2018年甘肃省兰州市a卷中考数学试题及习题与讲解案

2018年兰州市初中学业水平考试数学(A)一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2018甘肃兰州中考，1，4分，★☆☆)－2018的绝对值是()11A．B．－2018C．2018D．－201820182．(2018甘肃兰州中考，2，4分，★☆☆)如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是()A．B．C．D．3．(2018甘肃兰州中考，3，4分，★☆☆)据中国电子商务研究中心(100EC．CN)发布《2017年度中国共享经济发展报告》显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得1159.56亿元投资．数据1159.56亿元用科学记数法可表示为A．1159.56×108元B．11.5956×1010元C．1.15956×1011元D．1.15956×108元4．(2018甘肃兰州中考，4，4分，★☆☆)下列二次根式中，是最简二次根式的是()()18A．13B．27C．12D．5．(2018甘肃兰州中考，5，4分，★☆☆)如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是A．50°B．60°C．65°D．70°()6．(2018甘肃兰州中考，6，4分，★☆☆)下列计算正确的是()A．2a·3b=5abB．a3·a4=a12C．(－3a2b)2=6a4b27．(2018甘肃兰州中考，7，4分，★★☆)如图，AB，AC的中△ADE的面是积(D．a5÷a3+a2=2a24的等边△ABC中，边长为D，E分别为点，则)3A．A3B．2DEBC33C．43D．28．(2018甘肃兰州中考，8，4分，★☆☆)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是()7A．AED3B．87C．8BFC5D．89．(2018甘肃兰州中考，9，4分，★★☆)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点ADF．若ABD=48°，CFD=40°，则E为()BFCA．102°B．112°C．122°D．92°E2xa10．(2018甘肃兰州中考，的取值范围为(A．a＞1B．a＜1C．a＜1且a－211．(2018甘肃兰州中考，11，4分，★★★)如图，图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b－a＞c；③4a+2b+c>0；④3a>－c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数)．10，4分，★★☆)关于x的分式方程x1=1的解为负数，则a)D．a＞1且a2已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如其中正确的结论有()y11xA．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤1452与x轴的交于C，C2与x轴的12．(2018甘肃兰州中考，12，4分，★★★)如图，抛物线y=x－7x+22点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C，将C向左平移得1121交于点B、D．若直线y=x+m与C1、C2共有三个不同的交点，则m的取值范围是()2yABDOxCC12455291295451A．－<m<－B．－<m<－C．－<m<－D．－<m<－82828282二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(2018甘肃兰州中考，13，4分，★☆☆)因式分解：xy－y3=_________．22(x1)5x7,14．(2018甘肃兰州中考，14，4分，★★☆)不等式组4x312x的解集为______．3315．(2018甘肃兰州中考，15，4分，★☆☆)如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C=55°，则劣弧AB的长是______．(结果保留π)COBA16，4分，★★★个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点16．(2018甘肃兰州中考，)如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两F，连接CF．若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是______．三、解答题：本大题共12小题，满分86分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．117．(2018甘肃兰州中考，17，5分，★☆☆)计算：(－)－2+(π－3)0+|1－|+tan45°．2218．