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基于mellin变换的水文频率分布参数估计最大熵法

1总结在水文频率分析中，精确的参数估计对水文频率分布的实际应用具有重要意义。自20世纪70年代将最大信息熵原理引入水文频率计算2指数分布参数估计pome的解析法指数Γ分布概率密度函数式中,x为随机变量;f(x)为概率密度函数;c为位置参数;a为形状参数;β为比例参数;b为变换参数;Γ(*)为伽玛函数。Shannon信息熵定义为:式中,I(f)为信息熵;f(y)为概率密度函数。由式(2)可知信息熵为概率密度函数的函数,事实上可认为I(f)为-lnf(y)的均值。将式(1)代入式(2)得:式中,E[*]为均值。式(4)表达概率归一化,式(5)、(6)分别为函数(x-c)根据最大信息熵原理,推导概率分布的参数和约束条件之间的关系(即POME),一般通过泛函分析,采用Lagrange乘子法对式(5),令:代入式(1)简化得:对式(8)进行Mellin变换,则:式中,M[f;s]为f(y)的Mellin变换;s为参数。对式(9),当s=2、3时:联立式(10)、(11)得:式中,Var[*]为方差。再将式(7)分别代入式(10)、(12)得:对式(6),再令对式(15)分别求s的一阶导数和二阶导数,并取s=1分别得:式中,ψ将式(7)代入式(16)、(17),推导得:以式(13)、(14)、(20)、(21)构成求解a、β、b、c的方程组,即指数Γ分布参数估计的POME。因此,采用Mellin变换可直接推导POME。由于指数Γ分布是一种分布线型族,常用的P-Ⅲ、Γ、K-M、P-V等10余种概率密度函数都是其特殊情形3信息熵函数广义Pareto分布密度函数的形式为:式中,b为尺度参数;c为门限值。将式(22)代入式(2)得广义Pareto分布的信息熵函数式(23)成立的条件为a<0。则其约束条件为:则式(22)变换为:式(28)中s=0时:根据式(15),并分别求s的一阶导数和二阶导数,并令s=1得:将式(26)代入式(29)~(31)得广义Pareto分布的POME可见,采用Mellin变换可推导POME。4二参数对数正态分布密度函数式中,σ为形状参数,σ>0;μ为比例参数,μ∈(-∞,∞)。其信息熵函数为:约束条件为:由约束条件可表达为:对式(35)进行Mellin变换得:根据式(15),进一步推导得:由式(40)得:二参数对数正态分布的POME由式(42)、(43)组成,可见采用Mellin变换推导可行。5应用melin变换推导a.采用Mellin变换代替Lagrange乘子法推导了指数Γ分布、广义Pareto分布和二参数对数正态分布参数估计的POME,求矩推演过程证明,该方法比Lagrange乘子法更加直接、简单、快捷。因此,可作为推导POME的有效方法之一。b.应用Mellin变换推导POME,当指定的约束条件包括一些待定参数,仅用约束条件方程式不够求参,还需增补除方差方程式

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