波导管与谐振腔的分析

波导管与谐振腔的分析波导管一种空心的、内壁十分光洁的金属导管或内敷金属的管子；波导管用来传送超高频电磁波,通过它脉冲信号可以以极小的损耗被传送到目的地;波导管内径的大小因所传输信号的波长而异；多用于厘米波及毫米波的无线电通讯、雷达、导航等无线电领域。目前常见的有矩形波导管，圆形波导管，半圆形波导管，雷达波导管和光线波导管。和波导具有相同作用的一一同轴电缆同轴电缆由里到外分为四层：中心铜线，塑料绝缘体，网状导电层和电线外皮。中心铜线和网状导电层形成电流回路。因为中心铜线和网状导电层为同轴关系而得名。同轴电缆传导交流电而非直流电，也就是说每秒钟会有好几次的电流方向发生逆转。如果使用一般电线传输高频率电流，这种电线就会相当于一根向外发射无线电的天线，这种效应损耗了信号的功率，使得接收到的信号强度减小。同轴电缆的设计正是为了解决这个问题。中心电线发射出来的无线电被网状导电层所隔离，网状导电层可以通过接地的方式来控制发射出来的无线电。同轴电缆也存在一个问题，就是如果电缆某一段发生比较大的挤压或者扭曲变形，那么中心电线和网状导电层之间的距离就不是始终如一的，这会造成内部的无线电波会被反射回信号发送源。这种效应减低了可接收的信号功率。为了克服这个问题，中心电线和网状导电层之间被加入一层塑料绝缘体来保证它们之间的距离始终如一。这也造成了这种电缆比较僵直而不容易弯曲的特性。电磁波导中存在本征模，纵模以及横模，之所以会出现这几种模结果是因为在计算微波在介质中传输时（尤其是在波导管中）的形态、特征，根据几个主要传输模式定义的模式名称。本征模：对波导的分析需要通过求解麦克斯韦方程组，或其推导形式，即电磁波动方程，再加上由材料及其界面性质所决定的边界条件。这组方程有多个解。每个解也叫做一个模，也就是本征方程组。因此每个模的特性由其本征值决定，而本征值与

波在波导中轴传播速度有关。波导传播的模取决于波长，偏振(极化)，及波导的形状与大小。在空心金属波导中，对于矩形波导，基本模是transverseelectric(横电波)TE1,0模；对于圆形波导，基本模是TE1,1。横模：垂直电磁波传播方向的截面内的模式；纵模：沿传播方向的模式；1.波导管中的电磁波波导管中的波是一系列本证波的叠加，传播电磁波的长直金属管叫做波导管。波导管中传播的电磁波与自由空间的电磁波相比，由于边界条件不同，在性质上也有些不同。设以波导管的轴线为Z轴，则波导管内沿Z轴传播的频率为3的电磁波可表示为—► —►E=E(x,y)ei(kzz—► —►E=E(x,y)ei(kzz-®t)——H=H(x,y)ei(k^-31)0——因E和H满足下列方程(V2—故得a2 a2(一+一+k2-k2)ax2 ay2 z式中k=3，；，kz为k沿z方向的分量。2.TE波和TM波把()式和(4.5.2)式代入麦克斯韦方程组，得VxE=i3^H— 0—VxH=-i3£E< 0—V-E=0V・H=0由此可得，场的横向分量可用纵向(轴向)分量表示如下EoxaH oz-+kay zaE—)^)

axoy(Nck竺-k0 ax z()()()()()()()TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"H二一，(上三.kJ)

oxk2-k2从cdy zdxz0()()Hoy可见，只要知道场的纵向分量E和H()()Hoyozoz由O至（4.5.9）诸式可以看出：波导管内不能传播TEM波（即E=。和H=0的oz oz横电磁波）。波导管内可以传播TE波（即E=。而H丰0的横电磁波）和TM波（即oz ozE。。而H=0的横电磁波）。之所以有这样的区别是因为没有磁荷的存在，磁力线必须oz oz是闭合的，若Hz=0.则Hx,Hy两者都不能为零，而有电荷存在时，电力线可以不闭合，则Ez=0,而Ex,Ey只有一个可以为零。.矩形波导管横截面为矩形的波导管叫做矩形波导管。设管内横截面积为a*b，取坐标如图1-3-4所示，电磁波沿z轴方向传播。TE波由（）至（4.5.9）诸式可知，TE波由电磁场的纵向分量H决oz囹L3"矩形波导管三十2+k2囹L3"矩形波导管三十2+k2-kf 0（）边界条件为x=0x=x=0x=a=0y=0y=b（）由分离变量法可知，（）式满足上述边界条件的解为H=Hcoskxcosky （）oz. 0x y— , m兀， n兀式中H是常量，k=——,k=—-（m,n为正整数或零）。把（）式分别代入（4.5.6）0 xayb至（4.5.9）诸式，得TE波为n兀Nck—i 0 bk2-k2zHn兀Nck—i 0 bk2-k2zHcos(