(2018甘肃兰州中考，18，5分，★★☆)解方程：3x－2x－2=0．23x4x2x1x1，其中19，5分，★★☆)先化简，再求值：(x－)÷19．(2018甘肃兰州中考，1x=．220．(2018甘肃兰州中考，20，6分，★★☆)如图，在Rt△ABC中．(1)利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长；(2)利用尺规作图，作出(1)中的线段PD．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)CAB21．(2018甘肃兰州中考，21，7分，★★☆)学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注．学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．学生借阅图书的次数统计表借阅图书的次数0次1次2次3次4次及以上人数713a103学生借阅图书的次数统计图4次及以上3次0次b%1次2次26%请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：(1)a=______，b=______；(3)该调查统计数据的中位数是______，众数是______；(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；(4)若该校共有2000名学生，根据调查结果，统计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．22．(2018甘肃兰州中考，4的小球，形状、大小完全相同．李强从布袋里随机取出一个小球，x，王芳在坐标(x，y)．(1)画树状图或列表，写出点M所有(2)求点M(x，y)在函数y=x＋1的图22，7分，★★☆)在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，记下数字为记下数字为y，这样就确定了点M的它们的剩下的3个小球中随机取出一个小球，可能的坐标；象上的概率．23．(2018甘肃兰州中考，为3米，坡底AE为18米，在CD的高度．(结果号)23，7分，★★☆)如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离ABB处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°，60°．求保留根DBA30°60°CE24．(2018甘肃兰州中考，每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商家管理费30天计算)，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天的销售量增加2件，x天(1≤x≤30且x为整数)的销量为y件．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最24，7分，★★☆)某商家销售一款商品，进价每件80元，售价5元．未来一个月(按比前一天降设第大？最大利润是多少元？25．(2018甘肃兰州中考，25，8分，★★☆)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax1k＋b的图象与反比例函数y=2的图象交于点A(1，2)和B(－2，m)．x(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)请直接写出y>y12时，x的取值范围；(3)过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE一上点，若AC=2CD，求点C的坐标．yy1Ay2xODEB26．(2018甘肃兰州中考，26，8分，★★☆)如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G．连接AD，CF．(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；3(2)若GB=3，BC=6，BF=，求AB的长．2ADEFGCB27．(2018甘肃兰州中考，27，9分，★★★)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD=∠B．(1)求证：DC为⊙O的切线；3(2)线段DF分别交AC，BC于点E，F，且∠CEF=45°，⊙O的半径为5，sinB=，求5CF的长．CFEBADO28．(2018甘肃兰州中考，B(5，－4)两点，(1)求抛物线(2)求证：AB平分∠CAO；(3)抛物线28，12分，★★★)如图，抛物线y=ax²+bx－4经过A(－3，0)，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．的表达式；的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．