常微分方程 变量可分离方程

常微分方程变量可分离方程1第1页，课件共30页，创作于2023年2月一、变量可分离方程的求解当方程（2.2.1）两边同除以得

这样对上式两边积分得到例2.2.1求微分方程的通解。2第2页，课件共30页，创作于2023年2月注：求方程通解时，我们假设若时得y值也可能为方程的解。解：变量分离后得上式两边积分得整理得其中该解在无定义,故通解在中有定义.所以要考虑的情况，该方程对应的解我们称为常数解.3第3页，课件共30页，创作于2023年2月例2.2.2求微分方程的通解.解:变形为积分得:求积分得:解得:4第4页，课件共30页，创作于2023年2月记则因为可得故所有的解为:5第5页，课件共30页，创作于2023年2月练习解通解：6第6页，课件共30页，创作于2023年2月二、齐次方程齐次函数:函数称为m次齐次函数,如果齐次方程:形如的方程称为齐次方程。引入一个新变量化为变量可分离方程。求解思想:7第7页，课件共30页，创作于2023年2月例2.2.3求下面初始值问题解：方程为齐次方程，令求导后得分离变量得事实上,令则故有即8第8页，课件共30页，创作于2023年2月积分上式得用代入得利用初始条件

可定出代入上式解出9第9页，课件共30页，创作于2023年2月求解微分方程微分方程通解：解练习10第10页，课件共30页，创作于2023年2月解方程解改写方程：齐次方程方程变为：两边积分：练习11第11页，课件共30页，创作于2023年2月分析解方程变为齐次方程练习12第12页，课件共30页，创作于2023年2月两边积分通解：分离变量13第13页，课件共30页，创作于2023年2月三、可化为齐次方程的方程形如的方程可化为齐次方程.其中都是常数.1.当时,此方程就是齐次方程.2.当时,并且(1)14第14页，课件共30页，创作于2023年2月此时二元方程组有惟一解引入新变量此时,方程可化为齐次方程:15第15页，课件共30页，创作于2023年2月(2)若则存在实数使得:或者有不妨是前者,则方程可变为令则16第16页，课件共30页，创作于2023年2月3.对特殊方程令则17第17页，课件共30页，创作于2023年2月例2.2.4求方程的通解。

解：解方程组

得

令

代入原方程可得到齐次方程令

得18第18页，课件共30页，创作于2023年2月还原后得原方程通解为变量分离后积分19第19页，课件共30页，创作于2023年2月解代入原方程得非齐次型方程.方程组齐次型方程.方程变为练习20第20页，课件共30页，创作于2023年2月分离变量法得原方程通解21第21页，课件共30页，创作于2023年2月例:雪球融化问题设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。解:设t

时刻雪球的体积为

，表面积为

球体与表面积的关系为

§2.2.3变量可分离方程的应用22第22页，课件共30页，创作于2023年2月引入新常数

再利用题中的条件得分离变量积分得方程得通解为再利用条件

确定出常数C和r代入关系式得t的取值在之间。23第23页，课件共30页，创作于2023年2月游船上的传染病人数.一只游船上有800人,12小时后有3人发病.故感染者不能被及时隔离.设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比.一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状,直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.解设y(t)表示发现首例病人后t小时的感染人数。其中k>0为比例常数.可分离变量微分方程初始条件:练习24第24页，课件共30页，创作于2023年2月两边积分,通解分离变量25第25页，课件共30页，创作于2023年2月直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数。26第26页，课件共30页，创作于2023年2月车灯的反射镜面--旋转抛物面解练习27第27页，课件共30页，创作于2023年2月两边积分28第28页，课件共30页，创作于2023年2月