华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析

华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析一、背景知识：据传说，古罗马时代有一位名叫海伦的学者，他精通数学和物理。有一天，一位罗马将军前来请教他一个难题：每天他从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题被称为“将军饮马”问题，据说海伦很快解决了它，从此这个问题流传至今。二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两个定点到一个动点的距离和最小例1：在一条定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB最小。作法：连接AB，与直线l的交点Q即为所求点，当动点P跑到点Q处时，PA+PB最小，且最小值等于AB。原理：两点之间线段最短。证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在三角形PAB中，由三边关系可知：AP+PB≧AB（当且仅当PQ重合时取等）。例2：在一条定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小。关键：找对称点。作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所求点，当动点P跑到点Q处时，PA+PB和最小，且最小值等于AC。原理：两点之间，线段最短。证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在三角形PAC中，由三边关系可知：AP+PC≧AC（当且仅当PQ重合时取等）。2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短。作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求。原理：两点之间，线段最短。例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短。作法：首先，我们作点A关于OM的对称点A'，作点B关于ON的对称点B'，然后连接A'B'，交OM于点C，交ON于点D，最后连接AC和BD，四边形ABCD即为所求。这是因为两点之间线段最短的原理。例5：已知定点A和B以及定直线l，要在l上找两个动点M和N，使得MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），且使AM+MN+NB的值最小。我们可以考虑平移来解决这个问题。作法一是将点A向右平移长度d得到点A'，作A'关于直线l的对称点A''，连接A''B，交直线l于点N，然后将点N向左平移长度d得到点M。作法二是作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2B，交直线l于点Q，然后将点Q向左平移长度d得到点Q。最小值为A''B+MN，原理是两点之间线段最短。例6：将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？我们可以使用垂线段最短型的原理，即垂线段最短。具体作法是在河流中点处修建浮桥。例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB+BC最短。我们可以使用垂线段最短型的原理，即垂线段最短。具体作法是作点A关于OM的对称点A'，过点A'作A'C⊥ON，交OM于点B，B、C即为所求。例8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA-PB最小。我们可以使用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的原理。具体作法是连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P，此时|PA-PB|=0。例9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大。我们可以使用三角形任意两边之差小于第三边的原理。具体作法是延长BA交l于点C，点C即为所求，即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。在等边三角形ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2。要求EM+EC的最小值。解法：我们可以通过构造辅助线来解决这个问题。首先，我们知道点C关于直线AD的对称点是点B，因此连接BE并交AD于点M。这样，我们就可以得到ME+MD的最小值。接下来，我们需要求出EH+HC的最小值。为了求解EH+HC的最小值，我们可以过点B作BH⊥AC于点H。这样，我们就可以得到EH=AH–AE=3–2=1以及BH=√(BC^2-CH^2)=√(