奇偶性的应用

1.3.2第二课时奇偶性的应用1．偶函数任意f(－x)＝f(x)

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的______一个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做偶函数．0练习1：若函数

f(x)＝ax2＋bx是偶函数，则b＝______.解析：∵函数f(x)＝ax2＋bx是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴b＝0.2．奇函数任意f(－x)＝－f(x)

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________一个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做奇函数．

练习2：若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________.－20解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.3．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于________对称．原点y轴(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性______，偶函数在其对称区间上的单调性________．相同相反【问题探究】边的图象．图1-3-3答案：图略．提示：该函数是偶函数，函数图象关于y轴对称．题型1利用函数的奇偶性求函数值【例1】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝()A．4B．3C．2D．1

解析：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得－f(1)＋g(1)＝2①，f(1)＋g(1)＝4②，由①②消掉f(1)，得g(1)＝3.故选B.

答案：B【变式与拓展】2．已知函数f(x)为奇函数，且当

x＞0时，DA．2B．1C．0D．－2解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.题型2利用函数的奇偶性求函数解析式【例3】f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时，有()A．f(x)≤2C．f(x)≤－2B．f(x)≥2D．f(x)∈R思维突破：利用偶函数图象的对称性分析．f(x)的大致图象如图1-3-4，易知当x≤0时，有f(x)≥2.

图1-3-4答案：B利用偶函数的对称性，可根据函数图象在y轴一侧的情况得到y轴另一侧的情况．例4函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式.解设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.【变式与拓展】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间；(3)求当f(x)＝1时的x值.解由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.(2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间；解图象如图所示.单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1).(3)求当f(x)＝1时的x值.当x<0时，－x2－2x＝1，解得x＝－1(满足条件).题型三利用函数的奇偶性与单调性比较大小例5设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)<f(－3)<f(－2) D.f(π)<f(－2)<f(－3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).√跟踪训练3

(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为A.f(1)>f(－10) B.f(1)<f(－10)C.f(1)＝f(－10) D.f(1)和f(－10)关系不定解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1).√(2)已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)<f(－2)，则下列不等式一定成立的是A.f(－1)<f(3) B.f(2)<f(3)C.f(－3)<f(5) D.f(0)>f(1)解析

由题意可得，函数f(x)在[－5,0]上也是单调函数，再根据f(－4)<f(－2)，可得函数f(x)在[－5,0]上是单调增函数，故函数f(x)在[0,5]上是单调减函数，故f(0)>f(1).√题型四利用函数的奇偶性与单调性解不等式例6(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数.若f(－3)＝0，则<0的解集为________________.解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x|－3<x<0或x>3}.{x|－3<x<0或x>3}(2)已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在区间[0,1)上为增函数.若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围.解因为f(a－2)＋f(3－2a)<0，所以f(a－2)<－f(3－2a)，又因为f(x)是奇函数，所以f(a－2)<f(2a－3).又因为f(x)在区间[0,1)上为增函数，所以f(x)在区间(－1,1)上为增函数.所以a的取值范围为(1,2).跟踪训练4设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围.解∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，∴不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|).5.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是