线性代数课件

定义设V

是数域F上的向量空间，a1

,a

2

,,am

˛

V

。若（1）a1

,a

2

,,am

线性无关；（2）V

中任一向量a

均可由a1

,a

2

,,am线性表出，即存在m在个数a1

,a2

,,am

˛

F，使a

=

a1a1

+

a2a

2

+

+

amam则称a1

,a

2

,,am

是V

的一个基，称m为V的维数，记为维(V

)或dim(V

)。例设F是数域，在向量空间F

n中考虑n元基本向量组e1

=

(1,0,,0),

e2

=

(0,1,0,,0),,

en

=

(0,0,,1)因为对任意a

=(a1

,a2

,,an

)˛

F

n，均有a

=

a1e1

+

a2e2

+

+

anen且

e1

,

e2

,,

en

线性无关，故

e1

,

e2

,,

en是向量空间

Fn

的一组基（称之为

Fn

的自然基），同时维(

Fn)

=

n。例

设

A

˛

F

m·n

，秩(

A)

=

r

(1

£

r

<

n)

，则N

(

A)是

F

n

的子空间。任取齐次线性方程组

AX

=

0的一个基础解系

X1

,

X

2

,...,

Xn-r

，容易看出它们就是

N

(

A)

的一个基，因此维[N

(A)]=n

-r。定理设A

˛

F

m·n

，则维(N

(A))+维(R(AT

))=n例求齐次线性方程组

x1

2x1-

x1+

2x2+

4

x2-

2x2+++x33x3x3+++x4x43x4+

x5+

x5-

3x5=

0=

0=

02x3+4

x4-

2x5=

0的解空间的一个基和维数。解已知该方程组有基础解系X1

=（-

2，1，0，0，0）,

X

2

=（-

2，0，1，1，0）,

X

3

=（-

2，0，1，0，1）因此，其解空间N

(A)的一个基为X1

,X

2

,X

3

，且其维数是3。▌例证明：（1）向量组a1

,a

2

,,am

的极大无关组都是生成子空间

L(a1

,a

2

,...,a

m

)

的基；（2）维[

L(a1

,a

2

,,am

)

]

=

秩{

a1

,a

2

,,am

}定理设V是m维向量空间，则V中任意m个线性无关的向量都可构成V

的基。例已知R4

中的三个向量a1

=

(1,2,0,1),a

2

=

(-1,1,1,1),a

3

=

(4,14,2,8)求L(a1

,a

2

,a

3

)的一个基及维数，并将这个基扩充为R4

的一个基。解令0

02

01

2

3

1

-

1 4

1

-

1

4

1

14

行fi

0

1

2

1

0

1

1 8

0

0

0A

=

[a

,a

,a

]

=

2由此得向量组a1

,a

2

,a

3的秩为2，且a1

,a

2

是一个极大无关组。于是，生成子空间L(a1

,a

2

,a

3

)的维数是2，且a1

,a

2

是它的一个基。构造向量(0,0,1,0),(0,0,0,1)，由于1

2

3

40

0

=

[a

,a

,a

,a

]0001

-1

0 0

1

-1

0 0

0

1

0 0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0 1

行(逆向)fi

2因此，只需取

a

3

=

(0,1,0,0),a

4

=

(0,0,0,1)

，则

a1

,a

2

,a

3

,a

4

线性无关，即可作为

R4

的一个基。定义设V是m维向量空间，a1

,a

2

,,am

是V

的一个基。对任一a

˛

V，设a

=

a1a1

+

a2a

2

+

...

+

amam则称有序数组a1,a2

,...,am

为向量a

关于基a1

,a

2

,,am的坐标，记为(a1

,a2

,,am

)或。

m

a

a2

a1

▌例已知R3中的三个向量a1

=

(1,1,1),a

2

=

(1,1,0),a

3

=

(1,0,0)证明：a1

,a

2

,a

3

是R3

的一个基；求向量a

=(1,2,3)关于基a1

,a

2

,a

3的坐标解（1）

只须证a

1

,a

2

,a

3

线性无关；（2）

设a

=

x1a1

+

x2a

2

+

x3a

3把

a

,

a1

,

a

2

,

a

3

均表示为列向量，则有

3

x[a1

a

2

a

3

]

x2

=

a

x1

311

11

100

x0

x2

=

21

x1

1

2

10

3

-

1

=

-

1

2

3

1-1

1

3

x

3

1

1

x

=

1

1

00

x1

故a

关于基a1

,a

2

,a

3

的坐标为（3,-1,-1）。

定义设V

是m

维向量空间，a1

,a

2

,,am

与b1

,b2

,,bm

是V

的两个基。设

b1

=

a11a1

+

a21a

2

+

+

am1a

m

b2

=

a12a1

+

a22a

2

+

+

am2a

mbm

=

a1ma1

+

a2ma

2

+

+

ammam令▌

mm

a1m

A

=

a

am1

m2a2m

a11

a12

a21

a22a则称A是基a1

,a

2

,,am

到基b1

,b2

,,bm

的过渡矩阵。上式可形式地记为b1

,

b2

,,

bm

]=

a1

,a

2

,,am

]A称上面两式为基a1

,a

2

,,am

到基b1

,b2

,,bm

的基变换公式。例已知R3

的一组基b1

=

(1,2,1),

b2

=

(1,-1,0),

b3

=

(1,0,-1)求

R3

的自然基

e1

,

e2

,

e3

到基

b1

,

b2

,

b3

的过渡矩阵。解因为b1

=

e1

+

2e2

+

e3b2

=

e1

-

e2b3

=

e1

-

e3故[b1

,

b2

,

b3

]

