大数定律和中心极限定理

大数定律和中心极限定理第1页，课件共19页，创作于2023年2月蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得π的近似值.针长L线距a第2页，课件共19页，创作于2023年2月定义:

设{Xn}为随机变量序列，a是一个常数，若对于任意>0,

有则称{Xn}依概率收敛于a。可记为§1大数定律一、依概率收敛意思是:当a时,Xn落在内的概率越来越大。即第3页，课件共19页，创作于2023年2月二、几个常用的大数定律切比雪夫大数定律设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差2>0，则即对任何>0,

证明:

由切比雪夫不等式这里故第4页，课件共19页，创作于2023年2月伯努里大数定律

设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn=nA/n为n次试验中事件A发生的频率，则证明:

设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定理：第5页，课件共19页，创作于2023年2月辛钦大数定律

若{Xk,k=1,2,...}为独立同分布随机变量序列,EXk=<,k=1,2,…

则当随机变量序列X1,X2,...,Xn,…独立同分布时,有如下更实用的结论：例

在掷骰子过程中，以Xn记第n次掷出的点数，在依概率收敛意义下，求的极限。第6页，课件共19页，创作于2023年2月下面我们再举一例说明大数定律的应用.定积分的概率计算法求的值第7页，课件共19页，创作于2023年2月

我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2)计算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似积分值求的值第8页，课件共19页，创作于2023年2月

我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2)计算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似积分值求的值第9页，课件共19页，创作于2023年2月应如何近似计算？请思考.问：若求的值第10页，课件共19页，创作于2023年2月大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性第11页，课件共19页，创作于2023年2月一、依分布收敛定义设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x)。若在F(x)的连续点，有则称{Xn}依分布收敛于X。记为§2中心极限定理若随机变量序列{Xn}之和的标准化变量则称随机变量序列{Xn}满足中心极限定理。第12页，课件共19页，创作于2023年2月二、几个常用的中心极限定理1、独立同分布的中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,

则{Xn}满足中心极限定理。此时有因此，当n充分大时其中Fn(x)为的分布函数。第13页，课件共19页，创作于2023年2月例1将一颗骰子连掷100次，试估算点数之和大于500的概率。解:设Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100,则X1,…,X100独立同分布。并且由独立同分布的中心极限定理知：第14页，课件共19页，创作于2023年2月2、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理设随机变量n(n=1,2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布，则证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由独立同分布的中心极限定理,结论即可得证。即第15页，课件共19页，创作于2023年2月第16页，课件共19页，创作于2023年2月例：华师学生10000名，在周一晚上去自习的概率为0.7，假设彼此自习是相互独立的，设X为周一晚上华师学生去上自习的人数。（1）写出X的分布；（2）用切贝谢夫不等式估算周一晚上华师学生上自习的人数在6800~7200之间的概率的近似值；（3）用棣莫弗-拉普拉斯定理计算周一晚上华师学生上自习人数在6800~7200之间的概率的近似值。解:（1）

第17页，课件共19页，创作于2023年2月（2）（3）第18页，课件共19页，创作于2023年2月例2一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,…,20),

设它们是相互独立的随机变量，且都服从U(0,10)分布。记V=，求V大于105的近似值。例3一船舶在某海区航行，已知每次遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3度的概率p=1/3，若船遭受了90000次波浪的冲击，问其中有29000~30500次纵摇角大于加3度的概率是多少？例4设每个学生有0名、1名、2名家长参加家长会的概率分别为0.05、0.8、