统计量及其抽样分布课件

统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布假设检验理论统计方法描述统计推断统计估计理论概率论抽样理论假设检验理论统计方法描述统计推断统计估计理论概率论抽样理论学习目标1.了解统计量及其分布的几个概念2.了解由正态分布导出的几个重要分布

3.掌握样本均值的分布特征与中心极限定理4.掌握单样本比例的分布特征5.了解两个样本均值之差的分布，了解样本方差的分布

学习目标1.了解统计量及其分布的几个概念一、几个重要概念

（一）参数

能够反映统计总体的基本信息的数字特征均称为总体参数。总体分布已知条件下对总体特征数字的统计分析和假设检验;

总体分布未知条件下对总体分布特征及相关数字特征的统计分析和假设检验.

总体参数是一个常数(常常是未知数),它与抽样方法以及样本值是无关的一、几个重要概念

（一）参数

设X1,X2,…,Xn为来自正态总体N(,2),

容量为n的样本,由样本构造的不含有任何未知参数的函数T(X1,…,Xn)称为统计量如样本均值和样本方差（二）统计量

若X1,X2,…,Xn只能取0或1,则可构造样本比例统计量

样本统计量的值高度依赖于样本值,因此用样本统计量来推断总体参数的值具有一定的不确定性;

样本统计量的分布具有某种确定的性质,这种性质反映在样本的抽样分布中。1、统计量的概念设X1,X2,…,Xn为来自正态总体N(,22、次序统计量

把样本X1,X2，…，Xn由小到大排列，得到X1<

X2<

…Xn

，称之为样本X1,X2，…，Xn

的次序统计量。

3、充分统计量

不损失信息的统计量通常称为充分统计量2、次序统计量总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体（一）总体分布三、关于分布的概念总体中各元素的观察值所形成的分布总体（一）总体分布三、关于（二）抽样分布1.样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布2.随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等3.结果来自容量相同的所有可能样本4.提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据

（二）抽样分布1.样本统计量的概率分布，是一种理论分布抽样分布的形成过程

(samplingdistribution)总体计算样本统计量如：样本均值、比例、方差样本抽样分布的形成过程

(samplingdistribut一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本(三)样本分布(四)渐近分布(五)近似分布一个样本中各观察值的分布样本(三)样本分布(四)渐近分布(二、由正态分布导出的三个重要分布（一）2分布由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,且Xi~N(0,1)。令 2=X12+X22+…+Xn2则称X2服从自由度为n的2分布,记作2~2(n).二、由正态分布导出的三个重要分布（一）2分布分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称期望为E(2)=n，方差为D(2)=2n(n为自由度)可加性：若U和V为两个独立的服从2分布的随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布2分布

(性质和特点)分布的变量值始终为正2分布

(性质和特点)c2分布

(图示)

选择容量为n的简单随机样本计算样本方差s2计算卡方值2=(n-1)s2/σ2计算出所有的

2值不同容量样本的抽样分布c2n=1n=4n=10n=20ms总体c2分布

(图示)选择容量为n的计算卡方值计算出所有的不（二）t-分布

若

X~N(0,1),Y~2(n),且X与Y相互独立，则称

服从自由度为n的t-分布,记作t~t(n).说明:

当样本容量n较小时,t-分布与正态分布差异较大,

当样本容量n较大(n>30)时,t-分布与正态分布基本一致。（二）t-分布服从自由度为n的t-分布（三）F-分布

若

Y~2(m),Z~2(n),

且Y与Z相互独立，则称随机变量X有如下表达式：服从自由度为(m,n)

的F-分布,记作X~F(m,n)。

说明:若X~F(m,n),

则（三）F-分布服从自由度为(m,n)的F-分布,记三、样本统计量的抽样分布

(一个总体参数推断时)（一）样本均值的抽样分布（二）样本比例的抽样分布（三）样本方差的抽样分布三、样本统计量的抽样分布

(一个总体参在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值的理论基础 （一）样本均值的抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)

，即总体单位数N=4。4

个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4

。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元样本均值的抽样分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）样本均值的抽样分布

(例题分析)现从总体中抽取n＝2的样本均值的抽样分布

(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5样本均值的抽样分布

(例题分析)计算出各样本的均值，如样本均值的数学期望和方差式中：M为样本数目为样本均值的均值样本均值的数学期望和方差式中：M为样本数目样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x比较及结论：1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值

2.样本均值的方差等于总体方差的1/n样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)=2样本均值的抽样分布

与中心极限定理=50

=10x总体分布n=4抽样分布xn=16当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布,X的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)样本均值的抽样分布

与中心极限定理=50=10x总中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体x中心极限定理

(centrallimittheorem)中心极限定理

(centrallimittheorem)

的分布趋于正态分布的过程中心极限定理

(centrallimittheorem抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本样本均值正态分布样本均值正态分布样本均值非正态分布抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样统计量的标准误

(standarderror)样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，也称为标准误差标准误衡量的是统计量的离散程度，它测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度以样本均值的抽样分布为例，在重复抽样条件下，样本均值的标准误为统计量的标准误

(standarderror)样本统计量估计的标准误

(standarderrorofestimation)当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代替计算的标准误，称为估计的标准误以样本均值的抽样分布为例，当总体标准差未知时，可用样本标准差s代替，则在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误为估计的标准误

(standarderrorofest求样本平均数的概率分布

设某公司1000名职工的人均年奖金为2000元，标准差500元，随机抽取36人作为样本进行调查，问样本的人均年奖金在1900~2200元之间的概率有多大？求样本平均数的概率分布设某公司1000名职工的人均年奖（二）样本比例的抽样分布（二）样本比例的抽样分布总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

（二）样本比例的抽样分布总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比（二）样在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布当样本容量很大时（），样本比例的抽样分布可用正态分布近似推断总体比例的理论基础 样本比例的抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相样本比例的抽样分布

(数学期望与方差)样本比例的数学期望样本比例的方差样本比例的抽样分布

(数学期望与方差)样本比例的数学期望

某商场推销一种洗发水。据统计，本年度购买此种洗发水的有10万人，其中6万是女性。如果按重复随机抽样方法，从购买者中抽出100人进行调查，问样本中女性比例超过50%的可能性有多大？某商场推销一种洗发水。据统计，本年度购买此种两个总体都为正态分布，即，两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差3.方差为各自的方差之和 （一）两个样本均值之差的抽样分布四、样本统计量的抽样分布

(两个总体参数推断时)两个总体都为正态分布，即两个样本均值之差的抽样分布

m1s1总体1s2

m2总体2抽取简单随机样样本容量n1计算X1抽取简单随机样样本容量n2计算X2计算每一对样本的X1

-X2所有可能样本的X1-X2m1-m2抽样分布两个样本均值之差的抽样分布m1s1总体1s2两个总体都服从二项分布分别从两个总体中