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文档简介
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………专题十四边形一、单选题1.(2020·南通模拟)如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,则△ODE与△AOB的面积比为()A.
1:2
B.
1:3
C.
1:4
D.
1:52.(2019·合肥模拟)矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点M、N分别从顶点A、B同时出发,且分别沿着AD、BA运动,点N的速度是点M的2倍,点N到达顶点A时,则两点同时停止运动,连接BM、CN交于点P,过点P分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F,则线段EF的最小值为(
)A.
B.
﹣1
C.
D.
3.(2019·嘉定模拟)已知,而且和的方向相反,那么下列结论中正确是(
)A.
B.
C.
D.
.4.(2019·宝山模拟)设为实数,那么下列结论中错误的是(
)A.
B.
C.
D.
若,那么5.(2019·汇川模拟)如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF.添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是(
)A.
AD=BC
B.
CD=BF
C.
∠A=∠C
D.
∠F=∠CDE6.(2019·五华模拟)如图,正方形ABCD的边长为5,点A的坐标为(﹣4,0),点B在y轴上,若反比例函数y=(k≠0)的图象过点C,则该反比例函数的表达式为(
)A.
y=
B.
y=
C.
y=
D.
y=7.(2019·武汉模拟)如图,四边形ABCD是平行四边形,点A、B、C的坐标分别为(2,0)、(0,1)、(1,2),则AB+BC的值为(
)A.
B.
3
C.
4
D.
58.如图,已知正方形ABCD的边长为6,BE=EC,将正方形边CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于G,连接DG,现在有如下4个结论:①;②;③;④在以上4个结论中,正确的有()A.
1
B.
2
C.
3
D.
49.(2019·乌鲁木齐模拟)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是(
)A.
2
B.
3
C.
D.
1+10.如图所示,在四边形中,,,它的一个外角,则的大小是(
)A.
70°
B.
60°
C.
40°
D.
30°11.如图,在⊙O中,点C在优弧AB上,将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为,AB=8,则BC的长是(
)A.
B.
C.
D.
12.(2019·丹阳模拟)如图,将边长为1的正方形纸片ABCD折叠,使点B的对应点M落在边CD上(不与点C、D重合),折痕为EF,AB的对应线段MG交AD于点N.以下结论正确的有(
)①∠MBN=45°;②△MDN的周长是定值;③△MDN的面积是定值.A.
①②
B.
①③
C.
②③
D.
①②③13.(2019·孝感模拟)如图,已知E,F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF与DE交于点M,O为BD的中点,则下列结论:①∠AME=90°;②∠BAF=∠EDB;③∠BMO=90°;④MD=2AM=4EM;⑤.其中正确结论的是(
)A.
①③④
B.
②④⑤
C.
①③⑤
D.
①③④⑤14.(2019九下·义乌期中)如图,已知正方形ABCD的边长是4,点E是AB边上一动点,连接CE,过点B作BG⊥CE于点G,点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值是(
)A.
B.
C.
D.
15.(2019·汇川模拟)如图1,分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC,EG剪开,拼成如图2所示的▱ALMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形,且▱ALMN的面积为50,则正方形EFGH的面积为(
)A.
24
B.
25
C.
26
D.
2716.(2019·武汉模拟)如图,⊙O内切于正方形ABCD,边AD,CD分别与⊙O切于点E,F,点M、N分别在线段DE,DF上,且MN与⊙O相切,若△MBN的面积为8,则⊙O的半径为(
)A.
B.
2
C.
D.
217.(2020九上·覃塘期末)如图,在正方形中,是边的中点,将沿折叠,使点落在点处,的延长线与边交于点.下列四个结论:①;②;③;④S正方形ABCD,其中正确结论的个数为(
)A.
个
B.
个
C.
个
D.
个18.(2018九下·龙岩期中)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=S△FGH;④AG+DF=FG.则下列结论正确有(
)A.
①②④
B.
①③④
C.
②③④
D.