yOAxCB2018年兰州市初中学业水平考试数学(A)答案全解全析1．答案：C解析：∵负数的绝对值是其相反数，∴|－2018|=2018．故选C．考查内容：绝对值．命题意图：本题考查学生对绝对值的识记，难度较小．2．答案：A解析：从正面看，下面一层有3个正方体，上面一层有1个正方体．故选A．考查内容：三视图．命题意图：本题考查学生对三视图的掌握，难度较小．3．答案：C解析：1159.56亿=1.15956×1000×100000000=1.15956×103×108=1.15956×1011．故选C．考查内容：科学记数法．命题意图：本题考查学生对科学记数法的掌握，难度较小．4．答案：B18322解析：∵=27323=33223=23，∴，182712，=，==321312和的被开方数中都含有能开得尽方的数，它们不是最简二次根式；的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的数，是最简二次根式．故选B．考查内容：最简二次根式．命题意图：本题考查学生对最简二次根式的识记，难度较小．5．答案：A解析：∵AB∥CD，∴∠2=∠BAD．∵AD=CD，∴∠CAD=∠ACD．在△ADC中，∠CAD=∠2=50°．故选A．1802∠ACD=，又∵∠2＋∠1＋∠CAD=180°，∠1=65°，∴2考查内容：平行线的性质；三角形的内角和；等腰三角形的性质．命题意图：本题主要考查学生应用平行线、三角形的相关知识推理的能力，难度较小．6．答案：2a·3b=2×3×ab=6ab≠5ab，故B项错误；(－3ab)2=(－A项错误；因为a3·a4=a3+4=a7≠a12，故23)2×a2×2b1×2=9a4b2≠6a4b2，故C错误；a÷a+a2=a5－3+a2=(1+1)a2=2a2，故D项正D解析：确．故选D．53考查内容：整式的运算．命题意图：本题考查学生对整式运算的掌握，难度较小．7．答案：A13=43．∵D，E分别为AB，AC解析：∵等边△ABC的边长为4，∴S=×BC×2ABC2△113=3．故选A．的中点，∴DE为中位线，∴DE∥AB，∴S=S△ABC=×4ADE44△考查内容：等边三角形的性质；中位线的性质定理；相似三角形的性质与判定．命题意图：本题考查学生对等边三角形与相似三角形相关知识的掌握，难度中等．8．答案：C解析：设AE=x，AB=3，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得BE=9x2．SBFDE=3×BE=3×DE，▱7=4－x，∴x=．故选C．89x∴BE=DE，即2一题多解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD=3．∵∠A=∠G，∠AEB=∠GED，AB=GD=3，∴△AEB≌△GED．∴AE=EG．设AE=EG=x，则ED=4﹣x，在Rt△DEG中，ED=GE2+GD2，27x2+32=（4﹣x）2，解得：x=．故选C．8考查内容：勾股定理；矩形的性质；平行四边形的判定与性质．命题意图：本题考查学生应用特殊四边形相关知识进行推理的能力，难度中等偏上．9．答案：B解析：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．由折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，∠CFD=∠DBC+∠EDB=2∠DBC，又∵∴∠DBC=∠EDB．在△DBF中，CFD=40°，∴∠A=180°－∠ABD－∠ADB=180°－48°－∠E=∠ADB=112°．故选B．∠A=∠E=x，∠ABD=∠DBE=48°，∠BFE=∠DFC=40°，∠FBD=∠ADB=180°－∠A－∠ABD=180°－x－48°=132°－x，则∠EBF=∠EBD－∠FBD=48°－(132°－x)=x－84°，又∵∠E＋∠BFE＋∠EBF=180°，∴x+40°+(x－84°)=180°，∴x=112°．故选B．∠DBC=20°，∴∠ADB=20°．在△ABD中，20°=112°，∴一题多解：设考查内容：平行四边形的性质；三角形外角的性质；三角形的内角和．命题意图：本题主要考查学生应用平行四边形和三角形相关知识进行角度推理的能力，难度中等．10．答案：D解析：解这个分式方程，得x=1－a(x≠－1)．当1－a<0时，a>1且a≠2．故选D．考查内容：解分式方程．命题意图：本题主要考查学生对方程解的理解，难度中等．11．答案：解析：①由抛物线的开口向下，得a<0；由抛物线交ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根为x，xx<x，由函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象可知－1<x<0，x>12，By轴于正半轴，得c>0；设方程12(12)1b∴x+x=1－>0，∴b>0，∴abc<0，故abc>0错误；2a②x=－1时，y=a－b＋c<0，∴b－a>c；③由函数的图象知：y轴关于直线x=1的对称直线交抛物线于正半轴，即当x=2时，y=4a＋2b＋c>0；b④由抛物线的对称轴为x=1，得－=1，∴b=－2a．