=

[e1

,

e2

,

e3

]A其中

1

1

1

1

-

1

A

=

2

-

1

0

0是自然基e1

,e2

,e3

到基b1

,b2

,b3

的过渡矩阵。性质（1）过渡矩阵是可逆矩阵；▌（2）若A是a1,a

2

,,a

m

到b1,b2

,,bm

的过渡矩阵。1

2

m矩阵，则A-1

是b

,b

,,b

到a1,a

2

,,a

m

的过渡定理设V是m维向量空间，a1

,a

2

,,am

与b1

,b2

,,bm

是V

的两个基，a1

,a

2

,,am

到b1

,b2

,,bm的过渡矩阵为A。任取a

˛

V

，设a

关于a1

,a

2

,,am的坐标为(x1

,x2

,,xm

)，关于基b1

,b2

,,bm

的坐标为(y1

,y2

,,ym

)，则

m

m

x

=

A

y

y1

x1

y2

-1

x2

称上式为基a1

,a

2

,,am

到基b1

,b2

,,bm

的坐标变换公式。例已知R3的两组基a1

=

(1,1,1),

a

2

=

(0,1,1),

a

3

=

(0,0,1)b1

=

(1,0,1),

b2

=

(0,1,-1),

b3

=（1，2，0）求a1,a2

,a3到

b1,

b2

,

b3

的过渡矩阵；求a

=（1，0，0）关于基b1,b2

,b3

的坐标。解（1）（法一）设A为所求过渡矩阵，则[b1,

b2

,

b3

]

=

[a1,a

2

,a3

]A把bi

,a

i

均写成列向量，则[a1,a2

,a3

]是3阶可逆矩阵。于是A

=

[a1,a2

,a3

]-1[b1,

b2

,

b3

]0

1

1

1

-

2

-

2

102

=

-

11

1

1

111

0

0

=

1

1

0

0

11

-

10-1

1（法二）取R3

的自然基e1

,e2

,e3，易得[a1

,a

2

,a

3

]

=

[e1

,

e2

,

e3

]P[b1

,

b2

,

b3

]

=

[e1

,

e2

,

e3

]Q其中0

1111

0

0

1

0

1

P

=

1

1

0,

Q

=

0

1

21

-

1∵[e1

,

e2

,

e3

]

=

[a1

,a

2

,a

3

]P

-1∴[b1

,

b2

,

b3

]

=

[a1

,a

2

,a

3

]P

-1Q由此得所求过渡矩阵为A

=

P

-1Q

-

21

0

11

111

0

0

1

1

0

1

=

1

1

0

0

1

2

=

-

1

11

-

1

-

20-1

1（2）设a

=y1b1

+y2b2

+y3b3∵[b1,

b2

,

b3

]

=

[e1,e2

,e3

]Q

0

1

a

=

[e1

,

e2

,

e3

]

0∴

0

-

10

=

2

1

2

-1

3

2

yy

=

Q

y1

即

a

关于

b1

,

b2

,

b3

的坐标为

(2,2,-1)。▌例已知向量空间F

3

的一个基b1

=

(0,1,1),

b2

=

(1,0,1),

b3

=

(1,1,0)解得

x1

=

0,

x2

=

3,

x3

=

-1

。所以，a

关于基

b1

,

b2

,

b3的坐标为(0,3,-1)。3

1

21

x

+

x

x

+

x

=

-1=

3求向量a

=(2,-1,3)关于基b1

,b2

,b3

的坐标。解（法一）令

a

=

x1b1

+

x2b2

+

x3b3

，则

x2

+

x3

=

2（法二）取

F

3

的自然基

e1

,

e2

,

e3

，容易得出b1

=

e2

+

e3

b2

=

e1

+

e3

b3

=

e1

+

e2写成矩阵形式有

0

1

0

1

1

[b1

,

b2

,

b3

]

=

[e1

,

e2

,

e3

]

1

0

11因此，从基

e1,e2

,e3

到基

b1,

b2

,

b3

的过渡矩阵为

0

1

0

1

1

1

0

11已知a

关于自然基e1,e2

,e3

的坐标为(2,-1,3)，所以，根据坐标变换公式，a

关于基b1,b2

,b3的坐标为

-

1

=

3

0

3

-

1

1

0

1

1

0

111-1

2

0

▌例把R

2视为建立了直角坐标系Oxy的平面上全体有向线段的集合，则R

2即为平面空间。此时，R

2的自然基(1,0)，(0,1)

分别对应x

轴和y轴上两条起点在原点O、方向指向坐标轴正向、长为1fifi

fi的有向线段

i

和

j