天津第五十七中学高三数学理月考试题含解析

天津第五十七中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在复数集上的函数满足，则等于(

)

A．

B．

C.

D．参考答案：C略2.双曲线：的两条渐近线夹角（锐角）为，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：双曲线的两条渐近线方程为，斜率是，因此，选D.考点：双曲线的渐近线，两条直线的夹角.3.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=10,S6=36,则过点P(n,an)和Q（n+2,an+2）(n∈N*)的直线的斜率是（

）A．

B．

C．2

D．4

参考答案：B4.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】令x∈，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=﹣log2x，从而可得答案．【解答】解：设x∈，则x﹣1∈，根据题意，f（x）=f（﹣x+1）=﹣f（x﹣1）=﹣log2（x﹣1+1）=﹣log2x，故选：B．5.已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A.

B.

C.

D.参考答案：C圆心为F（c，0），渐渐线为：，由题，所以，即离心率为，选C.6.中，，点M在边AB上，且满足，则（）A．

B．1

C．2

D．参考答案：B7.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是

（） A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D9.某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取

得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是

85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y的值为

(A)6

(B)7(C)8

(D)9参考答案：D略10.设方程f（x）=x﹣ln（ax）=0（a≠0，e为自然对数的底数），则（）A．当a＜0时，方程没有实数根B．当0＜a＜e时，方程有一个实数根C．当a=e，方程有三个实数根D．当a＞e时，方程有两个实数根参考答案：D【分析】讨论a的符号，得出f（x）的定义域，利用导数判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，从而判断f（x）=0的解得个数情况．【解答】解：f′（x）=1﹣，由函数有意义得ax＞0，（1）若a＜0，则x＜0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x→0时，f（x）→+∞，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，∴当a＜0时，f（x）=0一点有一解；（2）若a＞0，则x＞0，令f′（x）=0的x=1．∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1﹣lna，又x→0时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴当1﹣lna=0即a=e时，f（x）=0只有一解x=1；当1﹣lna＞0即0＜a＜e时，f（x）=0无解；当1﹣lna＜0即a＞e时，f（x）=0有两解．古选D．【点评】本题考查了方程根的个数与函数单调性、极值的关系，分类讨论思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（2009江西卷文）已知向量，，，若

则=

．参考答案：

解析：因为所以.12.若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为．参考答案：[﹣1，4]【考点】函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立转化为a2﹣3a≤4，求解该不等式得答案．【解答】解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x﹣1|表示数轴上的动点x与两定点﹣3，1的距离，则|x+3|+|x﹣1|的最小值为4，要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4．∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的实数a的取值范围为[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题．13.设θ为第三象限角，若tanθ=1，则sinθ+cosθ=．参考答案：【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据题意求出θ的值，再计算sinθ+cosθ的值．【解答】解：θ为第三象限角，tanθ=1，∴θ=+2kπ，k∈Z；∴sinθ+cosθ=sin+cos=﹣﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数求值问题，是基础题．14.某校为了调查高三年级参加某项户外活动的文科生和理科生的参与情况，用简单随机抽样，从报名参加活动的所有学生中抽取60名学生，已知每位学生被抽取的概率为0.05．若按文科生和理科生两部分采取分层抽样，共抽取30名学生，其中24名是理科生，则报名参加活动的文科生共有

人．参考答案：240【考点】分层抽样方法．【分析】从报名参加活动的所有学生中抽取60名学生，已知每位学生被抽取的概率为0.05，求出所有的人数，根据每个个体被抽到的概率，用概率乘以所有人数得到要抽取的样本容量．【解答】解：从报名参加活动的所有学生中抽取60名学生，已知每位学生被抽取的概率为0.05，故总人数为60÷0.05=1200人，共抽取30名学生，其中24名是理科生，则文科生共有6人，则文科生抽取的概率为=，则则报名参加活动的文科生共有1200×=240人故答案为：24015.一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______.参考答案：【分析】列举出任取两个球所有可能的结果，找到两个球不同色的所有情况，根据古典概型求得结果.【详解】设个白球编号为：；个黑球为：从中任取两个球的所有可能结果为：、、、、、、、、、，共种所取的两个球不同色的有：、、、，共种所求概率为：本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型的概率问题的求解，考查列举法的应用，属于基础题.16.命题“，”的否定是

．参考答案：17.已知函数有两个零点，则实数b的取值范围是.参考答案：(0,2)；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx在区间[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数．参考答案：【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用定义法进行判断得a（ex+e﹣x+a）=0恒成立，求出a的值；（2）利用导数，结合单调性可知g'（x）≤0恒成立，λ≤﹣1；要使g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1在λ≤﹣1时恒成立即可．可构造函数，看成关于λ的一次函数进行求解，进而得出λ的范围；（3）利用构造函数法，令，通过导函数判断函数的单调性，通过极值，单调性，模拟函数图象，利用数学结合得出m的不同分类．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（ex+a）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即ln（e﹣x+a）=﹣ln（ex+a）恒成立，∴（e﹣x+a）（ex+a）=1，∴1+ae﹣x+aex+a2=1．即a（ex+e﹣x+a）=0恒成立，故a=0…（2）由（l）知g（x）=λf（x）+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，x∈[﹣1，1]，∴要使g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，则有g'（x）≤0恒成立，∴λ≤﹣1．又∵g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，∴要使g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1在λ≤﹣1时恒成立即可．∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（其中λ≤﹣1）恒成立即可．令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1），则即而t2﹣t+sin1≥0恒成立，∴t≤﹣1…（3）由（1）知方程，即，令∵当x∈（0，e]时，f'1（x）≥0，∴f1（x）在（0，e]上为增函数；当x∈[e，+∞）时，f'1（x）≤0，∴f1（x）在[e，+∞）上为减函数；当x=e时，．而当x∈（0，e]时f2（x）是减函数，当x∈[e，+∞）时，f2（x）是增函数，∴当x=e时，．故当，即时，方程无实根；当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根．…19.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=21nx－ax+a（a∈R）．

（I）讨论f（x）的单调性；（II）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜＜时，．参考答案：解：（Ⅰ）f￠(x)＝，x＞0．若a≤0，f￠(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增；若a＞0，当x∈(0，)时，f￠(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(，＋∞)时，f￠(x)＜0，f(x)单调递减． …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f(x)在(0，＋∞)上递增，又f(1)＝0，故f(x)≤0不恒成立．若a＞2，当x∈(，1)时，f(x)递减，f(x)＞f(1)＝0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈(1，)时，f(x)递增，f(x)＞f(1)＝0，不合题意．若a＝2，f(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)≤f(1)＝0，合题意．故a＝2，且lnx≤x－1（当且仅当x＝1时取“＝”）． …8分当0＜x1＜x2时，f(x2)－f(x1)＝2ln－2(x2－x1)＋2＜2(－1)－2(x2－x1)＋2＝2(－1)(x2－x1)，所以＜2(－1)． …12分20.已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ可得：或ρ=﹣2（舍去）．∴l与圆E的交点A的极坐标为．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M（﹣1，1）．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，∴t1+t2=2（sinα+cosα），t1t2=﹣2．∴||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|=2|sinα+cosα|=2||，∴||MB|﹣|MC||的最大值为2．21.已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（1）求证：f（x）≥5；（2）若对任意实数x，15﹣2f（x）＜a2+都成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的