极限运算法则课件

时,有一、无穷小运算法则定理1.

有限个无穷小的和还是无穷小.证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束第1页/共26页时,有一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无1说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.第2页/共26页说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，机动目2定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证:

设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1

.

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.

有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束第3页/共26页定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设又设3例1.求解:

由定理2可知说明:

y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束第4页/共26页例1.求解:由定理2可知说明:y=0是的渐4二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.

若机动目录上页下页返回结束第5页/共26页二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于5推论:

若且则利用保号性定理证明.说明:

定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:

令机动目录上页下页返回结束第6页/共26页推论:若且则利用保号性定理证明.说明:定理3可推广6定理4

.若则有提示:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:

定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)例2.

设

n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束第7页/共26页定理4.若则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定7为无穷小(详见P44)定理5.

若且B≠0,则有证:

因有其中设因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束第8页/共26页为无穷小(详见P44)定理5.若且B≠0,则有证8定理6

.

若则有提示:

因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.机动目录上页下页返回结束第9页/共26页定理6.若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此9例3.

设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:

若不能直接用商的运算法则.例4.

若机动目录上页下页返回结束第10页/共26页例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:10例5.

求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束第11页/共26页例5.求解:x=1时分母=0,分子≠011例6

.

求解:时,分子分子分母同除以则分母原式机动目录上页下页返回结束第12页/共26页例6.求解:时,分子分子分母同除以则分母原式机动12一般有如下结果：为非负常数)机动目录上页下页返回结束第13页/共26页一般有如下结果：为非负常数)机动目录上页13三、复合函数的极限运算法则定理7.

设且

x满足时,又则有证:

当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.机动目录上页下页返回结束第14页/共26页三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,又14定理7.

设且x

满足时,又则有

说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束第15页/共26页定理7.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似15例7.求解:

令已知∴原式=机动目录上页下页返回结束第16页/共26页例7.求解:令已知∴原式=机动目录上16例8.求解:机动目录上页下页返回结束第17页/共26页例8.求解:机动目录上页下页返回17内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件！2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量机动目录上页下页返回结束第18页/共26页内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限18思考题第19页/共26页思考题第19页/共26页19思考题解答不能保证.例有第20页/共26页思考题解答不能保证.例有第20页/共26页20一、填空题:练习题第21页/共26页一、填空题:练习题第21页/共26页21二、求下列各极限:第22页/共26页二、求下列各