数学人教A版高中必修一（2019新编）5-1-1任意角（分层作业）

5.1.1任意角（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据任意角的概念计算可得.【详解】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为．故选：C2．（2022·全国·高一课时练习）平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（

）A．第一象限角一定不是负角B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．钝角的终边在第二象限【答案】D【分析】根据象限角与角的定义逐个选项辨析即可.【详解】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．故选：D．3．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）将化为的形式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.【详解】由知.故选：B.4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）若={α|，B={第一或第四象限角}，则A、B关系为（

）A．A=B B．AB C．AB D．非A、B、C结论【答案】D【分析】在集合与中举例说明即可判断.【详解】集合中，若，不属于第一或第四象限角，即.集合中，若，是第一象限角，但.综上，集合与没有关系.故选：D5．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出与角终边相同的角的集合，取值得答案.【详解】解：与角终边相同的角的集合为，取时，.故选：D6．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，则集合M，N的关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】两个集合分别用列举法表示即可求解.【详解】由于，，所以，故选：B.7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）2022°是第（

）象限角．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【分析】将表示为（）的形式，由此确定正确答案.【详解】，所以是第三象限角.故选：C8．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角，则符合条件的最大负角为（

）A．–22º B．–220º C．–202º D．–158º【答案】A【分析】由，求出的范围，即可求解【详解】因为，所以，又，所以当时，最大负角为，故选：A9．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．是第二象限的角 D．是终边相同的角【答案】D【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解【详解】对于A：当角为是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；对于B：分别取第一象限的角为，第二象限角，此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；对于C：是第三象限的角，故C错误；对于D：因为，所以是终边相同的角，故D正确；故选：D10．（2022·全国·高一课时练习）设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由是第三象限角，求出所在的象限，再由，可得出答案.【详解】因为是第三象限角，所以，，所以，，则是第二或第四象限角，又，即，所以是第四象限角.故选：D．11．（2022·全国·高一课时练习）若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】只有当角的终边与在直线上时，与函数的图象无交点，其余情况一直有交点，结合选项可得答案．【详解】当角的终边与直线重合时，角的终边与函数的图象无交点.又因为角的终边为射线，所以，.故选：C12．（2022·全国·高一课时练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据终边相同的角分别表达出，再分析，即可.【详解】利用终边相同的角的关系，得，.则与有关，故AC错误；又．因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用表示，所以.故选：D．13．（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先确定的倾斜角为，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．故选：B二、多选题14．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知是第一象限角，那么可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】AC【分析】由的范围求出的范围，即可判断；【详解】解：是第一象限角，，，，，当取偶数时，是第一象限角，当取奇数时，是第三象限角，故选：AC．15．（2022·全国·高一）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则角的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据终边相同角的公式求解即可．【详解】；；，故角为与角终边相同的角．故选：AC16．（2022·安徽·界首中学高一期末）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【答案】AB【分析】由与关于x轴对称，判断A选项；由已知得，，再根据不等式的性质可判断B选项；由是第一象限角判断C选项；由不等式的性质可得，，由此可判断D选项．【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确；因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C选项错误；因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．故选：AB.三、填空题17．（2022·全国·高一课时练习）将一条射线绕着其端点顺时针旋转，再逆时针旋转，最后形成的角的度数为______．【答案】【分析】根据正负角的定义可直接求得结果.【详解】顺时针旋转所成的角为负角，逆时针旋转所成的角为正角，经两次旋转后形成的角的度数为．故答案为：.18．（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．【答案】一【分析】利用象限角的定义进行求解.【详解】若α是第二象限角，则，，所以，，即，，所以180°－α是第一象限角．故答案为：一.19．（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）【答案】（答案不唯一）【分析】终边相同的角，相差的整数倍，据此即可求解【详解】∵，当时，，∴与终边相同的角可以为，故答案为：222°（答案不唯一）20．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.【答案】【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可.【详解】因为，，结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为.故答案为:.21．（2022·全国·高一）在直角坐标系中，轴在正半轴上一点依逆时针方向作匀速圆周运动，若点一分钟转过角，分钟到达第三象限，分钟回到原来位置，则______.【答案】【分析】根据分钟回到原来位置和可知角速度可能为、和，根据分钟到达第三象限可确定角速度为，由此可得.【详解】由题意知：点的角速度为，又，或或；当时，角速度为，则分钟到达的位置，不在第三象限，不合题意；当时，角速度为，则分钟到达的位置，位于第三象限，符合题意；当时，角速度为，则分钟到达的位置，位于第四象限，不合题意；.故答案为：.四、解答题22．（2022·全国·高一课时练习）已知.(1)写出与角终边相同的角的集合；(2)写出在内与角终边相同的角.【答案】(1)(2)，，【分析】（1）根据任意角的定义，即旋转周期，可得答案.（2）由（1）结论，可得，解出的值，即可得到答案.（1）与角终边相同的角的集合为.（2）令，得.又，∴k=-2，-1，0，∴在内与角终边相同的角是，，.23．（2022·全国·高一课时练习）求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角.【答案】最小正角为，最大负角为，角是第四象限角【分析】由可确定其为第四象限角，结合终边相同的角的表示法可确定最小正角和最大负角.【详解】，角是第四象限角，与角终边相同的角可以表示为，当时，；当时，；与角终边相同的最小正角为，最大负角为.24．（2022·全国·高一课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可.（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.（2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）以下式子符号为负的有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用终边相同的角，分别判断有关角所在的象限，再判断该角有关三角函数的符号，即可判断式子的符号，进而得出答案.【详解】对于A，因为108°角是第二象限角，所以，又305°角是第四象限角，所以，所以，所以A正确；对于B，因为角是第二象限角，角是第四象限角，角是第二象限角，所以，，，从而，所以B不正确；对于C，因为191°角是第三象限角，所以，，所以，所以C不正确.对于D，因为，，，所以，，，所以，所以D不正确.故选：A.2．（2022·河南新乡·高一期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A3．（2021·全国·高一专题练习）若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【分析】根据题意求出的范围即可判断.【详解】由题意知，，，则，所以，．当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．所以是第二或第四象限角.故选：D.4．（2022·全国·高一课时练习）设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】.表示终边在直线上的角，表示终边在直线上的角，而表示终边在四条射线上的角，

