八年级数学上册-知识点总结(北师大版)

八年级数学上册-知识点总结(北师大版)名师总结优秀知识点《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）第一章勾股定理1.勾股定理：已知直角三角形，得边的关系为直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。2.勾股定理的逆定理：由边的关系，判断直角三角形。如果三角形的三边长a，b，c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。3.勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数a，b，c，称为勾股数。常见的勾股数有：(6,8,10)、(3,4,5)、(5,12,13)、(9,12,15)、(7,24,25)、(9,40,41)……规律：(1)短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a<b时，如果b+c=a，那么a，b，c就是一组勾股数，如：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(9,40,41)……(2)大于2的任意偶数，2n(n>1)都可构成一组勾股数，分别是：2n，n-1，n+1，如：(6,8,10)、(8,15,17)、(10,24,26)……4.常见题型应用：(1)已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……(2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度/斜边上的高线/周长/面积……(3)判定三角形形状：a²+b²>c²为锐角三角形，a²+b²=c²为直角三角形，a²+b²<c²为钝角三角形。判定直角三角形的方法为：a.找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状。第二章实数1.无理数的引入：无理数的定义为无限不循环小数。2.无理数的表示：定义：如果一个数的平方等于a，即x²=a，那么这个数就叫做a的平方根，记为±√a；定义：如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫做a的立方根，记为³√a。正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。算术平方根是一个数的正平方根，记作根号a。其中，a为非负实数。（2）性质：①当a≥0时，根号a≥0；当a＜0时，根号a无意义；②根号a的平方等于a；③（根号a）的平方等于a。（区分②、③）性质：非负实数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。性质：一个非负实数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负实数没有平方根。（3）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意：开平方的被开方数必须是非负实数。2．立方根：（1）概念：若x=a，那么x是a的立方根（或三次方根），记作3√a；（2）性质：①a=a；②33√a=a；③3-√a=-3√a性质：一个正实数有一个正的立方根；一个负实数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：3-√a=-3√a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。区分：平方根、立方根的性质根源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正实数和负实数的平方后为正，所以，只有非负实数才可以开平方，因此一个非负实数开平方后只有一个；而任何实数的立方后的符号与原数的符号一致，所以，任何实数都可以开立方，一个实数开立方后只有一个，符号与原数的符号也一致。四、实数大小的比较1、实数比较大小：正实数大于零，负实数小于零，正实数大于一切负实数；数轴上的两个点所表示的实数，右边的总比左边的大；两个负实数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个实数，右边的实数总比左边的实数大。（2）求差比较：设a、b是实数，a-b>0a>b,a-b=0a=b,a-b<0a<b（3）求商比较法：设a、b是两正实数，a/b>1a>b;a/b=1a=b;a/b<1a<b;（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则a>b|a|<|b|。（5）平方法：①设a>0,b>0，则a>ba²>b²②设a<0,b<0，则a>ba²<b²。③同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。如：比较√22与3.4；36与53²（6）倒数法：设a>0,b>0，则a>b1/a<1/b。规律：同号取倒（数）反向五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“√a”的式子叫做二次根式。2、性质：（1）非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数。（2）化简方法：①约分法：将二次根式中的分子、分母同时乘以一个数，使得二次根式中的分子、分母中含有相同的因式，然后约去这个因式。②有理化方法：a.二次根式中含有分母，将分母有理化，即将分母中的二次根式化为有理数。b.二次根式中含有加减号，将它们化为同类项。c.化简后，最好将二次根式中的分子、分母都化为最简式。点P关于原点对称的充要条件是其横、纵坐标互为相反数。具体来说，若点P的坐标为(x,y)，则其对称点P'的坐标为(-x,-y)。对称规律可以总结为：关于谁对称谁不变，另一个变相反；关于原点对称，两个分别变相反。对于点P(x,y)，其到坐标轴及原点的距离有以下规律：(1)到x轴的距离为y；(2)到y轴的距离为x；(3)到原点的距离为√(x²+y²)（由勾股定理可得）。