①②③19.(2019·朝阳模拟)如图,点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点,AC、BD交于点O,且∠EAF=45°,AE,AF分别交对角线BD于点M,N,则有以下结论:①△AOM∽△ADF;②EF=BE+DF;③∠AEB=∠AEF=∠ANM;④S△AEF=2S△AMN,以上结论中,正确的个数有()个.A.
1
B.
2
C.
3
D.
420.(2019九上·温州月考)我们知道,勾股定理反映了直角三角形三条边的关系:a2+b2=c2,而a2,b2,c2又可以看成是以a,b,c为边长的正方形的面积。如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,O为AB的中点,分别以AC,BC为边向△ABC外作正方形ACFG,BCED,连结OF,EF,OE,则△OEF的面积为(
)A.
B.
C.
D.
二、填空题21.(2019·渝中模拟)如图,长方形ABCO的边OC在x轴的正半轴上,边OA在y轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象经过其对角线OB的中点D,交边BC于点E,过点E作EG∥OB交x轴于点F,交y轴于点G、若点B的坐标是(8,6),则四边形OBEG的周长是________.22.(2020·北京模拟)如图,在平面直角坐标系中,,以为一边,在第一象限作菱形,并使,再以对角线为一边,在如图所示的一侧作相同形状的菱形,再依次作菱形,,,则过点,,的圆的圆心坐标为________.23.(2019九上·高州期末)如图,矩形ABCD面积为40,点P在边CD上,PE⊥AC,PF⊥BD,足分别为E,F.若AC=10,则PE+PF=________.24.(2018九上·成都期中)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OA,OC分别在x轴和y轴上,反比例函数的图象经过AB的中点D,和BC相交于点E,连接OE,OD,DE,若,则________.25.如图,在菱形中,,边上的高,那么对角线的长为________.26.(2020九上·信阳期末)如图,矩形ABCD中,,,把矩形ABCD绕点A顺时针旋转,当点D落在射线CB上的点P处时,那么线段DP的长度等于________.27.如图,M,N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连结AC交BN于点E,连结DE交AM于点F,连结CF,若正方形的边长为6,则线段CF的最小值是________.28.(2019九下·无锡期中)在平面直角坐标系中,已知,动点从点出发,以每秒1个单位的速度向下运动,动点从点出发,以每秒1个单位的速度向右运动,过点作的平行线交于点,当的值最小时,此时________秒.29.(2019·海州模拟)如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,DE=4BE,连接CE,过点E作EF⊥CE交AB的延长线于点F,若AF=8,则正方形ABCD的边长为________.30.(2019九上·温州月考)如图1,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在BC,BD上,且BE=1,过三点C,E,F作⊙O交CD于点G。(1)证明∠EFG=90°.(2)如图2,连结AF,当点F运动至点A,F,G三点共线时,求△ADF的面积。(3)在点F整个运动过程中,①当EF,FG,CG中满足某两条线段相等,求所有满足条件的BF的长。②连接EG,若时,求⊙O的半径(请直接写出答案)。三、解答题31.(2019·三明模拟)菱形ABCD的对角线交于O点,DE∥AC,CE∥BD,求证:四边形OCED是矩形.32.如图,已知四边形ABCD为正方形,AB=2
,点E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE.交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.①求证:矩形DEFG是正方形;②探究:CE+CG的值是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.33.(2019·会宁模拟)如图,▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),B(7,0),作∠AOB的平分线交AC于点G,并求线段CG的长,(要求尺规作图保留作图痕迹,不写作法)34.(2020九上·岐山期末)如图,在菱形ABCD中,点E是边AD上一点,延长AB至点F,使BF=AE,连接BE、CF求证:BE=CF。35.(2019九下·沈阳月考)如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点,,,垂足分别是F、G.求证:AE=FG.36.(2019九下·徐州期中)已知:如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA=MC.①求证:CD=AN.②若∠AMD=50°,当∠MCD=▲°时,四边形ADCN是矩形.37.(2020九上·兴安盟期末)如图,BF为⊙O的直径,直线AC交⊙O于A、B两点,点D在⊙O上,BD平分∠OBC,DE⊥AC于点E.求证:直线DE是⊙O的切线.38.(2019·越秀模拟)如图,在□ABCD中,点E、F分别在AD,BC上,且AE=CF,EF,BD相交于点O,求证:OE=OF
