地图投影及其判别与变换课件

第三章地图投影及其判别与变换2第一节地图投影基本概念一、地图投影的基本概念1.地图投影的科学内涵地图是纸质平面图，而地球椭球面是个曲面。将曲面展开，使其成为没有破裂和重叠的平面。342.定义地图投影：在球面与平面之间建立点与点之间对应函数关系的数学方法。地图投影学：研究地图投影的理论、方法、应用和变换等学问的科学，称地图投影学或数学制图学。ｘ＝ｆ1（λ，φ）ｙ＝ｆ2（λ，φ）

6过程：先将球面上一些经纬线的交点展绘在平面上将相同经度、纬度的点分别连成经线和纬线，构成经纬网再将球面上的点，按其经纬度转绘在平面上相应位置处。71.投影变形概念

地球曲面展成平面，某些部分发生破裂或重叠，将裂开的部分予以均匀地拉伸，重叠的部分予以均匀地压缩，使地图上与地球上相应部分失去了相似性，产生形状变化。长度、面积和形状（角度）二、地图投影变形问题

89对比地球仪与地图二者的经纬网经线圈纬线圈球面梯形10地图投影变形是不可避免的掌握地图投影变形性质和规律，才能有目的地支配和控制地图投影的变形，以满足使用地图的各种要求。11（1）长度比和长度变形：投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。

m表示长度比，Vm表示长度变形

长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。=0不变>0变大<0变小2.地图投影变形的性质12极值长度比和主方向

极值长度比投影后,保持正交的一对直径即构成变形椭圆的长短轴。称为极大和极小长度比。通常用ａ和ｂ表示，是个变量，在不同点上其值不等；在同一点上也随方向不同而变化。13经纬线为正交，经线长度比（ｍ）和纬线长度比（ｎ）即为极大和极小长度比。经纬线投影后不正交，其交角为θ，则ｍ、ｎ和ａ、ｂ之间具有下列关系：

m2＋n2＝ａ2＋ｂ2

mnsinθ＝ａｂ（ａ＋ｂ）2＝m2＋n2＋2mnsinθ

（ａ－ｂ）2＝m2＋n2－2mnsinθ14主方向过地面某一点上的一对正交微分线段，投影后仍为正交，所指的方向称主方向。其长度比为极值长度比。在经纬线为正交的投影中，经纬线长度比与极值长度比一致。在经纬线不正交的网格上，变形椭圆的主方向与经纬线不一致。15特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向长轴方向（极大值）a短轴方向（极小值）b经线方向

m

；纬线方向

n统称

主方向据阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b16（2）面积比和面积变形：投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。P

表示面积比Vp

表示面积变形

P=a·b=m

·

n(q=90)

P=m

·

n

·sinq

(q≠90)

面积比是变量，随位置的不同而变化。=0不变>0变大<0变小17（3）角度变形：投影面上过一点的任意两方向线的夹角α′与地面上相应两方向线的夹角α之差值，以α′－α表示。设ω/2代表α－α′最大角度变形:或角度变形是形状变形的具体标志。P36—p3718

设A点的坐标为（x、y），A

′点的坐标为(x

′

、y

′

)，则将上式两边各减和加

tana

即：将两式相除，得：

显然当（a+a

′

）=90°时，右端取最大值，则最大方向变形：以w表示角度最大变形：若已知

m,n,q

，则：223.变形椭圆与等变形线（1）变形椭圆：球面上的微分圆，投影到平面上变成椭圆。23投影前以O为圆心，OM为半径微分圆的方程式为：ｘ2＋ｙ2＝ｒ2

投影后得到以O′为中心，θ为交角的两共轭直径为斜坐标轴的椭圆方程式24比较变形椭圆与微分圆，椭圆与圆的半径不等，且在某一点附近随方向的改变而变化，长度变形；椭圆面积与圆面积为不等面积的变形；A′与A位置不同，角度产生了变形；由圆变为椭圆，形状发生改变.（2）等变形线等变形线投影面上变形值相等的点的连线。用来显示地图投影变形的大小和分布状况。不同投影有不同形状的等变形线P102常用投影的等变形线分布标准点

地图投影面上没有任何变形的点---切点。离开标准点愈远，则变形愈大。标准线地图投影面上没有任何变形的一种线，----相切或相割的线。分标准纬线和标准经线。离开标准线愈远，则变形愈大。26第二节地图投影分类一、按投影变形性质分类1.等角投影2.等积投影3.任意投影形状不变面积不变特定方向距离不变281.等角投影

定义：投影面上某点的任意两方向线夹角与地球椭球体面上相应的夹角相等的投影。ω＝0，ａ＝ｂ、ｍ＝ｎ为等角投影的条件特点：变形椭圆仍为圆；小范围内没有方向变形。各点上长度比不一致，微分圆的大小不同，为了满足ａ＝ｂ的要求，面积变形较大。用途：适用于编制风向、洋流、航海、航空等地图和各种比例尺地形图。292.等积投影

定义：投影面上的任意图形面积与地球椭球体面上相应的图形面积相等的投影。即F′＝F或υΡ＝0，P＝1；则ａｂ＝1。特点：除标准点和标准线之外，变形椭圆成椭圆，角度变形较大，图形轮廓形状变化大。用途：便于量测面积，用于编制要求面积无变形的地图，如政区、人口密度、土地利用、森林和矿藏分布图以及其它自然和经济地图。303.任意投影

定义：既不等角也不等积，除等角、等积两类投影之外的所有投影。特点：在任意投影中，沿变形椭圆一个主方向长度比为1，即ａ＝1或ｂ＝1、ｍ＝1，称（等距投影），其面积变形较等角投影小，角度变形较等积投影小，变形较适中；用途：多用于对投影性质无特殊要求或区域较大的地图，如教学地图、科普地图、世界地图、大洋地图，以及要求在一方向上具有等距性质的地图，如交通地图和时区地图等。31二、按构成方法

