2022-2023学年山东省德州市平原县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若代数式有意义，则的取值范围是()

A.B.C.D.

2.如图所示，在中，对角线、交于点，下列式子中一定成立的是()

A.B.C.D.

3.由下列条件不能判定为直角三角形的是()

A.B.，，

C.D.：：：：

4.下列计算中，正确的是()

A.B.

C.D.

5.已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是()

A.B.C.D.无法确定

6.如表是某校合唱团成员的年龄分布：对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()

年龄岁

频数

A.平均数，中位数B.中位数，方差C.平均数，方差D.众数，中位数

7.如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为()

A.

B.

C.

D.

8.关于的一元二次方程的常数项是，则的值()

A.B.或C.D.

9.如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是()

A.

B.

C.

D.

10.如图，在中，为边上的一个动点，，，则的最小值为()

A.B.C.D.

11.为执行“均衡教育”政策，某县年投入教育经费万元，预计到年底三年累计投入亿元．若每年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是()

A.

B.

C.

D.

12.如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，下列结论：

；；≌；若，则，其中结论正确的有()

A.个B.个C.个D.个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.计算：______．

14.数据，，，，的众数是，则方差是______．

15.如图，在中，，分别以点和点为圆心，以相同的长大于为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点若，，则______．

16.若一元二次方程的两个实数根分别是、，则关于的一次函数的图象一定不经过______象限．

17.如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，，是四边形的中点四边形，如果，，那么四边形的面积为______．

18.已知直线：与：其中为正整数，记，与轴围成的三角形面积为，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

计算：；

解方程：．

20.本小题分

王老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了道选择题，每题分，对他所教的八年班和八年班进行了检测．如图所示表示从两班随机抽取的名学生的得分情况：

利用图中提供的信息，补全如表：

班级平均分分中位数分众数分

八年班______

八年班____________

你认为那个班的学生纠错的得分情况比较整齐一些，通过计算说明理由．

21.本小题分

若关于的一元二次方程有两个实数根，．

试确定实数的取值范围；

若，求的值．

22.本小题分

在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．

问是否为从村庄到河边的最近路？即问：与是否垂直？请通过计算加以说明；

求原来的路线的长．

23.本小题分

如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．

求证：；

当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；

若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．

24.本小题分

【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：若设其中、、、均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【问题解决】．

若，当、、、均为整数时，则______，______均用含、的式子表示

若，且、、均为正整数，分别求出、、的值．

【拓展延伸】

化简______直接写出结果．

25.本小题分

如图，直线与轴，轴分别交于点和．

求直线的函数表达式；

点是直线上的一个动点如图，点的横坐标为，以线段为边，点为直角顶点在轴右侧作等腰直角，与轴交于点．

求证：；

在点的运动过程中，是否存在某个位置，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得，，

解得，，

故选：．

根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

2.【答案】

【解析】解：、菱形的对角线才相互垂直．故不对．

B、根据平行四边形的对角线互相平分可知此题选B．

C、只有平行四边形为矩形时，其对角线相等，故也不对．

D、只有平行四边形为矩形时，其对角线相等且平分．故也不对．

故选：．

根据平行四边形的对角线互相平分即可判断．

此题主要考查平行四边形的性质．即平行四边形的对角线互相平分．

3.【答案】

【解析】A、，

，

故是直角三角形，正确；

B、，

故不能判定是直角三角形；

C、，

，

即，

故是直角三角形，正确；

D、：：：：，

，

故是直角三角形，正确．

故选：．

由三角形内角和定理得出条件和是直角三角形，由勾股定理的逆定理，可得出条件是直角三角形，不是；即可得出结果．

本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是证明直角三角形的关键，注意计算方法．

4.【答案】

【解析】解：选项：不是同类二次根式无法合并，故错误；

选项：，故错误；

选项：，故错误；

选项：，正确；

故选D．

根据二次根式的计算公式及完全平方公式，平方差公式计算每一项即可．

本题主要考查二次根式的计算，能够熟练根据公式计算二次根式是解题关键．

5.【答案】

【解析】解：，

，

随着的增大而增大，

点和点在一次函数的图象上，，

故选：．

欲求与的大小关系，通过题中即可判断随着的增大而增大，就可判断出与的大小．

本题考查了一次函数的性质，能否掌握，随着的增大而增大是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，

则总人数为：人，

故该组数据的众数为，中位数为：，

即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，

故选：．

由频数分布表可知后两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第、个数据的平均数，可得答案．

本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：两张正方形纸片的面积分别为和，

它们的边长分别为，，

，，

空白部分的面积

．

故选：．

根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．

本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

根据常数项为及一元二次方程的定义解答即可．

【解答】

解：由题意，得且，

解得，

故选：．

9.【答案】

【解析】解：函数过点，

，

解得：，

，

不等式的解集为．

故选：．

首先利用待定系数法求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出点坐标．

10.【答案】

【解析】解：作过点作于，如图：

，，

，

由勾股定理得：，

当时，最小，

的面积，

即，

解得：，

故选：．

根据垂线段最短，当时，最小，由面积法即可求出的最小值．

本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由三角形面积的计算方法求出的最小值是解决问题的关键．

11.【答案】

【解析】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为，

由题意得，．

故选：．

设每年投入教育经费的年平均增长百分率为，根据题意可得，年投入教育经费年投入教育经费增长率年投入教育经费增长率亿元，据此列方程．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．