39.(2018九上·和平期末)已知:如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P,求证:四边形CODP是菱形.40.(2019九下·中山月考)已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上,O为坐标原点,且点P的坐标为(﹣2,3).将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位,得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2.在坐标系中画出矩形P2M2O2N2,并求出直线P1P2的解析式.41.(2019九下·东台月考)如图所示,在矩形中,是
边上的点,,,垂足为,连接.(1)求证:;(2)若,,求的值.42.(2020·北京模拟)如图,矩形中,,.,分别在,上,点与点关于所在的直线对称,是边上的一动点.(1)连接,,求证四边形是菱形;(2)当的周长最小时,求的值;(3)连接交于点,当时,求的长.43.(2020九下·中卫月考)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,,垂足为F.(1)求证:;(2)如果,求的余切值.44.(2019·重庆模拟)如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,点M在AC上,且AM=AC,连接并延长BM交AD于点N.(1)求证:△ABC∽△AMB;(2)求MN的长.45.(2018九上·焦作期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC的垂直平分线EF交AC于点D,交AB于点F,且CE=BF.(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)当∠BAC的度数为多少时,四边形AECF是正方形.46.(2020·绍兴模拟)阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于y轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?47.(2019·淮安模拟)定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°.①若AB=CD=1,AB∥CD,则对角线BD的长为________;②若AC⊥BD,求证:AD=CD;________(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点是对角线上一点,且,过点作直线分别交边于点,使四边形是等腰直角四边形.直接写出的长为________.48.(2020九下·吴江月考)如图①,四边形是矩形,,点是线段上一动点(不与重合),点是线段延长线上一动点,连接交于点.设,已知与之间的函数关系如图②所示.(1)求图②中与的函数表达式;(2)求证:;(3)是否存在的值,使得是等腰三角形?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由.49.(2019·润州模拟)如图,在菱形ABCD中,边长为2,∠BAD=120°,点P从点B开始,沿着B→D方向,速度为每秒1个单位,运动到点D停止,设运动的时间为t(秒),将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到对应线段的延长线与过点P且垂直AP的垂线段相交于点E,(≈1.73,sin11°≈0.19,cos11°≈0.98,sin19°≈0.33,tan19°≈0.34,sin41°≈0.65,tan41°≈0.87)(1)当t=0时,求AE的值.(2)P点在运动过程中,线段PE与菱形的边框交于点F.(精确到0.1)问题1:如图2,当∠BAP=11°,AF=2PF,则OQ=________.问题2:当t为何值时,△APF是含有30°角的直角三角形,写出所有符合条件的t的值________.(3)当点P在运动过程中,求出△ACE的面积y关于时间t的函数表达式.(请说明理由)50.(2019·天宁模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线()与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
