2022届高考数学考前模拟题及答案

2022年高考数学考前模拟题

1.如图，几何体ABCED中，平面BCE_L平面ABC,D4_L平面ABC,且D4=AB=AC.

(1)证明：D4〃平面EBC；

(2)^ABA.AC,OE_L平面BCE,求二面角A-DC-E的余弦值.

【分析】(1)过点E作EHLBC于点H,利用面面垂直的性质定理证明平面ABC,

从而得到AD//EH,由线面垂直的判定定理证明即可；

(2)连接AH,建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利

用待定系数法求出平面。EC的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】解：(1)证明：过点E作EHLBC于点H,

因为平面BCEJ_平面ABC,平面BCEA平面ABC=BC,E”u平面BCE,

所以平面ABC,

又D4_L平面ABC,

则AD//EH,

因为EHu平面3CE,OAC平面BCE,

故D4〃平面EBC；

(2)因为DEJ_平面BEC,

所以WEB=乙DEC=与

又DB=DC,则△OEB丝△OEC,故BE=CE,

所以〃是BC的中点，

连接AH,则

ABC,平面BCEC平面ABC=BC,A，u平面BCE,

所以A4_L平面EBC,

DE//AH,AHLEH,

所以四边形是矩形，

以A为坐标原点，分别以AC,AB,A£>所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设。A=2a,则E(a,a,2a),CC2a,0,0),D(0,0,2a),

—>—>

故DE=(a,a,0),DC=(2a,0,—2a),

设平面DEC的一个法向量为£=(x,y,z),

'TT

则n-DE=ax+ay=0

.n-DC—2ax—2az—0

令x=l,可得n=(1,—1,1),

又平面D4c的一个法向量为薪=(0,1,0),

设二面角A-DC-E的平面角为6,

则|cos0|=cos{m,n)=沙日=乌,

因为二面角A-AC-E是钝角，

故二面A-DC-E的余弦值为—学.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理和面面垂直的判

定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间

直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

2.如图所示，在直三棱柱ABC-AiBiCiABC中，C\C=CB=CA=2,ACLCB,D,E分别

为棱CiC、BiCl的中点.

(1)求点B到平面ACE的距离；

(2)求平面84。与平面44。夹角的余弦值.

【分析】(1)以C8为x轴，C4为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量

法能求出点B到平面ACE的距离.

(2)求出平面的法向量和平面A41Q的法向量，利用向量法能求出平面84。与

平面A41力夹角的余弦值.

【解答】解：(1)如图所示，以CB为x轴，。为)，轴，CC1为z轴，建立空间直角坐

标系，

由C1C=C3=C4=2,得C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0),£(1,0,2),

则旗=(2,-2,0),CA=(0,2,0),CE=(1,0,2),

设平面ACE的法向量为蔡=(x,y,z),

-CA=2y=0，取》=2,得£=(2,0,-1),

•CE=x+2z=0

...点B到平面ACE的距离为d=电%=4=4V5_

\n\<55

(2)4(0,2,2),D(0,0,1),

DAX=(0,2,1),DB=(2,0,-1),

设平面BA\D的法向量为蓝=(a,b,c),

+竽=2b+c=0,取『1,得蔡=([,7,

则2))

.m-DB=2a—c=0

平面AAiQ的法向量3=(0,1,0),

设平面BA\D与平面AA\D夹角为

则平面BA\D与平面AAiD夹角的余弦值为:

a\m-p\176

cos6=2-4=—=

\m\-\p\V66

【点评】本题考查点到平面的距离、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

3.如图所示，在三棱锥P-ABQ中，平面4BQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是

AQ,BQ,AP,8P的中点，AQ=2BD,PQ与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接

GH.

(1)求证：AB〃GH；

(2)求平面。G”与平面GHE的夹角的余弦值.

【分析】(1)推导出EF//AB,DC//AB.从而EF//DC,进而EF〃平面PCD,EF//GH.再

由EF//AB,能证明AB//GH.

(2)以B为坐标原点，分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直

角坐标系，利用向量法能求出平面0GH与平面的夹角的余弦值.

【解答】解：(1)证明：因为。，C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，

所以DC//AB.所以EF〃£>C.

XPCD,力Cu平面PC£),

所以EF〃平面PCD.

又EFu平面EFQ,平面EFQn平面PCD=GH,

所以EF〃GH.又EF〃AB,所以AB〃GH.

(2)在△AB。中，AQ^2BD,AD^DQ,所以/4BQ=90°.

又PB_L平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直.

以8为坐标原点，分别以区4,BQ,8P所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系.

设BA=BQ=BP=2,

贝0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,

2).

所以访=(-1,2,-1),FQ=(.0,2,-1),

DP=(-1,-1,2),CP=(0,-1,2).

设平面EFQ的一个法向量为?n=(xi,yi,zi),

,TTT—

由m・EQ=0,m・FQ=0,

得「Xi+2yi-zI=0,取y]=],得蓝=(°,].2).

12yl-zx=0,

设平面POC的一个法向量为蔡=(X2，”，Z2),

由九=0,n*CP=0,

汨(一*2一+2年=0'徂t1、

得｛取Hz2=l,得九=(0,2o,1).

1―+2Z2—0/

设平面DGH与平面G