12.【答案】

【解析】解：四边形为正方形，，

，，，

为等腰直角三角形，

，

，，

，故正确；

为等腰直角三角形，为的中点，

，，

在和中，，

≌，

，

，故正确；

为等腰直角三角形，为的中点，

，，

在和中，，

≌，故正确；

，

，

为等腰直角三角形，为的中点，

，，

，

在和中，，

≌，

，，，

为等腰直角三角形，

过点作垂直于于点，如图所示：

设，则，，，

则，，

，故正确；

故选：．

根据题意可知，则，即可求解；

由证明≌，得到，从而；

同证明≌即可；

若，则，可以证明≌，则且，则，为等腰直角三角形，过点作垂直于于点，设，则，，，则，．

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

13.【答案】

【解析】解：．

故答案为．

根据算术平方根的性质进行化简，即．

此题考查了算术平方根的性质，能够能够算术平方根的性质进行化简，是一道基础题．

14.【答案】

【解析】解：数据，，，，的众数是，

，

这组数据的平均数是：，

这组数据的方差是：；

故答案为：．

根据众数的定义先求出的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后代入方差公式进行计算即可得出答案．

本题考查众数、平均数和方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差；众数是一组数据中出现次数最多的数．

15.【答案】

【解析】解：连接，

在中，由勾股定理得：，

从作法可知：是的垂直平分线，

根据性质得出，

在中，由勾股定理得：，

即，

解得：，

故答案为：．

根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据勾股定理求出即可．

本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，解题的关键能灵活运用勾股定理．

16.【答案】第二

【解析】解：方程的两个实数根分别是、，

、，

则一次函数的解析式为，

该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，

故答案为：第二．

根据根与系数的关系可得出、，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数的图象经过的象限，此题得解．

本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．

17.【答案】

【解析】解：，，，是四边形的中点四边形，且，

是的中位线

同理可得

根据三角形的中位线定理，可以证明四边形是矩形

那么四边形的面积为．

此题要能够根据三角形的中位线定理证明四边形是矩形，从而根据矩形的面积进行计算．

本题考查了三角形的中位线定理，是经常出现的知识点．

注意：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．

18.【答案】

【解析】解：直线：，

直线：经过点；

直线：，

直线：经过点．

无论取何值，直线与的交点均为定点．

直线：与轴的交点为，

直线：与轴的交点为，

，

；

，

故答案为：．

变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论取何值，直线与的交点均为定点；先求出与轴的交点和与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后即可求解．

此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与轴的交点的纵坐标为，与轴的交点的横坐标为．

19.【答案】解：原式

；

，

，

，

，

，

所以，．

【解析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；

利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程即可．

本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．

20.【答案】解：；；；

；

；

因为，

所以八班成绩比较整齐；

【解析】

【分析】

本题考查了方差、算术平均数、众数和中位数，熟悉各统计量的意义及计算方法是解题的关键．

将图中数据相加再除以，即可到样本平均数；找到图中出现次数最多的数为众数，处于一组数中间位置的数为中位数；

计算出两个班的方差，方差越小越稳定．

【解答】

解：八班平均成绩；

八班处于中间位置的数为和，故中位数为，

出现次数最多的数为，故众数为．

班级平均数分中位数分众数分

班

班

故答案为；；

见答案．

21.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，

，且，

且，

的取值范围为且；

根据题意得，

，

，

，

解得，，

经检验，是原方程的解，

的值为．

【解析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；

根据根与系数的关系得到，再把变形为，整体代入得到，然后解的方程可得到满足条件的的值．

本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．

22.【答案】解：是，

理由是：在中，

，

，

，

，

所以是从村庄到河边的最近路；

设，

在中，由已知得，，，

由勾股定理得：，

，

解得，

答：原来的路线的长为千米．

【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可；

根据勾股定理解答即可．

此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．

23.【答案】证明：．

．

，

，

，

，即，

四边形是平行四边形，

．

解：四边形是菱形．

理由是：为中点，

，

，

．

，

四边形是平行四边形．

，为中点，

，

平行四边形是菱形．

解：当时，四边形是正方形．

理由是：，，

，

．

为中点，

，

，

四边形是菱形，

菱形是正方形，

即当时，四边形是正方形．

【解析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质以及正方形的判定，掌握相关判定和性质是解题的关键．

先证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定推出即可；

证出，再根据正方形的判定推出即可．

24.【答案】

【解析】解：，

，且、、、均为整数，

，，

故答案为：；；

，

，

，

又、、均为正整数，

或，

即，，或，，；

原式

，

故答案为：．

根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；

根据