答案解析部分一、单选题1.A【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO,BO=DO∴S△AOB=S△BOC,S△BOC=S△COD.∴S△AOB=S△COD.∵点E是CD的中点∴S△ODE=S△COD=S△AOB.∴△ODE与△AOB的面积比为1:2故答案为:A.【分析】由题意可得:S△AOB=S△COD,由点E是CD中点,可得S△ODE=S△COD=S△AOB.即可求△ODE与△AOB的面积比.2.B【解答】解:如图,取BC的中点O,连接OA,OP,PA.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°,BC=AD=2,∴OB=OC=1,∴OA=,∵BN=2t,AM=t,∴=2,∵∠CBN=∠BAM,∴△CBN∽△ABM,∴∠ABM=∠BCN,∵∠ABM+∠CBM=90°,∴∠CBM+∠BCN=90°,∴∠CPB=90°,∵OB=OC,∴OP=BC=1,∵PA≥OA﹣OP,∴PA≥﹣1,∴PA的最小值为﹣1,∵PE⊥AB,PF⊥AD,∴∠PEA=∠PFA=∠EAF=90°,∴四边形AEPF是矩形,∴EF=PA,∴EF地方最小值为﹣1.故答案为:B.【分析】取BC的中点O,连接OA,OP,PA,可得OA=,根据BN=2t,AM=t,△CBN∽△ABM,得到∠CPB=90°,在证明四边形AEPF是矩形,即可解答3.D【解答】∵,而且和的方向相反∴.故答案为:D.【分析】根据平面向量的性质即可解决问题.4.D【解答】根据向量的运算法则,即可知A(结合律)、B、C(乘法的分配律)是正确,D中的是有方向的,而0没有,所以不符合题意.解:∵A、B、C均属于向量运算的性质,是正确;∵D、如果=,则m=0或=.∴符合题意.故答案为:D.【分析】空间向量的线性运算的理解:(1)空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算;(2)注意向量的书写与代数式的书写的不同,我们书写向量的时候一定带上线头,这也是向量与字母的不同之处;(3)虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算,但它们表示的意义不同.5.D【解答】正确选项是D.理由:∵∠F=∠CDF,∠CED=∠BEF,EC=BE,∴△CDE≌△BFE,CD∥AF,∴CD=BF,∵BF=AB,∴CD=AB,∴四边形ABCD是平行四边形.故答案为:D.【分析】利用内错角相等两直线平行可得CD∥AF,根据AAS可证△CDE≌△BFE,利用全等三角形的性质可得CD=BF,由BF=AB,可得CD=AB,根据一组对边平行且的四边形是平行四边形即可求出结论.6.A【解答】解:如图,过点C作CE⊥y轴于E.在正方形ABCD中,∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ABO+∠CBE=90°.∵∠OAB+∠ABO=90°,∴∠OAB=∠CBE.∵点A的坐标为(﹣4,0),∴OA=4.∵AB=5,∴OB==3.在△ABO和△BCE中,∵∠OAB=∠CBE,∠AOB=∠BEC,AB=BC,∴△ABO≌△BCE(AAS),∴OA=BE=4,CE=OB=3,∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1,∴点C的坐标为(3,1).∵反比例函数(k≠0)的图象过点C,∴k=xy=3×1=3,∴反比例函数的表达式为.故答案为:A.【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,涉及到正方形的性质,全等三角形的判定与性质,反比例函数图象上的点的坐标特征,作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键.7.A【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(2,0)、(0,1),∴OA=2,OB=1,∴AB=,过C作CE⊥y轴于E,∵点C的坐标为(1,2),∴CE=1,OE=2,∴BE=1,∴BC=,∴AB+BC=+,故答案为:A.【分析】根据勾股定理得到AB=,过C作CE⊥y轴于E,根据勾股定理得到BC=,于是得到结论.8.C【解答】解:由折叠可知,DF=DC=DA,∠DFE=∠C=90∘,∴∠DFG=∠A=90∘,在Rt△ADG与Rt△FDG中∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL),故①正确;∵正方形边长为6,∴BE=EC=EF=3,设AG=FG=x,则EG=x+3,BG=6−x,由勾股定理得:,即:,解得:;∴AG=GF=2,BG=4,BG=2AG,故②正确;BE=EF=3,△BEF是等腰三角形,易知△GED不是等腰三角形,故③错误;S△GBE=,,S△BEF,故④正确。