山东省东营市广饶综合中学高三数学文摸底试卷含解析

山东省东营市广饶综合中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知球O的内接圆柱的体积是2π，底面半径为1，则球O的表面积为（）A．6π B．8π C．10π D．12π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】圆柱的底面半径为1，根据球O的内接圆柱的体积是2π，所以高为2，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，确定球的半径，进而可得球的表面积．【解答】解：由题意得，圆柱底面直径为2，球的半径为R，由于球O的内接圆柱的体积是2π，所以高为2，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，即2=2R，∴R=，∴球的表面积=4πR2=8π，故选：B．【点评】本题考查球内接多面体与球的表面积的计算，正确运用公式是关键，属于基础题．2.若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（）A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．（）a＜（）b D．+＞2参考答案：D考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质、函数的单调性即可判断出．解答：解：∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞b2，，=2．因此只有D正确．故选：D．点评：本题考查了不等式的性质、函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（06年全国卷Ⅰ文）在的展开式中，x的系数为A、-120

B、120

C、-15

D、15参考答案：答案：C解析：在的展开式中，x4项是=－15x4，选C.4.已知为上的可导函数，为的导函数且有，则对任意的，当时，有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是A.函数f(x)的最小正周期是2πB.函数f(x)的图象关于点成中心对称C.函数f(x)在单调递增D.函数f(x)的图象向右平移后关于原点成中心对称参考答案：B【分析】根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．6.x＞1是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．.专题：不等式的解法及应用．分析：先解出的解，再判断两命题的关系即可．解答：解：由，得：x＞1或x＜0，∴x＞1能推出；反之，则由x＞1或x＜0，不可以推出x＞1，故前者是后者的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要注意不等式的合理运用．7.已知集合，，则__________.

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B． C． D．2参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的几何表示．【分析】根据|+|2=，而，均为单位向量，它们的夹角为，再结合向量数量积的公式可得答案．【解答】解：由题意可得：|+|2=，∵，均为单位向量，它们的夹角为，∴|+|2==1+1+2×1×1×cos=3，∴|+|=，故选C．9.函数的零点所在的大致区间是（

）A．（3，4）

B．（2，e）

C．（1，2）

D．（0，1）参考答案：C10.已知等差数列{}的前项和为，且，则A． B． C． D．参考答案：A等差数列中，所以，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续值班情况的概率是_____参考答案：12.不等式的解集是

参考答案：13.方程在区间内的解为________________.参考答案：略14.已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线与椭圆的右准线交于点，若直线∥轴，则该椭圆的离心率=

.

参考答案：15.若一个正三棱柱的各条棱均与一个半径为的球相切，则该正三棱柱的体积为____________参考答案：略16.