又∵a－b＋c<0，∴a－(－2a)＋c<0，2a∴3a<－c，故3a>－c错误；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c．当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m(am+b)．确．故选B．归纳总结：(1)a的取值情况由开口方向则a＜0．(2)b取值情况由对故②③⑤正确定：抛物线开口向上，则a＞0；若抛物线开口向下，b则称轴位置与开口方向共同确定：若对称轴是y轴，2a=0，b=0；若对b在y轴的右则，则＞0，则a、b异号；若对称轴在y轴的左侧，则2aa、b同号，(3)c的取值由抛物线与y轴交于则c＜0；若抛物线(4)b2－4ac的取值由抛物线与x轴的交＞0；若抛物线与x轴交于则b－4ac=0；若抛物线(5)关于a、b、c的特殊代数式的①a＋b＋c为x=1时，②a－b＋c为x=－1时，b2a＜0，则称轴简单地说：左同右异．与y轴交点的位置确定：若抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0；若抛则c=0．与x轴交于两物线负半轴，经过原点，点个数确定：若抛物线点，则b－4ac2一点，与x轴没有交点，则b－4ac＜0．22取值：y的值，即为抛物线上点(1，a＋b＋c)的纵坐标；y的值，即为抛物线上点(1，a－b＋c)的纵坐标．考查内容：抛物线的对称轴、与坐标轴交点、对称性；二次函数与一元二次方程的关系；不等式．145解析：在y=x－7x+中，令y=0，解得x1=9，x2=5，∴点A，B的坐标分别为(9，0)，222(5，0)．∵C1的顶点坐标为(7，－2)，C是由C1向左平移得到的，∴点D的坐标为(1，0)，2121252C2的顶点坐标为(3，－2)，∴C对应的函数解析式为y=(x－3)2－2=x2－3x+(1≤x≤5)．21151y=x+m与C2相切时，可知关于x的一元二次方程x2－3x+=x+m即x2－7x2222当直线29＋5－2m=0有两个相等的实数根，∴Δ=(－7)2－4×1×(5－2m)=0，解得m=－．8115当直线y=x+m过点B时，可得0=×5+m，解得m=－．2212295时，如图，当－<m<－直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点．故选C．822考查内容：一元二次方程与二次函数的关系；数形结合．命题意图：本题主要考查学生对一元二次方程与二次函数关系的掌握及数形结合的能力，难度较大．13．答案：y(x＋y)(x－y)解析：原式=y(x2－y2)=y(x＋y)(x－y)．考查内容：因式分解．命题意图：本题考查学生对因式分解的掌握，难度较小．14．答案：－1<x<342解析：解不等式2(x+1)>5x－7，得x<3；解不等式x+3>1－x，得x>－1．∴不等式组33的解集是：－1<x<3．考查内容：解不等式组．命题意图：本题主要考查学生对解不等式组的掌握，难度中等．1115．答案：π6110311=π．6解析：∵∠C=55°，∴∠AOB=2∠C=110°，∴劣弧AB的长为：180考查内容：圆周角定理；弧长公式．命题意图：本题主要考查学生对圆周角与弧长有关计算的掌握，难度中等．516．答案：3－3解析：在正方形ABCD中，AD=BC=CD=6，∠ADC=∠BCD=90°，∠BCE=∠DCE．在Rt△ADM和Rt△BCN中，ADBC,AMBN,∴Rt△ADM≌Rt△BCN(HL)，∴∠1=∠2．在△DCE和△BCE中，BCCD,DCEBCE,CECE,∴△DCE≌△BCE(SAS)，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°，∴∠1＋∠ADF=90°，∴∠AFD=90°．取AD的中点O，连接OF，OC．在Rt△AFD中，∵∠AFD=90°，O为AD的中点，1∴OF=DO=AD=3．22DODC2=6232=35．在Rt△ODC中，OC=在△OCF中，OF＋FC>CO，∴当C、F、O三点在5－3．同一直线上时CF的长度最小，CF=OC最小－OF=3考查内容：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的三边关系．命题意图：本题主要考查学生对线段最短值问题的探究能力，难度较大．17．解析：原式=4+1－(1－2)+1=2+5．考查内容：负指数次幂；0次幂；绝对值；特殊角的三角函数．命题意图：本题主要考查学生对实数运算的掌握，难度较小．18．解析：a=3，b=－2，c=－2，∴b²－4ac=(－2)2－4×3×(－2)=28＞0，22817，∴x==2331717．∴x1=，x2=33考查内容：解一元二次方程．命题意图：本题考查学生解一元二次方程的能力，难度中等．x24x4x1x119．解析：原式=×x2=x-2．113把x=代入得：原式=-2=．222考查内容：分式的化简求值．命题意图：本题主要考查学生对分式有关运算的掌握，难度中等．20．解析：(1)如图，作∠CAB的平分线，交BC于点P．(2)如图，过点P作PD⊥AB，交AB于点D．