故正确的有①②④,选C.【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF,∠A=∠GFD=90°,于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG,再由GF+GB=GA+GB=12,EB=EF,△BGE为直角三角形,可通过勾股定理列方程求出AG=4,BG=8,进而求出△BEF的面积,再抓住△BEF是等腰三角形,而△GED显然不是等腰三角形,判断③是错误的.9.A【解答】解:连接AC,∵四边形ABCD为正方形,∴∠CAB=45°,∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°,∴∠B1AB=45°,∴点B1在线段AC上,易证△OB1C为等腰直角三角形,∴B1C=B1O,∴AB1+B1O="AC="=,同理可得AD+DO="AC=",∴四边形AB1OD的周长为.故答案为:A.【分析】连接AC,根据正方形的性质及旋转的性质可得∠CAB=45°,∠B1AB=45°,从而可得点B1在线段AC上,易证△OB1C为等腰直角三角形,可得B1C=B1O,利用勾股定理可得AB1+B1O=AC=,同理可得AD+DO=AC=,从而求出四边形AB′OD的周长.10.C【解答】解:∵∠ADE=60°,∴∠ADC=120°,∵,∴∠A=90°,∵∴∠B=360°-∠C-∠ADC-∠A=40°.故答案为:C.【分析】根据外角和垂直得到∠ADC和∠A的度数,再利用四边形的内角和是360°即可解题.11.C【解答】解:连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,如图.∵D为AB的中点,∴OD⊥AB,∴AD=BD=AB=4.在Rt△OBD中,OD==2.∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D,∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆,∴,∴AC=DC,∴AE=DE=2.易证四边形ODEF为正方形,∴OF=EF=2.在Rt△OCF中,CF==4,∴CE=CF+EF=4+2=6.而BE=BD+DE=4+2=6,∴BC=.故答案为:C.【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,如图,利用垂径定理得到OD⊥AB,则AD=BD=AB=4,于是根据勾股定理可计算出OD=2,再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆,则根据圆周角定理得到,所以AC=DC,利用等腰三角形的性质得AE=DE=2,接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=2,然后计算出CF后得到CE=BE=6,由勾股定理可得到BC的长.12.A【解答】连接BG、BE,作BP⊥EF于P,如图所示:由折叠性质可得:BF=FM,∴∠MBF=∠FMB,∵四边形ABCD是正方形,∴∠C=∠ABC=∠NMF=90°,∴∠CBM+∠BMC=90°,∠BMF+∠NMB=90°,∴∠BMC=∠NMB,又∵BP⊥MN,BC⊥DC,∴BP=BC,且∠BMC=∠NMB,BM=BM∴△BPM≌△BCM(SAS),∴MP=MC,∠PBM=∠CBM,同理可证:NA=NP,∠ABN=∠PBN,∴△MND的周长=DN+DM+MN=DN+AN+DM+CM=AD+CD=2,∴△DGE的周长始终为定值.∵∠ABN+∠PBN+∠PBM+∠CBM=90°∴∠MBN=45°;∵DM,DN的值不确定,∴△MDN的面积不确定,∴③错误.故①②正确故答案为:A.【分析】连接BM、BN,作BP⊥MN于P.只要证明△BMP≌△BMC,可得MP=MC,∠PBM=∠CBM,同理可证:NA=NP,∠ABN=∠PBN,由此可判断①②正确.13.D【解答】在正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,∵E、F分别为边AB,BC的中点,∴AE=BF=BC,在△ABF和△DAE中,
,∴△ABF≌△DAE(SAS),∴∠BAF=∠ADE,∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°,∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,∴∠AMD=180°-(∠ADE+∠DAF)=180°-90°=90°,∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°,故①正确;∵DE是△ABD的中线,∴∠ADE≠∠EDB,∴∠BAF≠∠EDB,故②错误;∵∠BAD=90°,AM⊥DE,∴△AED∽△MAD∽△MEA,∴∴AM=2EM,MD=2AM,∴MD=2AM=4EM,故④正确;设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,在Rt△ABF中,AF=∵∠BAF=∠MAE,∠ABC=∠AME=90°,∴△AME∽△ABF,∴,即,解得AM=∴MF=AF-AM=,∴AM=MF,故⑤正确;如图,过点M作MN⊥AB于N,则
