隐函数存在定理课件

华北科技学院基础部108八月2023第16章隐函数存在定理函数相关《数学分析》（2）华北科技学院基础部104八月2023第16章隐函数存华北科技学院基础部208八月2023§16.1隐函数存在定理一、F(x,y)=0情形二、多变量情形三、方程组情形华北科技学院基础部204八月2023§16.1隐函数存华北科技学院基础部308八月2023

前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数存在，且它们的导数或偏导数也存在。

本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。1、隐函数概念显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如：一、F(x,y)=0情形华北科技学院基础部304八月2023前面关于隐函数华北科技学院基础部408八月2023方程式所确定的函数,通常称为隐函数．例如：隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个注2

不是任一方程都能确定隐函数,例如显然不能确定任何隐函数．注1

隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要化为显函数．上面把隐函数仍记为，这与它能否用显函数表示无关．华北科技学院基础部404八月2023方程式所确定的函数,华北科技学院基础部508八月2023注3

一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点及其某邻域有关.(0,1)(0,-1)(-1,0)(1,0)华北科技学院基础部504八月2023注3一个方程能华北科技学院基础部608八月2023注4类似地可定义多元隐函数．例如:由方程确定的隐函数由方程确定的隐函数等等.条件时，由F(x,y)=0能确定隐函数y=f(x)并使要讨论的问题是：当函数满足怎样一些该隐函数具有连续、可微等良好性质?2、隐函数存在性条件分析华北科技学院基础部604八月2023注4类似地可定华北科技学院基础部708八月2023唯一确定隐函数

（1）连续

（1）连续曲线存在,使（2）可微（2）存在切线

交线2、隐函数存在性条件分析华北科技学院基础部704八月2023唯一确定隐华北科技学院基础部808八月2023曲面

在点有切平面且切平面的法线不平行于轴（即切平面不是平面）切平面的法向量为与不共线

（即

不能同时为零）交线存在切线，意味着一元函数的可微性，也要求华北科技学院基础部804八月2023曲面在点有切平面且华北科技学院基础部908八月2023xzyOΣ:

z=F(x,y)OΓ:

F(x,y)=0P0(x0,y0)图1隐函数存在性条件分析示意图

Γ:

y=f(x)F(x0,y0)=0y0=f(x0)F(x,f(x))=0(满足一定条件或在某一局部)华北科技学院基础部904八月2023xzyOΣ:z华北科技学院基础部1008八月20233、隐函数存在定理定理1

(隐函数存在惟一性定理)

设方程F(x,y)=0中的函数满足以下三个条件：(ii)(初始条件)；则有如下结论成立：(i)

在区域(iii)

F(x,y)=0惟一地确定了一个隐函数(i)存在某邻域，在内由方程华北科技学院基础部1004八月20233、隐函数存在定理华北科技学院基础部1108八月2023它满足：,且当时,使得证

首先证明隐函数的存在与惟一性．

证明过程归结起来有以下四个步骤(见图2)：在上连续．(ii)(iii)华北科技学院基础部1104八月2023它满足：华北科技学院基础部1208八月2023

(c)同号两边伸

＋＋＋＋－－－－(d)利用介值性

＋＋＋＋－－－－

(b)正、负上下分

＋＋＋

___+_0

(a)一点正,一片正

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++图2隐函数存在性与惟一性分析示意图

华北科技学院基础部1204八月2023(c)同号两边华北科技学院基础部1308八月2023(a)“一点正,一片正”由条件(iii)，不妨设因为连续，保号性，使得

(a)一点正,一片正

D

P0+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

星星之火可以燎原所以根据连续函数的华北科技学院基础部1304八月2023(a)“一点正华北科技学院基础部1408八月2023(b)正、负上下分

＋＋＋

___+_0(b)“正、负上下分”因故把看作的函数，它在上严格增，且连续(据条件(i))．特别对于函数由条华北科技学院基础部1404八月2023(b)正、负上华北科技学院基础部1508八月2023因为关于连续，故由(b)的结论，根据保号性，使得

(c)同号两边伸

＋＋＋＋－－－－(c)“同号两边伸”(d)“利用介值性”因关于连续,且严

格增，故由(c)的结论，依据介值性定理,存在惟华北科技学院基础部1504八月2023因为华北科技学院基础部1608八月2023(d)利用介值性

＋＋＋＋－－－－满足一的就证得存在惟一的隐函数:由的任意性,这若记则定理结论得证．下面再来证明上述隐函数的连续性:欲证上述在连续.华北科技学院基础部1604八月2023(d)利用介值性华北科技学院基础部1708八月2023类似于前面(c)，使得由对严格增，而推知如图3所示,＋＋＋＋－－－－..图3隐函数连续性示意图小，使得华北科技学院基础部1704八月2023类似于前面(c)华北科技学院基础部1808八月2023在上处处连续．因此在连续.由的任意性,便证得且当时，有类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有最后再来证明y=f(x)可微性:华北科技学院基础部1804八月2023在华北科技学院基础部1908八月2023使用微分中值定理,使得设则由条件易知F可微，并有华北科技学院基础部1904八月2023使用微分中值定理,华北科技学院基础部2008八月2023显然也是连续函数．因都是连续函数,故时并有华北科技学院基础部2004八月2023显然也是连续华北科技学院基础部2108八月2023华北科技学院基础部2104八月2023华北科技学院基础部2208八月2023注1