四条射线分别是射线，

它们构成直线、直线，故.故选：D.【点睛】本题考查终边相同的角，注意的终边与的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.5．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）终边在直线上的角的集合为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出终边在上的度数，即可得到结论．【详解】在[0，2π]内终边在直线上的角为和，则终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝2kπ或2kπ}，k∈Z，即{α|α＝kπ，k∈Z}，故选B．【点睛】本题主要考查终边相同角的表示，熟记特殊角是关键，比较基础．6．（2022·全国·高一课时练习）若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.详解：若是第一象限角，则：位于第一象限，位于第二象限，位于第四象限，位于第三象限，本题选择C选项.点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度.二、多选题7．（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高一阶段练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【分析】先写出角的范围，再除以，从而求出角的范围，分析即得解【详解】是第三象限的角，则，，所以，；当，，在第一象限；当，，在第三象限；当，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD8．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中不正确的是（

）A．终边经过点的角的集合是B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角D．，，则【答案】BC【分析】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是，正确；对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是，错误；对于选项C：若，不是第一象限角，错误；对于选项D：而表示的奇数倍，，而表示的整数倍，所以，正确．故选：BC9．（2022·新疆·和硕县高级中学高一期末）若是第二象限的角，则的终边所在位置可能是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABD【分析】用不等式表示的范围，求得的范围后确定其所在象限．【详解】是第二象限的角，则，，，，当时，是第一象限角，当时，是第二象限角，当时，是第四象限角，故选：ABD．【点睛】结论点睛：本题考查象限觚判断，掌握各象限角的表示是解题关键．第一象限角：，，第二象限角：，，第三象限角：，，第四象限角：，．另外还有非象限角，即终边在坐标轴的轴线角．三、填空题10．（2022·江苏淮安·高一期末）数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是________．【答案】##【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得，则AB=BC=AC=2，故扇形的面积为，由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为．故答案为：或．11．（2022·全国·高一课时练习）（1）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_______，分针转过的角的度数为__________．（2）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则_________．【答案】