即解得MN=,AN=,∴NB=AB-AN=2a-=,根据勾股定理,BM=过点M作GH∥AB,过点O作OK⊥GH于K,则OK=a-=,MK=-a=,在Rt△MKO中,MO=根据正方形的性质,BO=2a×,∵BM2+MO2=
∴BM2+MO2=BO2,∴△BMO是直角三角形,∠BMO=90°,故③正确;综上所述,正确的结论有①③④⑤共4个.故答案为:D【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,再根据中点定义求出AE=BF,然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE,然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,从而求出∠AMD=90°,再根据邻补角的定义可得∠AME=90°,从而判断①正确;根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB,然后求出∠BAF≠∠EDB,判断出②错误;根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似,利用相似三角形对应边成比例可得,然后求出MD=2AM=4EM,判断出④正确,设正方形ABCD的边长为2a,利用勾股定理列式求出AF,再根据相似三角形对应边成比例求出AM,然后求出MF,消掉a即可得到AM=MF,判断出⑤正确;过点M作MN⊥AB于N,求出MN、NB,然后利用勾股定理列式求出BM,过点M作GH∥AB,过点O作OK⊥GH于K,然后求出OK、MK,再利用勾股定理列式求出MO,根据正方形的性质求出BO,然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°,从而判断出③正确.14.C【解答】解:如图:取点D关于直线AB的对称点D′.以BC中点O为圆心,OB为半径画半圆.连接OD′交AB于点P,交半圆O于点G,连BG.连CG并延长交AB于点E.由以上作图可知,BG⊥EC于G.PD+PG=PD′+PG=D′G由两点之间线段最短可知,当点D′,G,O三点共线时,PD+PG最小.∵D′C′=4,OC′=6∴D′O=∴D′G=2−2∴PD+PG的最小值为2−2故答案为:C.【分析】作DC关于AB的对称点D′C′,以BC中的O为圆心作半圆O,连D′O分别交AB及半圆O于P、G.将PD+PG转化为D′G找到最小值.15.B【解答】设EF=a,BC=b,AB=c,则PQ=a-c,RQ=b-a,PQ=RQ∴a=,∵▱ALMN的面积为50,∴bc+a2+(a-c)2=50,把a=代入化简求值得b+c=10,∴a=5,∴正方形EFGH的边长为5,∴正方形EFGH的面积为25,故答案为:B.【分析】此题涉及的知识点是正方形、长方形的性质,先根据正方形和长方形的性质求出各边长的关系,再根据▱ALMN的面积,求出各边长的关系,最后得出面积.16.B【解答】解:设⊙O与MN相切于点K,设正方形的边长为2a.∵AD、CD、MN是切线,∴AE=DE=DF=CF=a,MK=ME,NK=NF,设MK=ME=x,NK=NF=y,在Rt△DMN中,∵MN=x+y,DN=a﹣y,DM=a﹣x,∴(x+y)2=(a﹣y)2+(a﹣x)2,∴ax+ay+xy=a2,∵S△BMN=S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△DMN﹣S△BCN=8,∴4a2﹣×2a×(a+x)﹣(a﹣x)(a﹣y)﹣×2a×(a+y)=8,∴a2﹣(ax+ay+xy)=8,∴a2=8,∴a=2,∴AB=2a=4,∴⊙O的半径为2,故答案为:B.【分析】设⊙O与MN相切于点K,设正方形的边长为2a.因为AD、CD、MN是切线,可得AE=DE=DF=CF=a,MK=ME,NK=NF,设MK=ME=x,NK=NF=y,在Rt△DMN中,以为MN=x+y,DN=a-y,DM=a-x,看到(x+y)2=(a-y)2+(a-x)2,推出ax+ay+xy=a2,根据S△BMN=S正方形ABCD-S△ABM-S△DMN-S△BCN=8,构建方程求出a即可解决问题;17.D【解答】E是AB的中点AE=BE沿折叠BE=EM,故①正确;四边形ABCD为正方形沿折叠四边形AECF为平行四边形又E是AB的中点故②正确;过点E作由①知,由②知,E是AB的中点设则故③正确;设则,,,,故④正确.故答案为:D.