多角度帮你解决圆锥曲线中的问题

精品文档-下载后可编辑多角度帮你解决圆锥曲线中的问题圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用；（2）综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求；（3）计算量大，要求同学们有较高的计算水平和较强的计算能力。

【例1】(选修21，P32，第5题改编)设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，求离心率e的取值范围.

分析本题考虑的角度有很多种。基本的思想还是寻找a,b,c之间的关系。

解解法1：利用曲线范围

设P（x，y），又知F1（－c，0），F2（c，0），

则F1P=(x+c，y)，F2P=(x－c，y).

由∠F1PF2=90°，知F1PF2P，

则F1PF2P=0,

即（x+c）(x-c)+y2=0,

得x2+y2=c2.

将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

x2=a2c2－a2b2a2－b2,

但由椭圆范围及∠F1PF2=90°,

知0≤x2

即0≤a2c2－a2b2a2－b2

可得c2≥b2，即c2≥a2－c2，且c2

从而得e=ca≥22，且e=ca

所以e∈22，1.

解法2：利用二次方程有实根

由椭圆定义知

|PF1|+|PF2|=2a|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.

又由∠F1PF2=90°，知

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,

则可得|PF1||PF2|=2(a2－c2).

这样|PF1|与|PF2|是方程x2－2ax+2(a2－c2)=0的两个实根，

因此Δ=4a2－8(a2－c2)≥0e2=c2a2≥12

e≥22,

因此e∈22，1.

解法3：利用三角函数有界性

记∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，由正弦定理有

|PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin90°

|PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|，

又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，则有

e=ca=1sinα+sinβ=1sinα+cosα=12sinα+π4，

而π4

知22

1

从而可得22≤e

解法4：利用焦半径

由焦半径公式得

|PF1|=a+ex，|PF2|=a－ex，

又由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，所以有

a2+2cx+e2x2+a2－2cx+e2x2=4c2，

即a2+e2x2=2c2，x2=2c2－a2e2，

又点P（x，y）在椭圆上，且x≠±a，

则知0≤x2

得e∈22，1.

解法5：利用基本不等式

由椭圆定义，有2a=|PF1|+|PF2|平方后得4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|

≤2(|PF1|2+|PF2|2)=2|F1F2|2=8c2，

得c2a2≥12，所以有e∈22，1.

解法6：巧用图形的几何特性

由∠F1PF2=90°，知点P在以|F1F2|=2c为直径的圆上.

又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，

故有c≥bc2≥b2=a2－c2，

由此可得e∈22，1.

解法7：利用∠F1PF2的范围

设点B为椭圆的上顶点，则∠F1BF2的范围为π2,π，

所以∠OBF2的范围为π4,π2，

e=sin∠OBF2∈22,1.

点拨1.直接求出a,c或求出a与b的比值，以求解e；

2.构造a,c的齐次式，解出e；

3.寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

牛刀小试

1.(选修21，P33，第6题改编)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.

2.椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且F1MF2M=0,求离心率e的取值范围.

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.

【参考答案】

1.先求出P的坐标，然后由F1PF2为等腰直角三角形，求出离心率为2－1.