定理1的条件(i)～(iii)既是充分条件,又是一组十分重要的条件.例如：在点虽不满足条件(iv)，但仍能确定惟一的隐函数②(双纽线),在点同样不满足条件(iii);如图4在该点无论多么小的邻域内,确实不能图4双纽线图像确定惟一的隐函数.华北科技学院基础部2204八月2023注1定理1华北科技学院基础部2308八月2023注3必须注意,定理1是一个局部性的隐函数存在定理．例如从以上双纽线图形看出:除了(0,0),三点以外,曲线上其余各点处都存在注

2

条件(iii)在证明中的作用只是用来保证在邻域内关于为严格单调．局部隐函数.注4在方程中,与的地位是平等的.当条件(iii)改为(其它条件不变)时，将存在局部的连续隐函数华北科技学院基础部2304八月2023注3必须注意华北科技学院基础部2408八月2023例1．。

，在该邻域内可唯一确定可微的隐函数华北科技学院基础部2404八月2023例1．。，在该邻华北科技学院基础部2508八月2023例2．方程内确定隐函数或

？能否在原点的某邻域解：

令则，他们都在全平面上连续.故方程在点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数由于

，据此无法断定是否在点的某邻域内存在。有隐函数华北科技学院基础部2504八月2023例2．方程内确定隐华北科技学院基础部2608八月2023例3

试讨论双纽线方程所能确定的隐函数

图4双纽线图像解令它有连续的求解

分别得到华北科技学院基础部2604八月2023例3试讨论双纽华北科技学院基础部2708八月2023所以，除这三点外，曲线上在其他图4双纽线图像在其他所有点处都存在局部的可微隐函数所有点处都存在局部的可微隐函数同理，除这五点外，曲线上华北科技学院基础部2704八月2023所以，除华北科技学院基础部2808八月2023二、多变量情形定理2

设函数F(x1,x2,…,xn

;y)满足以下条件则有如下结论成立：(i)

在区域(iii)

(i)

上具有对一切变量的连续偏导数.方程F(x1,x2,…,xn

;y)=0惟一确定一个函数(ii)(初始条件)；y=f(x1,x2,…,xn

)华北科技学院基础部2804八月2023二、多变量情形定理华北科技学院基础部2908八月2023(ii)y=f(x1,x2,…,xn

)在Δ内连续；(iii)

y=f(x1,x2,…,xn

)在Δ内对各变量有连续偏导数，且华北科技学院基础部2904八月2023(ii)y华北科技学院基础部3008八月2023例4

设,问方程是否在原点地确定可微函数

，其中属于某个邻域，使得的某邻域唯一点的解：令.显然的偏导数，且,由，知，存在，使得在有唯一的可微函数，满足：在全平面有连续华北科技学院基础部3004八月2023例4设,问方华北科技学院基础部3108八月2023设有一组方程则称由(1)确定了隐函数组之对应,能使其中定义在若存在使得对于任给的有惟一的三、方程组情形华北科技学院基础部3104八月2023设有一组方程华北科技学院基础部3208八月2023并有关于隐函数组的一般情形(含有m+n个变量的m个方程所确定的n

元隐函数)，与此同理.华北科技学院基础部3204八月2023并有华北科技学院基础部3308八月2023定理

3

(隐函数组定理)设方程组(1)中的函数F与G满足下列条件：(i)

在以点为内点的某区域内有连续的偏导数；(ii)(初始条件);

(iii)则有如下结论成立：(i)在P0点的某一邻域Δ

内，方程F=0;G=0

华北科技学院基础部3304八月2023定理3(华北科技学院基础部3408八月2023确定惟一一组隐函数它们被定义在(x0,y0)的某个邻域U

内，且满足及(ii)在U内连续；华北科技学院基础部3404八月2023确定惟一一组隐函数华北科技学院基础部3508八月2023且有本定理的详细证明从略，下面只作一粗略的解释:在内存在一阶连续偏导数，(iii)①由方程组(1)的第一式确定隐函数华北科技学院基础部3504八月2023且有华北科技学院基础部3608八月2023②将代入方程组(1)的第二式,得③再由此方程确定隐函数并代回至这样就得到了一组隐函数通过详细计算,又可得出如下一些结果:华北科技学院基础部3604八月2023②将华北科技学院基础部3708八月2023华北科技学院基础部3704八月2023华北科技学院基础部3808八月2023例5

设有方程组试讨论在点的近旁能确定怎样的隐函数组？并计算各隐函数在点处的导数.解

易知点满足以上方程组.设华北科技学院基础部3804八月2023例5设有方程华北科技学院基础部3908八月2023它们在上有连续的各阶偏导数.再考察在点关于所有变量的雅可比矩阵由于华北科技学院基础部3904八月2023它们在上有连华北科技学院基础部4008八月2023因此由隐函数组定理可知,在点近旁可以惟一地确定隐函数组:但不能肯定y,z可否作为x的两个隐函数.华北科技学院基础部4004八月2023因此由隐函数组定理华北科技学院基础部4108八月2023运用定理3的结论,可求得隐函数在点P0

处的导数值:华北科技学院基础部4104八月2023运用定理3的结华北科技学院基础部4208八月2023且解：例6

华北科技学院基础部4204八月2023且解：例6华北科技学院基础部4308八