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第21章二次根式

21.2二次根式的乘除

第1课时二次根式的乘法与积的算术平方根

学习目标

1.利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算;(重点)

2.会进行简单的二次根式的乘法运算.(重点、难点)

问题1什么叫二次根式？

问题2两个基本性质：

a(a≥0)

-a(a＜0)

=

=∣a∣

=a

(a≥0)

二次根式乘法

试一试

计算:

(1)×与

=2×5

=10

(2)×与

=4×3

=12

=

=10

=

=12

观察计算的结果，你能发现什么

发现：×=；×=

思考

(2)×与呢？

从计算的结果我们发现：

×=.

这是什么道理呢？

事实上，根据积的乘方法则，有

(×)=()×()=，

并且×＞0，

所以×是的算术平方根，即

×=.

一般地，有

·=(a≥0，b≥0).

这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。

注意，在上式中，a、b都表示非负数。在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数.

典例精析

计算:

(1)×

(2)×

=

=

=

=

=4

积的算术平方根

上面得到的等式·=(a≥0，b≥0).也可以写成

=·(a≥0，b≥0).

这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。

利用这个性质可以进行二次根式的化简。

典例精析

化简，使被开方数不含完全平方的因数。

=

=×

=2

这里，被开方数12=2×3，含有完全平方的因数，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用=a(a≥0)，将这个因数“开方”出来。

1.把被开方数分解因式(或因数)；

2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；

化简二次根式的步骤：

3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式

(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.

做一做

计算下列各式，并将所得的结果化简：

=

=×

=3

·

=

=

=×

=5

课堂小结

1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根.

2.化简二次根式的步骤：

（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数.

（3）将平方项应用化简.

(a≥0)

（2）应用=·(a≥0，b≥0).

·

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