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文档简介

哥德爾不完備性定理GodelsIncompletenessTheorems序希爾伯特的23個數學問題TheHilbertChallenge目標:不完備性定理的内容與歷史緣由何謂公理就最初淺的意義而言,公理是指一些“我們先決接受為真”的東西,用以作為我們討論一科學的起點Eⅹ1對於物理學而言,“能量守恆”是一條公理Eⅹ2對於歐氏幾何而言’“平行線永不相交公理應該要是互相獨立的由於公理可以說是一糸列存而不證的假設,所以我們希望公理是越少越好而若是有一條公理’它能夠由其他的公理所推出來’那這條公理就是多餘的因此,公理之間應該是互相獨立的,也就是說你不能由其中若干條推出另一條出來公理糸統應該要是完備的作為一門科學的基礎’一套公理應該要容許我們能夠對這門科學下的每條命題加以判別為真或為假因此’一個公理糸統應該是完備的’應該能夠對系統下的每條命題加以證明或否證·也就是說,不應該容許不可判定命題的出現,例如本命題不可被證明”請注意以下兩者的差別:“本命題是假的”是既不真也不假,“沒有真假值”的句子本命題不可被證明”是不能被證明為真也不能被證明為假它可能還是有真假值希爾伯特想知道說’我們的數學體系究竟是不是完備的?是否在數學中,存在有不可判定命題?他認為數學體系是完備的,並嘗試去證明他的想法是,幾何可以用座標體系一一對應到數域上’而整個數域又以算術∶整數和加減乘除為基礎,因此’只要證明算術系統是完備的’就能證明整個數學體系是完備的第二問題算術公理的完備性證明皮亞諾算術公理糸統是完備的’進而證明整個數學系統是完備的就算是完備的又如何?如果是完備的’希爾伯特想要用它來證明像是第一問題之類的東西

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