投影几何面与球体相对位置的不同的不同可分为正轴横轴斜轴相切和相割图2-23球面与辅助几何面相切和相割的投影形式

地图投影几何非几何圆柱方位圆锥伪圆锥伪圆柱伪方位多圆锥横轴斜轴正轴等积等距等角切割331.几何投影（1）方位投影定义：是以平面为投影面，并与地球体面相切或相割，将球面上经纬网投影到平面上而成的一种投影。经纬网形状及变形：正轴，纬线呈同心圆；经线为自圆心辐射的直线。在切点或割线上无任何变形，离切点或割线愈远，则变形愈大，在割线外侧的变形为正，内侧的则为负。经线夹角δ等于实地经差Δλ，即δ＝C·Δλ，投影常数C＝1。分类：按平面和地球的关系有切、割；有正、横、斜方位投影；按投影变形性质分，有等角、等积和等距方位投影用途：适用于编制具有圆形轮廓地区，如极地和半球的地图。34351方位投影

图2-24方位投影的经纬网图形举例

图2-25正轴方位投影变形分布规律

以正轴为例纬距心射：急剧扩大正射：急剧缩小平射：逐渐扩大等角即平射等积：逐渐缩小等距：相等38（2）圆锥投影

定义:以圆锥体面为投影面，与地球体面相切或相割，将经纬网投影到圆锥体面上，沿母线将圆锥体面展成平面而成。经纬网形状及变形：正轴，纬线呈同心圆弧，经线为交于圆心的辐射直线束，在切线和割线上无变形，离切线或割线愈远变形愈大；在割线以外变形为正，以内为负。经线间夹角δ小于实地经差Δλ，即δ＝C·Δλ，投影常数C＜1。分类：按切、割位置分，正切或正割圆锥投影、横圆锥投影、斜圆锥投影。按变形性质分，有等角、等积和等距圆锥投影。用途：适用于编制中纬度地带沿纬线方向伸展地区的地图，我国的地图多用此投影。3940

圆锥投影变形分布规律

正轴切圆锥投影经纬网图形

41经线为放射直线；纬线为同心圆。等距：纬距相等。等积：纬距从图幅中央向南北逐渐缩小。等角：纬距从图幅中央向南北逐渐扩大。43（3）圆柱投影定义:以圆柱体面为投影面，相切或相割，先将经纬网投影到圆柱体面上，再沿母线展成平面而成的一种投影。经纬网形状及变形：正轴，经线呈等间距的平行直线，纬线为垂直于经线的另一组非等间距的平行直线。在切线和割线上无变形，离切线或割线愈远，则变形愈大，在割线外侧的变形为正，在内侧的为负。分类：正切或正割圆柱投影、横圆柱投影、斜圆柱投影。按变形性质分，有等角、等积和等距圆柱投影。用途：一般适用于编制赤道附近地区的地图和世界地图。4446正轴圆柱投影的经纬网图形

圆柱投影变形分布规律

472．解析投影（条件投影）（非几何投影）解析投影：即在方位、圆锥和圆柱投影经纬网格基础上，根据某种条件加以改进而成的投影。主要有伪圆锥、伪圆柱和伪方位三种投影。48

（1）伪圆锥投影在圆锥投影基础上，保持纬线为同心圆弧和中央经线为直线，将其它经线由辐射直线束改变为对称凹向中央经线的曲线。因经纬线不正交，故无等角性质，只有等积和任意两种性质的投影。在实用上只有等积，以彭纳投影为代表:中央经线呈直线，其余经线为对称凹向中央经线的曲线，除了中央经线与各纬线正交、切纬线与各经线正交外，其余经纬线均不正交；中央经线和切纬线无变形，即m0＝1、n0＝1，离开中央经线和切纬线愈远，其变形愈大。实用于编制亚洲、澳洲等中纬度国家或区域地图。4950（2）伪圆柱投影在圆柱投影基础上，除保持纬线为平行直线、中央经线为直线外，其余经线改为对称凹向中央经线的曲线。因经纬线不正交，故无等角性质，只有等积和任意两种性质的投影。等积伪圆柱投影，如摩尔维特投影:经线为椭圆弧，中央经线左右90°的经线合成一个圆，等于半球面积，中央经线长度等于赤道的一半。用于编制世界地图，对揭示某种地理现象水平地带分布规律，具有很大优越性。51（3）伪方位投影在方位投影基础上，除保持纬线为同心圆弧、中央经线为直线外，其余经线由辐射直线改为对称于中央经线的曲线。因等变形线近似椭圆，故又称椭圆变形投影。主要属于任意投影。斜轴时，南北极均可绘出，投影中心位于25°N纬线与中央经线交点上，中央经线上纬线间距由投影中心向两极略有减缩，用于编绘北冰洋与大西洋地图。52伪方位投影及等变形线

53（4）多圆锥投影定义:是以若干大小不同的同轴圆锥体面为投影面，分别切于地球体面某一所需的纬线，各自进行投影，将经纬网投影到圆锥体面上，然后沿某一共同母线剖开展成平面，并沿中央经线将每次投影产生的纬度带经纬网接合起来而成。普通多圆锥投影属于既不等角又不等积的任意投影；经纬网形状及变形：中央经线与赤道呈正交的直线，且为对称轴，中央经线长度不变，m0＝1，其余经线为对称凹向中央经线的曲线，且长度都增大；各纬线为对称凸向赤道的同轴圆弧，圆心在中央经线延长线上，且保持长度不变，n＝1；离开中央经线愈远，投影变形愈大。用途：常用于编制中小比例尺地图，尤其适用于编制沿经线方向伸长的国家或地