CPAB考查内容：尺规作图．命题意图：本题考查学生对尺规作图的掌握，难度中等．21．解析：(1)1720解法提示：样本总人数：13÷26%=50(人)；a=50－7－13－10－3=17(人)；1050=20%．b%=故应填：17，20．(2)将借阅次数从小到大排列后，处于第25与26位的数都是2，故这组数据的中位数是2次；“2次”出现了17次，故这组数据的众数是2次．2次，2次．这组数据中，出现的次数最多，故应填：(3)360°20%=72°．3(4)2000×=120(人)．易错警示：本题容易把统计量误认为人数，从而出现中位数与众数分50别为10人、3人的错误．考查内容：统计图表；中位数；众数；样本与总体的关系．命题意图：本题主要考查学生对统计图表中数量关系的掌握及对中位数、众数的理解，难度中等．22．解析：(1)列表如下：12341(1，2)(1，3)(1，4)2(2，1)(2，3)(2，4)(3，4)3(3，1)(3，2)4(4，1)(4，2)(4，3)所以，点M所有可能的坐标有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．(2)点M(x，y)共有12种等可能的结果，其中在函数y=x＋1的图象上的有3种：(1，2)，(2，3)，(3，4)，31．124∴P(点M在函数y=x＋1的图象上)=考查内容：概率．命题意图：本题主要考查学生对求等可能事件概率的掌握，难度中等．23．解析：如图，过点B作BF⊥CD于点F．由题意知：AB=FC=3米，BF=AC．设DC=x米，则DF=(x－3)米．DFx3tan30=tan30=在Rt△DBF中，BF=3(x－3)米；3DCtan60=tan60=3x在Rt△ECD中，EC=x米；3∴3(x－3)=18+x，393∴x=9+．293答：CD的高度为(9+)米．2DBF30°60°ACE考查内容：解直角三角形．命题意图：本题主要考查学生对解直角三角形的掌握，难度中等．24．解析：(1)y=2x+40．(2)w=(2x+40)（145－80－5－x）=－2(x－20)2+3200．∵1≤x≤30且x为整数，∴当x=20时，w取得最大值，W=3200元，最大即第20天时，利润最大，最大利润为3200元．考查内容：二次函数的应用．命题意图：本题主要考查学生应用二次函数解决实际问题的能力，难度中等．k(1)由反比例函数y=的图象过点A(1，2)和B(－2，m)，2x25．解析：∴k=2，m=－1，k2∴反比例函数y=的解析式为y=．22xx由一次函数y=ax＋b的图象过点A(1，2)和B(－2，－1)，1ab2,∴2ab1,a1,解得b1,∴一次函数y=ax＋b的解析式为y=x＋1．11(2)－2<x<0或x>1．解法提示：观察图象，根据A(1，2)和B(－2，－1)得：在y轴的在y轴的左边，当－2<x<0时，y1>y2；右边，当x>1时，y>y．12故当y1>y2时，－2<x<0或x>1．(3)∵A(1，2)，B(－2，－1)且AD⊥BE，∴D(1，－设点C的坐标为(x，－由AC=2CD得AC2=4CD2，即(x－1)2+32=4(x－1)2，解1)．1)，则CD=|x－1|，∴AC=2(x1)32，33，x2=1－．这个方程得x1=1+33故点C的坐标为，－1)和(1－，－1)．(1+考查内容：一次函数的图象；反比例函数的图象；待定系数法；图象法解不等式．命题意图：本题主要考查学生数形结合的能力，难度中等．26．解析：(1)证明：∵E是AC的中点，∴AE=CE．∵AF∥CD，∴∠FAE=∠DCE，在△AEF与△CED中，FAEDCE,AEFCED,AECE,∴△AEF≌△CED(AAS)，∴AF=CD，又∵AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形．(2)解：∵BF∥CD，∴△GBF∽△GCD，GBBF∴，GCCD3又∵GB=3，BC=6，BF=，29∴CD=，29又∵AF=CE=，2∴AB=AF+BF=6，即AB的长为6．考查内容：平行四边形的判定；全等三角形的性质与判定；相似三角形的性质与判定．命题意图：本题主要考查学生应用全等三角形、相似三角形的相关结论进行推理论证的能力，难度中等偏上．27．解析：(1)证明：如图，连接OC．∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，∴∠DAC+∠OCA=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．CFEBADO(2)解：∵∠CEF=45°，∠ACB=90°，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴CF=CE．∵sinB53，AB=2OA=10，∴AC=6，∴BC=8．在△DAE与△DCF中，∵∠DAE=∠ACB+∠B，∠DCF=∠ACB+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠DAE=∠DCF，又∵∠CFE=∠CEF=∠AED，∴△DAE∽△DCF，CFDF∴=，∠C