第01讲平面向量的概念及线性运算（原卷版）

第五章《平面向量与解三角形》第01讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.一．平面向量的概念例1．（1）下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量，满足，且与同向，则；③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；④的充要条件是A与C重合，B与D重合.其中错误的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4（2）下列说法正确的是（）A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C．长度相等的向量叫做相等向量D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同（3）设为单位向量，下列命题中：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则，假命题的个数是（

）A．0B．1C．2D．3（4）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是（

）A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|（5）(多选)下列命题正确的有()A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”⇔“四边形ABCD是平行四边形”【复习指导】：平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．二．平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2．（1）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|（2）为非零向量，且，则（

）A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反C． D．无论什么关系均可（3）在四边形ABCD中，，，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．（4）在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（

）A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形（5）为平面上的定点，是平面上不共线的三点，若，则是（

）A．以为底边的等腰三角形B．以为底边的等腰三角形C．以为斜边的直角三角形D．以为斜边的直角三角形（6）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【复习指导】：求已知向量的和或差：=1\*GB3①共起点的向量求和用平行四边形法则；=2\*GB3②求差用向量减法的几何意义；=3\*GB3③求首尾相连向量的和用三角形法则．命题点2向量的线性运算例3．（1）设为所在平面内一点，且满足，则（

）A． B． C． D．（2）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A．B．C．D．【复习指导】：向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．（3）衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且，，，则（

）A． B．C． D．（4）如图，在四边形中，，，，E是边上一点且，F是的中点，则下列关系式不正确的是（

）A． B．C． D．命题点3根据向量线性运算求参数例4．（1）如图，已知中，为的中点，，若，则（）A． B． C． D．【复习指导】：求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．（2）如图，在中，点是上的点，且，且是的中点，与的交点为，又，则实数________.（3）已知G是的重心，点D满足，若，则为（

）A． B． C． D．1（4）中，点满足，若，则___________.三．共线定理的应用例5．（1）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（）A．1B．C．1或D．或（2）已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是()A．λμ＝1 B．λμ＝－1C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2（3）在中，，分别是，的中点，是线段上的一动点（不含两个端点）．若，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．（4）设e1与e2是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．（5）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则______．（6）已知等差数列的前项和为，若直线外一点满足，且三点共线，则____________．（7）中，，E是直线BD上的一点，设，则x＝______（用y表示）；的最小值为______．（8）两个非零向量不共线．=1\*GB3①若，求证：A、B、D三点共线；=2\*GB3②求实数k使与共线．【复习指导】：利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.1．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若，则；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤若，，则；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是（

）

A． B． C． D．2．平面内三个单位向量，，满足，则（

）A．，方向相同 B．，方向相同C．，方向相同 D．，，两两互不共线3．已知非零向量、满足，且，则的形状是（

）A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形4．下列命题中，正确的个数是（

）①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；②若||＝||，则＝或＝－；③若(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线．A．0B．1C．2D．35．设是非零向量，则“”是“与共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．在四边形中，，则一定有（

）A．四边形是矩形 B．四边形是菱形C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形7．在中，，，为的重心，则的值为（

）A．1 B． C． D．28．已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，，则=（

）A． B． C． D．9．中，是的中点，点在边上，且满足，交于点，则=（

）A． B． C． D．10．在中，有下列四个命题：①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形.其中所有正确的命题序号有（

）A．①② B．①④ C．①②③ D．①②③④11．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，且，则（

）A． B． C． D．12．已知，若A、、三点共线，则为（

）A． B． C． D．13．设是向量，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则为（

）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形15．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．16．若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（

）．A．2B．1C．D．17．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（

）A． B． C． D．18．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（

）A． B． C． D．19．在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（

）A． B． C． D．20．已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要21．如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．222．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（

）A． B．3 C． D．23．已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（

）A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心24．已知，是不共线的向量，则是向量，平行的（

）条件A．必要不充分 B．充分不必要C．充分必要 D．既不充分也不必要25．在中，，，交于，，则（

）．A． B． C． D．26．已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心27．设是单位向量，，，，则四边形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形28．（多选）下面的命题正确的有（

）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若，满足且与同向，则D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”29．（多选）下列说法错误的是（

）A．若，则或B．若，，则C．若，，则D．若，，则或30．（多选）若，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则31．（多选）下列有关四边形的形状，判断正确的有（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为梯形C．若，则四边形为菱形D．若，且，则四边形为正方形32．（多选）下列说法中正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．在中，“”，是“”的充要条件C．“a，G，b成等比数列”是“”的充要条件D．“”是“存在一个实数，使得”的必要不充分条件33．（多选）对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（

）A． B．C． D．34．（多选）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（

）A．若，则O是外心 B．若，则P是垂心C．若，则N是重心 D．若，则I是内心35．（多选）等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．36．（多选）已知，，，点M满足且，则（

）A． B．C． D．37．（多选）以下选项中，能使成立的条件有（

）A． B．或C． D．与都