人教版数学九年级上24.1.4 圆周角 课件(2课时、共42张PPT)

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24.1.4圆周角(一)

学习目标

1.圆周角的概念；

2.感悟圆周角定理的推导过程，及推导过程中所用到的解题思想方法；

3.理解并掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；

4.理解并掌握圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。

1、复习提问:

(2)圆心角，弧，弦关系定理是什么？

(1)什么是圆心角？

什么叫“知一得二”？

A′

B′

A

B

O

∠ACB与∠AOB有何异同点？

顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。

圆周角的概念：

B

A

C

O

探究新知

判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由．

【归纳】

一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.

问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？

探究一：

由特殊到一般

分类讨论

问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？

(1)当圆心在圆周角的一边上时,

探究一：

2.当圆心在圆周角内部时

问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？

探究一：

3.当圆心在圆周角外部时

问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？

探究一：

圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.

【推论】同弧或等弧所对的圆周角相等

互动探究

探究问题一利用圆周角定理及其推论进行计算

例1如图所示，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠A的度数是（）

A.156°B.78°C.39°D.12°

C

1.如果∠A=44°，则∠BOC=____.

如果∠BOC=44°，则∠A=____.

如果∠A=35°，则∠D=____.

O

A

B

C

D

思考与巩固

例2如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数。

O

C

B

A

思考与巩固

2.已知：△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°,

∠ABC=47°，求∠AOB．

B

A

C

O

思考与巩固

思考与巩固

3.如图OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠1．

求证：∠3=∠4．

4．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠1＝2∠2。

求证：∠4＝2∠3.

思考与巩固

5、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x－30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。

思考与巩固

谈谈你本节课的收获

课堂小结

1

2

3

24.1.4圆周角(二)

学习目标

1.理解并掌握圆周角定理的推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角。反过来也成立，即90°的圆周角所对的弦是直径；

2.理解并掌握“有直径，造直角”的解题方法，并会根据此原理添加辅助线。

圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.

【推论】同弧或等弧所对的圆周角相等

1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？

【推论】半圆或直径所对的圆周角是直角。反过来也成立，即90°的圆周角所对的弦是直径。

探究二：

2.90°的圆周角所对的弦是否是直径？

“有直径，造直角”是利用直径解题的常用方法.

探究问题二利用圆周角定理及其推论进行证明

例【教材例4拓展题】求证：以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边.

解：已知：如图所示，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D。求证：BD＝CD。

【归纳总结】“有直径，造直角”是利用直径解题的常用方法.

1．【兰州中考】如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于________．

36°

2.（2023随州）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠D=（）

A．35°B．55°C．70°D．110°

B

3.如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF＝_______°

20

4.如图所示，已知OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D。求证：D是AB的中点。

典例讲解

例1.如图⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O与D，求BC、AD、BD的长.

知识点四圆的内接四边形

圆内接多边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.

×

（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°,

求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？

巩固练习:

在⊙O中,圆心角∠AOB=56°,则弦AB所对的圆周角等于多少

即：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．

在⊙O中,圆心角∠AOB=56°,则所对的圆周角等于多少

3．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是()

A．115°B．105°C．100°D．95°

B

【总结】圆内接四边形的外角等于它的内对角。

4．如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为()

A．135°B．122.5°

C．115.5°D．112.5°

D

拓展【武汉中考】如图，AB是⊙O的直径，C，P是上的两点，

AB＝13，AC＝5.

(1)如图，若P是的中点，求PA的长；

拓展【武汉中考】如图，AB是⊙O的直径，C，P是上的两点，

AB＝13，AC＝5.

(2)如图，若P是的中点，求PA的长．

【拓展】如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.

(1)求证：CF＝BF；

(2)若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．

【拓展】如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.

(1)求证：CF＝BF；

(2)若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．

备选探究问题圆心角、圆周角性质定理的综合运用

备选探究问题圆心角