吉林省松原市扶余县第一中学高三数学 第二章第一节 函数及其表示复习课件 新人教A

1.函数、导数及其应用是历年高考命题的重点与热点，约占总分的20%左右．2．函数的概念、图象及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、图象是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点．3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值及最优化问题方面的应用是高考的重点与热点．4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与创新.1.注重基础，对函数的概念、图象、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值及最优化问题方面的应用要熟练掌握灵活应用．2．加强交汇，强化综合应用意识．在知识的交汇点处命制试题，已成为高考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系．3．把握思想，数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想，等价转化思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视.第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个______________设A、B是两个____________非空数集非空集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_________一个x，在集合B中都有____________的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个元素x，在集合B中________的元素y与之对应名称称_______________为从集合A到集合B的一个函数称_____________为从集合A到集合B的一个映射任意唯一确定任意都有唯一f：A→Bf：A→B 2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫函数的________；函数值的__________________是函数的值域． (2)如果两个函数的_________相同，并且___________完全一致，则这两个函数为相等函数． 3．函数的表示 (1)函数有三种表示方法：_________、__________和列表法． (2)如果在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同的对应关系，这样的函数通常叫做____________定义域集合{f(x)|x∈A}定义域对应关系解析法分段函数．图象法 1．若两个函数的定义域与值域相同，则一定是相等函数，这种说法对吗？ 【提示】

不对．如y＝sinx和y＝cosx的定义域都为R，值域都为[－1,1]，但不是相等函数，判定两个函数是同一函数，当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同．

2．为什么说分段函数是一个而不是几个函数？ 【提示】

所谓“分段函数”是指在定义域内的不同取值范围，有不同的对应法则的函数，对它有两点基本认识：①分段函数是一个函数，而不能误认为是几个函数．②分段函数的定义域是各段自变量取值的并集，值域是各段函数值的并集．

【答案】

A【答案】

A【解析】

当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α＞0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.【答案】

B【答案】

B

(2011·湖南高考)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k. (1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为________； (2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为________． 【思路点拨】

(1)根据函数的对应法则求解；(2)抓住函数值的特征及要求．函数的基本概念

【答案】

(1)a(a∈N*)(2)16

1．本题易犯的错误有两点：(1)忽视f(n)＝n－k的限定条件“n>k”，盲目代入求值致误；(2)忽视函数“f”的函数值的要求，无从入手． 2．函数是一种特殊的单值对应f：A→B，必须满足A，B都是非空数集，其中A是定义域，而值域是B的子集． 3．函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此两个函数相同，当且仅当定义域、对应关系相同． 函数y＝f(x)的定义域为[－1,1]，则在同一坐标系中，y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点的个数为() A．0B．1C．2D．0或1 【解析】

∵x＝1∈[－1,1]， 根据函数的定义，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为1个． 【答案】

B

求函数的定义域

【答案】C(2)令t＝x＋1，由f(x＋1)的定义域为[0,1]，∴1≤t＝x＋1≤2，即函数f(t)的定义域为[1,2]．要使f(2x－2)有意义，必须1≤2x－2≤2，即3≤2x≤4，∴log23≤x≤2.故函数f(2x－2)的定义域为[log23,2]．

1．(2)中易理解错f(x)与f(x＋1)定义域之间的关系． 2．(1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．取交集时可借助数轴，并且要注意端点值的取舍．(2)对于抽象函数的定义域，在同一对应关系作用下，不管接受关系的对象是字母还是代数式，都应在同一范围内受到约束．求函数的解析式

【思路点拨】

第(1)题利用换元法，第(2)题已知函数的结构特征，可运用待定系数法求解． 1．本题(2)已知函数的类型，可用待定系数法求解； 2．求函数解析式的主要方法有待定系数法、换元法等．如果已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数f(f(x))的表达式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围；对于抽象函数可赋值、消元求函数的解析式．求函数的解析式一定要重视定义域，否则会导致错误． 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)． 【解】

∵对∀x，y∈R，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，且f(0)＝1. 令x＝0得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)， ∴f(－y)＝1－y(－y＋1)， 再令－y＝x， 得f(x)＝1－(－x)(x＋1)＝1＋x(x＋1)， 所以f(x)＝x2＋x＋1.

分段函数及其应用

【思路点拨】

根据分段函数的意义，欲求f(1－a)与f(1＋a)，只需判定1－a,1＋a和1的大小，因此需分a＞0与a＜0两情况讨论．【尝试解答】

当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.因为f(1－a)＝f(1＋a)， 1．(1)本题求解的关键在于讨论a与0的大小，从而确定1－a,1＋a与1的大小，得关于a的方程．(2)对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便选择与之相应的对应关系．不理解分段函数的概念是出错的主要原因． 2．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则．【答案】

C

从近两年高考看，函数及其表示是高考的重点，特别是函数的定义域、分段函数及求值常考常新．题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又重视能力的考查，预计2013年仍以分段函数及应用为重点，并注意新定义与思维创新．创新探究之二常考常新的分段函数 ∵函数y＝f(x)－c与x轴有两个公共点， ∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点， 数形结合知，实数c满足－2＜c≤－1或1＜