故选C．4.一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积是（）A．π+4 B．2π+4 C．π+4 D．π+2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与长方体的组合体．【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与长方体的组合体．半圆柱的底面半径为1，高为2，长方体的棱长分别为1，2，2．所以几何体的体积V=+1×2×2=π+4．故选：C．5.已知函数，点A，B是函数图象上不同的两点，则为坐标原点）的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据分段函数的表达式，分别求出对应切线和双曲线渐近线的倾斜角，结合位置关系判断∠AOB的大小即可．【详解】当x＜0时，y=，则y2=1+x2，当时，，作出函数图象：当x＜0时，y=，则y2=1+x2，即，为双曲线在第二象限的一部分，双曲线的渐近线方程为，若B在双曲线上，则∠BOy的范围是0＜∠BOy＜,设当x≥0时，过原点的切线与f（x）=x2+1，相切，设切点为，则f′（x）=x，即切线斜率k=a，则切线方程为，∵切线过原点，∴，即，得=1，即=，则=，则切线斜率，即切线倾斜角为，则∠AOy的最大值为,即0≤∠AOy≤，则0＜∠AOy+∠BOy＜，即0＜∠AOB＜，故选：A．【点睛】本题主要考查角的范围的求解，结合分段函数的表达式，利用数形结合，求出对应切线的斜率以及双曲线渐近线的倾斜角是解决本题的关键．6.从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)组成一个样本，得到茎叶图如图：甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用表示，标准差分别用表示，则A. B.

C. D.参考答案：C7.设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，则函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个不可能是（）A．f（﹣1） B．f（1） C．f（2） D．f（5）参考答案：C【考点】二次函数的性质．【分析】由题设知，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2．a＞0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）．a＜0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（﹣1）和f（5）．【解答】解：∵对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，∴函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，当a＞0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）．当a＜0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（﹣1）和f（5）．故选B．8.已知m,n是两条不同直线，α,β是两个不同平面，则下列命题正确的是（

）A.若α,β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m,n平行于同一平面，则m与n平行C.若α,β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面参考答案：D9.已知数列为等比数列，且,则=

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.函数y=sin2x图象上的某点P（，m）可以由函数y=cos（2x﹣）上的某点Q向左平移n（n＞0）个单位长度得到，则mn的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求得m=sin（2?）=，故把函数y=sin2x图象上的点P（，），向右平移n个单位，可得Q（+n，），根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上，求得n的最小值值，可得mn的最小值．【解答】解：函数y=sin2x图象上的某点P（，m）可以由函数y=cos（2x﹣）上的某点Q向左平移n（n＞0）个单位长度得到，∴m=sin（2?）=．故把函数y=sin2x图象上的点P（，），向右平移n个单位，可得Q（+n，），根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上，∴m=cos[2（+n）﹣]=cos（2n﹣）=，∴应有2n﹣=，∴n=，则mn的最小值为，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式y对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为

．参考答案：12.已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上.（1）求，；（2）求数列的通项公式；ks5u（3）若，求证数列的前项和．参考答案：解：（1）∵点都在函数的图象上，ks5u∴，

（1分）∴，

（2分）又，∴.

（4分）（2）由（1）知，，当时，

（6分）由（1）知，满足上式，

（7分）所以数列的通项公式为.

（8分）（3）由（2）得

（11分）（12分）

（13分）.

（14分）

13.函数f（x）=，直线y=m与函数f（x）的图象交于四个不同的点，交点横坐标从小到大依次记为a，b，c，d，下列说法正确的是．（请写出所有正确答案的序号）①m∈（3，4）；②abcd∈[0，e4）；③a+b+c+d∈[e5+﹣2，e6+﹣2）；④若关于x的方程f（x）+x=t恰有三个不同实根，则t=3．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【专题】数形结合；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①画出y=f（x）与y=m的图象即可；②，结合图象把abcd的不等式用m表示出来；③同样用m把a+b+c+d表示出来；④若关于x的方程f（x）+x=t恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=﹣x+t有三个不同的交点，画图即可．【解答】解：∵函数f（x）=，即f（x）=，∴函数f（x）的图象如下：若直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[3，4），故①错误；四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b关于x=﹣1对称，∴a+b=﹣2，ab=m﹣3，∴ab∈[0，1），且lnc=2﹣m，lnd=2+m，∴ln（cd）=4，∴cd=e4，∴abcd∈[0，e4），∴②是正确的；由2﹣lnx=4得x=，由2﹣lnx=3得x=，∴c∈（，]，又∵cd=e4，∴a+b+c+d=c+﹣2在（，]是递减函数，∴a+b+c+d∈[e5+﹣2，e6+﹣2）；∴③是正确的；④若关于x的方程f（x）+x=t恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=﹣x+t有三个不同的交点，而直线y=﹣x+3与y=﹣x+均与y=f（x）有三个交点，∴t不唯一．∴故④错误，故正确的是②③，故答案为：②③【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．14.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=

，Sn=

．参考答案：1，【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前n项和．【解答】解：根据{an}为等差数列，S2=a1+a2=a3=+a2；∴d=a3﹣a2=∴a2=+=1Sn==故答案为：1，【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的通项公式，属于容易题．15.如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=．参考答案：π【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论．【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为==1﹣cosa，矩形的面积为，则由几何概型的概率公式可得，即cosa=﹣1，又a∈（0，2π），∴a=π，故答案为：π【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键．16.若在R上可导，，则____________．参考答案：略17.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，且抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M

(I)若△MAB面积的最小值为4，求p的值；

(Ⅱ)在(I)的条件下，若△MAB的三边长成等差数列，求此时点M到直线AB的距离．参考答案：解：（Ⅰ）设，直线，则将直线的方程代入抛物线的方程可得，则，（*）故.因直线为抛物线在点处的切线，则故直线的方程为，同理，直线的方程为，联立直线的方程可得，又由（*）式可得，则点到直线的距离，故，由的面积的最小值为4，可得，故.……………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故，则为直角三角形，故①由的三边长成等差数列，不妨设，可得②联立①，②可得,由，可得，又，，则，故，得此时到直线的距离.………（12分）略19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2﹣（n≥2，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足：b1=4，且bn+1=bn2﹣（n﹣1）bn﹣2（n∈N*），求证：bn＞an（n≥2，n∈N*）；（3）求证：．参考答案：考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得an﹣an﹣1=1，（n≥3，n∈N*），a2=3，从而求出an=．（2）利用数学归纳法进行证明．（3）设f（x）=ln（1+x）﹣x，则，从而ln（1+x）＜x，ln（1+）＜＜=，由此能证明．解答： （1）解：当n≥3时，，①，②①﹣②，得，∴an﹣an﹣1=1，（n≥3，n∈N*），∵a1+a2=2a2+2﹣1，∴a2=3，∴an=．（2）证明：①当n=2时，，不等式成立；②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即bk＞k+1，则当n=k+1时，=bk（bk﹣k+1）﹣2＞2bk﹣2＞2（k+1）﹣2=2k≥k+2，∴当n=k+1时，不等式也成立，由①②，得bn＞an（n≥2，n∈N*）．（3）证明：设f（x）=ln（1+x）﹣x，，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）＜f（0），∴ln（1+x）＜x，∵当n≥2，n∈N*时，=，∴ln（1+）＜＜=，∴ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜=＜，∴．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要注意数学归纳法、裂项求和法的合理运用．20.(本小题满分12分)

如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。

(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;

(Ⅱ)设动圆与相交于四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。参考答案：

【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。21.（