参考答案：【知识点】对数的运算性质．B7【答案解析】3解析：原式=+lg2（lg2+lg5）+lg5=2+lg2+lg5=2+1=3．故答案为：3．【思路点拨】利用对数的换底公式、lg2+lg5=1即可得出．17.已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（，）的图像如图所示，直线，是其两条对称轴．（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值．参考答案：解：(1)由题意，＝－＝，∴T＝π.又ω＞0，故ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．(2分)由f()＝2sin(＋φ)＝2，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．又－＜φ＜，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin(2x－)．(5分)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(7分)(2)解法1：依题意得2sin(2α－)＝，即sin(2α－)＝，(8分)∵＜α＜，∴0＜2α－＜.∴cos(2α－)＝＝＝，(10分)f(＋α)＝2sin[(2α－)＋]．∵sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝(＋)＝，∴f(＋α)＝.(14分)解法2：依题意得sin(2α－)＝，得sin2α－cos2α＝，①(9分)∵＜α＜，∴0＜2α－＜，∴cos(α－)＝＝＝，(11分)由cos(2α－)＝得sin2α＋cos2α＝.②①＋②得2sin2α＝，∴f(＋α)＝.(14分)解法3：由sin(2α－)＝得sin2α－cos2α＝，(9分)两边平方得1－sin4α＝，sin4α＝，∵＜α＜，∴＜4α＜，∴cos4α＝－＝－，(11分)∴sin22α＝＝.又＜2α＜，∴sin2α＝，∴f(＋α)＝.(14分)19.已知函数f（x）=excosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．参考答案：【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．【解答】解：（1）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex?sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2ex?sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=ecos﹣=﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．20.已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+b，其中a，b为常数．（1）当a=﹣1时，若函数f（x）在[0，1]上的最小值为，求b的值；（2）讨论函数f（x）在区间（a，+∞）上的单调性；（3）若曲线y=f（x）上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=﹣1时，求出函数的导数，利用函数f（x）在[0，1]上单调递减，推出b的关系式，求解b即可．（2）利用导函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a，求出极值点两个不等实根x1，2=，①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根时，②当方程f′（x）=0在区间（﹣∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，分别求解a的范围即可．（3）设P（x1，f（x1）），则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1﹣1，推出Q点处的切线方程，化简，得x1+2x2=﹣3a，通过两条切线相互垂直，得到（4x22+8ax2+3a2﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1．求解x22+2ax2﹣1≥﹣（a2+1），然后推出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f′（x）=x2﹣2x﹣1，所以函数f（x）在[0，1]上单调递减，…由f（1）=，即﹣1﹣1+b=，解得b=2．…（2）f′（x）=x2+2ax﹣1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=﹣a，因为△=4a2+4＞0，f′（x）=0有两个不等实根x1，2=，…①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根时，有解得．…②当方程f′（x）=0在区间（﹣∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，有：f′（a）＜0，或，解得．…③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，有，解得．综上：当时，f（x）在区间（a，+∞）上是单调增函数；当时，f（x）在区间（a，）上是单调减函数，在区间（，+∞）上是单调增函数当时，f（x）在区间（a，），（，+∞）上是单调增函数，在区间（，）上是单调减函数．…（10）（3）设P（x1，f（x1）），则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1﹣1，又设过P点的切线与曲线y=f（x）相切于点Q（x2，f（x2）），x1≠x2，则Q点处的切线方程为y﹣f（x2）=（x22+2ax2﹣1）（x﹣x2），所以f（x1）﹣f（x2）=（x22+2ax2﹣1）（x1﹣x2），化简，得x1+2x2=﹣3a．…因为两条切线相互垂直，所以（x12+2ax1﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1，即（4x22+8ax2+3a2﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1．令t=x22+2ax2﹣1≥﹣（a2+1），则关于t的方程t（4t+3a2+3）=﹣1在t∈[﹣（a2+1），0）上有解，…所以3a2+3=﹣4t﹣≥4（当且仅当t=﹣时取等号），解得a2≥，故a的取值范围是．…【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点的应用，考查转化思想以及计算能力．21.（12分）（2015?淄博一模）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；（Ⅱ）证明：BD⊥AE．参考答案：【考点】：直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，将问题转化为证明四边形CFGD是平行四边形即可；（Ⅱ）由数量关系可得BD⊥AD，从而由面面垂直的性质即得结论．证明：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，则有FG∥AB且FG=AB=2，又因为DC∥AB，CD=2，所以FG∥DC，FG∥DC，所以四边形CFGD是平行四边形．所以CF∥GD，又因为GD平面ADE，CF平面ADE，所以CF∥平面ADE；（Ⅱ）因为BC⊥CD，BC=CD=2，所以BD=．同理EA⊥ED，EA=ED=2，所以AD=．又因为AB=4，及勾股定理知BD⊥AD，又因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面EAD，又因为AE平面EAD，所以BD⊥AE．【点评】：本题考查线面垂直的判定及面面垂直的性质，作出恰当的辅助线、找到所给数据中隐含的条件是解决本题的关键，属中档题．22.已知等比数列{an}的公比q≠1，a1=3，且3a2、2a3、a4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=21og3an，求证：数列{bn}成等差数