【解析】（1）计算出指针单位时间内走过的度数→乘以时间．（2）→→【详解】（1）从时针和分针每小时或每分钟转过的角度数切入，时针每小时转，分针每小时转，每分钟转、时针、分针都按顺时针方向旋转，故转过的角度数都是负的，3小时20分即小时，故时针转过的角度数为；分针转过的角度数为．（2）由角的定义可得．故答案为：；；．【点睛】本题考查任意角的概念，注意角的正负与顺逆时针旋转的规定．12．（2022·全国·高一课时练习）已知点P位于x轴正半轴上,射线OP在1秒内转过的角为,经过2秒到达第三象限,若经过14秒后又恰好回到出发点,则________.【答案】或【解析】根据2秒到达第三象限，可确定，结合得范围，经过14秒后又恰好回到出发点可得，联立条件即可求出.【详解】且,必有,.又,,,即,或5.故或.故答案为：或【点睛】本题主要考查了角的旋转，象限角，终边相同的角，属于中档题.四、解答题13．（2022·全国·高一）如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2s达到第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，求θ.【答案】或.【分析】由题得90°<θ<135°，求出θ＝，解不等式90°<<135°即得解.【详解】∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°，k∈Z，则一定有k＝0，于是90°<θ<135°.又∵14θ＝n·360°(n∈Z)，∴θ＝，从而90°<<135°，∴<n<，∴n＝4或5.当n＝4时，θ＝；当n＝5时，θ＝.所以或.14．（2021·全国·高一课时练习）已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)的长；(2)扇形所含弓形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）先将角度化成弧度，结合即可求解；（2）采用间接法，分别求出和，由即可求解.(1)∵，∴，∴的长为；(2)∵，如图所示，过点O作，交AB于点D，于是有．∴弓形的面积为．15．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）【答案】（1）；（2）或.【分析】由图①可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，由此可求出阴影部分内的角的集合；由图②可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，由阴影部分内的角的集合为.【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为；如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1=，M2=.所以阴影部分内的角的集合为或.16．（2021·全国·高一课时练习）若是第一象限角，问，，是第几象限角？【答案】是第四象限角；是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；是第一、二或第三象限角．【分析】根据已知写出角的取值集合，再分别求出，，集合即可得到答案．【详解】因为是第一象限角，所以，所以，所以所在区域与范围相同，故是第四象限角；，所以所在区域与范围相同，故是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；．当时，，所以是第一象限角；当时，，所以是第二象限角；当时，，所以是第三象限角．综上可知：是第一、二或第三象限角．【点睛】方法点睛：若已知角是第几象限角，判断等是第几象限角，主要方法是解不等式并对进行分类讨论，考察角的终边的位置．17．（2022·全国·高一课时练习）（1）如果角的终边在第二象限，讨论的终边所在的位置；（2）由此可否得出在其他几个象限的结论？请画出的终边在第一､二､三､四象限时，的终边所在的位置；（3）类似地讨论的位置(可设在第一象限，讨论终边的位置，并写出其他几个象限的情形).【答案】（1）第一象限或第三象限；（2）可得出，图像见解析；（3）的终边在第一象限，的终边在第一或第二或第三象限；的终边在第二象限，的终边在第一或第二或第四象限；的终边在第三象限，的终边在第一或第三或第四象限；的终边在第四象限，的终边在第二或第三或第四象限；【分析】（1）当角的终边在第二象限，得，则，分k是奇数和是偶数进行讨论；（2）确定的终边在第一、二、三、四象限时，得出的范围，进而确定的终边所在的位置，结合象限，画出图形即可；（3）同理（1）（2），讨论的终边位置.【详解】（1）由角的终边在第二象限，得，则，当k为奇数时，的终边在第三象限，当k为偶数时，的终边在第一象限.（2）由（1）可得，当的终边在第一、二、三、四象限时，的终边分别在第一或第三、第一或第三、第二或第四、第二第四象限，如图：终边在第一象限

终边在第二象限

终边在第三象限

终边在第四象限（3）当的终边在第一象限时，即，，则，当时，的终边在第一象限；当时，的终边在第二象限；当时，的终边在第三象限；的终边在第一或第二或第三象限，推广可知：当的终边在第二象限时，的终边在第一或第二或第四象限；当的终边在第三象限时，的终边在第一或