0n兀x)sin(——y)ei(kz-®t)

b（）旦ck 0 k2-k2z•,m兀sin( （）（）ak2-k2 0z.mi兀、不兀、.，，、sin( x)cos(——y)eMy-®t)ab（）n兀 k m兀 n兀H=-i z——Hcos( x)sin(——y)ei(kzz-①t)ybk2-k2 0a bzm兀 n兀、.，，、H=Hcos( x)sin(——y)e，(kzz-①t)z0a b(2)TM波()()TM波由电场的纵向分量E决定。E满足方程oz oz'S2 S2——+一+k2-k21E1=0oz()边界条件为Eoz二0，Eoz二0，x=0x=aEoz=0y=0y=b()()()()()()()（）式满足上述边界条件的解为E=Esin("x)sin(把y)oz0a b把（）式代入（4.5.6）至（4.5.9）诸式得TM波为m兀 k m兀 nkE=i z——Ecos( x)sin(——y)ei("-①t)xak2-k20abznk k mk nkE=i z——Esin( x)cos(——y)ei(kzz-®t)TOC\o"1-5"\h\zybk2-k20a bzmk nkE=Esin( x)sin(——y)e，(kz-期)z0a bnk k mk nkH=-i Esin( x)cos(——y)exkzz-®t) ()xbNc(k2-k2)0ab0zTOC\o"1-5"\h\zm兀 k m兀 n兀、… 八H=i Ecos( x)sin(——y)exkzz-①t) ()ya从c(k2—k2)0ab0zH=0 ()z.波导管中电磁波的特点(1)波型在波导管内不可能存在TEM波，只能存在TE波或TM波。在波导管的横截面上，场的分布情况取决于m和n这两个常数，每一组m和n的值对应两种独立的波型，分别记为TE和TM波。TOC\o"1-5"\h\zmn mn(2)截止频率模式为(m,n)的电磁波的截止频率为mm兀、 ni兀、3 =Cj(——)2+(―)2 ()c,mn a b当电磁波的频率3<3 时，c,mn7 132「m兀 n兀］k=1-—(—)2+(~r)2I ()zcc2Lab」是虚数，这时传播因子eikzz就变为衰减因子，因而不能在波导管中传播。(3)波长九电磁波在波导管中的波长九比在自由空间中的波长九0长，即、2兀2兀) 八卜二—>—=卜 ()kk0z只有频率大于截止频率或波长小于截止波长的电磁波不能在波导管内传播。(4)相速度和群速度由相因子(kz-31)可得电磁波沿z方向的相速度为z3 3kV=—= >c ()pkkkzz可见，在波导管中电磁波的相速度大于真空中的光速c。但这并不违反相对论，因为电磁波能量传播的速度是群速度，即

d3 kV= =Cr<cgdk kz由以上两式有VV=C2

pg（）（）5.d3 kV= =Cr<cgdk kz由以上两式有VV=C2

pg（）（）5.TE10波波导中最简单也最常用的波型是TE10波。令m=1,n=0,由（）至（4.5.18）诸式的TE10波为（）从ck兀 Hk2-k2az.兀,sin(—x)sin(kz-31)0a（）（）k2-k2a

z兀—H兀sin(—x)sin(kz-31)0a（）（）兀、=Hcos(—x)cos(kz-31)z（）TE10波的截止频率为C（）（）3 =2兀——（）（）C,10 2a相应波长为九二2aC,10这是能够在矩形波导管内传播的电磁波的最长波长TEM波需要两根或者更多导体才能存在，TE和TM波可以在独导体（谐振腔）中存在呢，由于TEM波传播方向上无场分量两导体可看作分开无限远无限大平板对于一个闭合导体（如矩形波导）不存在静电势差（为0或常数）而电场可表示为标势的梯度所以电场e为0而横向电场E与横向磁场H满足关系:ZTEM（波阻抗，是几何尺寸填充介质的函数）=Ex/Hy（若z为传播方向）所以单独导体中TEM波不能存在，两根或以上导体电势差不为0可以传播而TE波TM波传播方向上有Ez或者Hz分量其波阻抗与频率有关。

