数学二轮专题1集合、函数、导数、方程、不等式第3讲函数与方程课件

专题讲练第一部分专题1集合、函数、导数、方程、 不等式第3讲函数与方程考点新课标卷考题统计考纲解读2019年2018年2017年函数图象卷Ⅰ，5，卷Ⅲ，7卷Ⅱ，3卷Ⅲ，7主要考查函数图象的识别与应用，利用导数综合研究函数的性质、函数的零点、方程的根；利用导数构造函数证明不等式．题型为选择题、填空题和解答题.利用导数研究函数的零点、方程的根的问题卷Ⅰ，20卷Ⅱ，20卷Ⅰ，9，卷Ⅱ，21卷Ⅲ，15卷Ⅰ，21，卷Ⅱ，21卷Ⅲ，11利用导数构造函数证明不等式卷Ⅲ，21卷Ⅱ，21卷Ⅲ，21栏目导航02热点题型03精题强化01真题感悟01真题感悟【答案】B【解析】由g(x)＝0得f(x)＝－x－a，作出函数f(x)和y＝－x－a的图象如图．当直线y＝－x－a的截距－a≤1，即a≥－1时，两个函数的图象有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[－1，＋∞)．故选C．1．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．02热点题型函数图象A

B

C

D

【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【答案】D辨识函数图象的两种方法1．直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．2．利用间接法，排除、筛选错误与正确的选项，可从以下几个方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从特殊点出发，排除不符合要求的选项．

(1)(2018年新课标Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(

)【答案】(1)D

(2)D例2

(2018年辽宁模拟)已知函数f(x)＝(x－3)ex－a＋1有两个零点，则实数a的取值范围是(

)A．(1－e，－1)

B．(－e,0)C．(1－e2，－1)

D．(1－e2,1)【答案】D【解析】令f(x)＝0，得(x－3)ex＝a－1.设g(x)＝(x－3)ex，则g′(x)＝(x－2)ex，当x<2时，g′(x)<0，g(x)单调递减且g(x)<0恒成立；当x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x＝2时，g(x)取得极小值g(2)＝－e2.结合g(x)的图象，可得当－e2<a－1<0时，f(x)有两个零点，故1－e2<a<1.故选D．函数零点问题1．判断函数零点个数的方法(1)解方程法；(2)零点存在性定理法；(3)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

(2019年吉林长春模拟)已知函数f(x)＝x3－3x，且函数g(x)＝f(f(x)－a)恰有9个零点，则a的取值范围为(

)当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2；当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－2.由f(x)＝0，解得x＝－或0或.作出函数f(x)的大致图象如图所示．例3

(2018年新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，求证：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)内只有一个零点，求a.利用导数证明不等式【解析】(1)证明：当a＝1时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x.令g(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2.令g′(x)＝0，解得x＝ln2.当x∈(0，ln2)时，g′(x)＜0；当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)＞0.∴g(x)≥g(ln2)＝eln

2－2·ln2＝2－2ln2＞0.∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(x)≥f(0)＝1.利用导数证明不等式，可从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明．其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．

(2019年内蒙古模拟)已知函数f(x)＝2ax－1－2lnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)当x>y>e－1时，求证：exln(y＋1)>eyln(x＋1)．例4

(2019年湖南模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)ex＋a.(1)若f(x)≥f(0)恒成立，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)<ax有且只有两个整数解，求a的取值范围．导数与方程、不等式的综合问题【解析】(1)∵f(x)＝(ax－1)ex＋a，∴f′(x)＝(ax－1＋a)ex.由f(x)≥f(0)恒成立，可知x＝0时f(x)取得最小值，也应是极小值，则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1.若a＝1，则f′(x)＝xex.当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)≥f(0)恒成立，a＝1符合题意．∵f′(1)＝e，f(1)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝e(x－1)，即y＝ex－e＋1.研究方程与不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，利用导数研究该函数的单调性、最值、大致图象和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况及方程根的情况．03精题强化【答案】B【答案】(1,3]∪(4，＋∞)【解析】函数f(x)的草图如图，若函数f(x)恰有2个