坐标变化会导致图形的变化，具体规律如下：(1)横向或纵向拉长（压缩）为原来的a倍，对应坐标变化为x乘以a或y乘以a；(2)放大（缩小）为原来的a倍，对应坐标变化为x乘以a，y乘以a；(3)关于y轴或x轴对称，对应坐标变化为x乘以(-1)或y乘以(-1)；(4)关于原点成中心对称，对应坐标变化为x乘以(-1)，y乘以(-1)；(5)沿x轴（-）左（+）右或y轴（+）上（-）下平移a个单位，对应坐标变化为x加上或减去a，y加上或减去a。函数是指在某一变化过程中，有两个变量x与y，给定一个x值就可以确定一个y值。自变量的取值范围是使函数有意义的自变量的取值的全体。常用的函数表示法有关系式（解析）法、列表法和图象法。正比例函数是指y与x成比例，即y=kx（k为比例常数），其图像是通过原点的直线。一次函数是指y=kx+b（k和b为常数），其图像是一条斜率为k、截距为b的直线。一般来说，如果两个变量x和y之间的关系可以表示为y=kx+b（其中k、b为常数，且k≠0），则称y是x的一次函数，其中x为自变量，y为因变量。特别地，当一次函数y=kx中的b=0时（即y=kx，其中k为常数，且k≠0），称y是x的正比例函数。一次函数和正比例函数的图像都是一条直线。一次函数y=kx+b的图像经过点(0,b)，而正比例函数y=kx的图像经过原点(0,0)。在画一次函数y=kx+b的图像时，只需要描出与x轴和y轴的交点即可。与x轴的交点为(x=-b/k,y=0)，与y轴的交点为(x=0,y=b)。而在画正比例函数y=kx的图像时，只需要描出点(0,0)和(1,k)。直线的倾斜方向由k的正负决定，而倾斜程度则由k的大小决定。当k越大时，直线与x轴的交角度越大（即直线越陡峭），当k越小时，直线与x轴的交角度越小（即直线越平缓）。直线与y轴的交点的位置则由b的正负决定。当b>0时，直线与y轴的交点在正半轴上，当b<0时，直线与y轴的交点在负半轴上，而当b=0时，直线经过原点，即为正比例函数。对于一次函数和正比例函数，当k>0时，y随着x的增大而增大，图像从左到右呈上升趋势；当k<0时，y随着x的增大而减小，图像从左到右呈下降趋势。根据b的正负不同，图像会经过不同的象限。最后，确定一次函数和正比例函数的解析式需要给定k和b的值。确定一个正比例函数，需要确定常数k，其定义式为y=kx（k≠0）。而确定一个一次函数，则需要确定常数k和b，其定义式为y=kx+b（k≠0）。解决这类问题的一般方法是待定系数法。确定正比例函数和一次函数表达式的条件分别为：对于正比例函数，只需要一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可以求得k的值；对于一次函数，需要两个独立的条件（如两个点或两对x,y的值）确定两个关于k,b的方程，从而求得k,b的值。待定系数法是先设定式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法。用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤为：设函数表达式为y=kx+b，将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组），求出k和b的值，得到函数表达式。一次函数与一元一次方程的关系是：任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式，而一次函数解析式的形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）。因此，当函数值y=0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同。解一元一次方程可以转化为：当一次函数值y=0时，求相应的自变量的值。从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值。一次函数y=kx+b的图象与坐标轴交点求法：与x轴的交点为(−b/k,0)，与y轴的交点为(0,b)。二元一次方程是含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。二元一次方程组是含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。二元一次方程组的解是指各个方程的公共解。解法有代入法和加减法，其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”，所谓之“消元”。1、一次函数与二元一次方程（组）的关系：任何一个二元一次方程都可以表示成一条直线的形式，即y=kx+b。而对于直线上的任意一点(m,n)，都可以通过代入x=m和y=n，解出对应的二元一次方程kx-y+b=0。因此，直线y=kx+b与二元一次方程kx-y+b=0之间有着密切的关系。对于二元一次方程组，可以将每个方程都看成一条直线的形式。如果这两条直线相交于一点，则这个点的坐标就是方程组的解。反之，如果两条直线平行或重合，则方程组无解或有无数解。2、解应用题时，需要先设定未知数，通常情况下只需要设为x或y即可。但在特殊情况下，需要根据已知条件和等量关系等多方面考虑，来确定未知数的具体表示。在寻找等量关系时，可以找到题目中明确给出的句子，根据其列出方程来求解。3、处理问题的过程可以概括为：问题分析求解，得到方程（组），然后解答问题，并进行抽象和检验。4、数据的集中趋势可以用平均数、众数和中位数等量来刻画。其中，平均数是一组数据的算术平均值，可以通过加权平均数的方式来计算。加权平均数的权值可以根据实际情况来确定。5、如果一组数据中有多个数出现了相同的次数，那么这些数的平均数可以表示为它们的算术平均数。加权平均数是指在计算平均数时，不同数据所占的比重不同，需要对每个数据进行加权处理。其中，权值指的是不同数据的重要程度。例如，某小组在一次数学测试中，有3人得了85分，2人得了90分，5人得了100分。这时，可以使用加权平均数来计算该小组的平均分数。具体计算公式为：平均分数=(85*3+90*2+100*5)/(3+2+5)。在这个公式中，分子