谐振腔谐振腔:谐振腔的形式很多，最常见的是矩形谐振腔和园柱形谐振腔。在谐振腔内，电磁场可以在一系列频率下进行振荡,其频率大小与谐振腔的形状、几何尺寸及谐振的波型有关。具体根据使用的范围又可分为光学谐振腔、激光谐振腔、电磁谐振腔等等。光学谐振腔的种类及功能按组成谐振腔的两块反射镜的形状以及它们的相对位置，可将光学谐振腔区分为：平行平面腔，平凹腔，对称凹面腔，凸面腔等。按反射镜面的几何形状来区分，谐振腔有平面腔、球面腔、非球面腔（包括柱面腔与全反射棱镜腔）等类型；按腔内振荡波型的横向偏折损耗的不同来区分，有稳定腔（低损耗腔）、非稳定腔（高损耗腔）、亚稳腔等腔型。止匕外，还有色散谐振腔、耦合谐振腔以及波导腔（如光学纤维波导腔）等腔型。光学谐振腔的功能有两个。⑴提供光学正反馈作用，在腔内建立并维持激光振荡过程。激光器内的受激辐射过程通常具有自激振荡的特点，激活物质的自发辐射，在腔内多次通过处于粒子数反转状态的激活物质，从而不断地受到受激辐射的放大,这就是谐振腔的正反馈作用。它使振荡光束在腔内每运行一次，就获得足够的光增益，以克服腔内的各种光损耗和输出光损耗，形成持续的相干振荡。用光子的概念来说，就是保证振荡光子在腔内有足够长的寿命。腔的这个光学正反馈作用，决定于组成腔的两个镜面的反射率、几何形状和它们的组合方式。⑵产生对实际振荡光束的限制作用，即波型限制作用。从几何光学考虑，只有在一定方向范围内或沿一定光路范围行进的光，才可能在腔内往返足够多的次数。并且，由于多光束干涉效应,沿给定光路或给定方向行进的光束，只有波长或频率满足多光束相长干涉条件的光波,才有可能形成有效的持续振荡。这限制了振荡光束的方向和频率，即限制了振荡波型（模式）。谐振腔是各面都由金属壁构成的一个空腔1.矩形谐振腔中的电磁波矩形谐振腔（”x〃xc）谐振腔是各面都由金属壁构成的一个空腔1.矩形谐振腔中的电磁波矩形谐振腔（”x〃xc）如图『3-5所示。解亥姆霍兹方程，并把金属壁当作理想导体，利用边界条件得出：矩形腔内电磁场的振幅为在腔内能够激发各种特定频率3的驻波。JZJz.学谐振腔的作用有：①提供反馈能量，②选择光波的方向和频率式中E=Acoskxsinkysinkzx1 x<E=Asinkxcoskysinkzy2 x()E=Asinkx式中E=Acoskxsinkysinkzx1 x<E=Asinkxcoskysinkzy2 x()E=Asinkxsinkycoskzz3an兀

b

p兀

c（）m、n、p为任意正整数或零。4和A3为任意常数;故A1，A2和A3之间有如下关系:kA+kA+kAx1y2z3（）所以，AiA2和A3之中仅有两个是独立的。2.本征频率3mnp对于每一组（m,n,p）值，谐振腔的本振频率为，/m兀、 ,n兀、 ,p兀、3 =J-(——)2+(―)2+(―-)2mnp a b d（）3.偏振波型对于每一组（m,n,p）值，有两种独立的偏振波型，它们的电场E互相垂直。矩形谐振腔可看做是由轴向长度为d的一根矩形波导管，在两端加上与波导轴线垂直的金属端面构成。由于端面的存在，波导内的场现在有两部分迭加而成：一部分是沿z方向传播的波，另一部分是沿负z方向传播的波。这样对TE波来说，其纵向分量Hz便为― ― m兀、 n兀、 ― ，H=Hcos( x)cos(——y)eikzz+H'cos(-oz0a b 0又因为在端面z=。和z=d上有n 产冗x)cosGr—y