【分析】根据折叠的性质,正方形的性质,等边对等角,同角的余角相等即可判断①;根据题意先证明四边形AECF为平行四边形,再根据平行四边形的性质即可判断②;过点E作,根据三线合一及折叠的性质即可得出,再根据同角的余切值相等得出比值,,用a表示AM,MF的值,即可得出比值,判断③;设,用a表示及的值,即可判断④.18.B【解答】解:∵△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,∴∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,在Rt△ABF中,∵AB=6,BF=10,∴,∴DF=AD-AF=10-8=2,设EF=x,则CE=x,DE=CD-CE=6-x,在Rt△DEF中,∵DE2+DF2=EF2,∴(6-x)2+22=x2,解得,∴,∵△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,∴∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,∴,所以①符合题意;HF=BF-BH=10-6=4,设AG=y,则GH=y,GF=8-y,在Rt△HGF中,∵GH2+HF2=GF2,∴y2+42=(8-y)2,解得y=3,∴AG=GH=3,GF=5,∵∠A=∠D,,,∴,∴△ABG与△DEF不相似,所以②不符合题意;∵,所以③符合题意;∵AG+DF=3+2=5,而GF=5,∴AG+DF=GF,所以④符合题意.故答案为B.【分析】由折叠性质得∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8,所以DF=AD-AF=2,设EF=x,则CE=x,DE=CD-CE=6-x,在Rt△DEF中利用勾股定理得(6-x)2+22=x2,解得,即;再利用折叠性质得∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,易得∠2+∠3=45°,于是可对①进行判断;设AG=y,则GH=y,GF=8-y,在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=(8-y)2,解得y=3,则AG=GH=3,GF=5,由于∠A=∠D和,可判断△ABG与△DEF不相似,则可对②进行判断;根据三角形面积公式可对③进行判断;利用AG=3,GF=5,DF=2可对④进行判断.19.D【解答】如图,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH由旋转的性质得,BH=DF,AH=AF,∠BAH=∠DAF∵∠EAF=45°∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°∴∠EAH=∠EAF=45°在△AEF和△AEH中∴△AEF≌△AEH(SAS)∴EH=EF∴∠AEB=∠AEF∴BE+BH=BE+DF=EF,故②正确∵∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN,∠AEB=90°﹣∠BAE=90°﹣(∠HAE﹣∠BAH)=90°﹣(45°﹣∠BAH)=45°+∠BAH∴∠ANM=∠AEB∴∠ANM=∠AEB=∠ANM;故③正确,∵AC⊥BD∴∠AOM=∠ADF=90°∵∠MAO=45°﹣∠NAO,∠DAF=45°﹣∠NAO∴△OAM∽△DAF故①正确连接NE,∵∠MAN=∠MBE=45°,∠AMN=∠BME∴△AMN∽△BME∴∴∵∠AMB=∠EMN∴△AMB∽△NME∴∠AEN=∠ABD=45°∵∠EAN=45°∴∠NAE=NEA=45°∴△AEN是等腰直角三角形∴AE=∵△AMN∽△BME,△AFE∽△BME∴△AMN∽△AFE∴∴∴∴S△AFE=2S△AMN故④正确故答案为:D.【分析】如图,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,由旋转的性质得,BH=DF,AH=AF,∠BAH=∠DAF,由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°,根据全等三角形的性质得到EH=EF,所以∠ANM=∠AEB,则可求得②正确;根据三角形的外角的性质得到①正确;根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF,故③正确;根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°,推出△AEN是等腰直角三角形,根据勾股定理得到AE=AN,再根据相似三角形的性质得到EF=MN,于是得到S△AEF=2S△AMN.故④正确.20.D【解答】解:如图,连接FA、EB,
∵AC+CE=BC+CF,
∴AE=BF,∠FBE=∠AEB,BE=BE,
∴△ABE≌△FBE,
∵四边形FABE的面积=S△BAF+S△BEF,
∴四边形FABE的面积=BF×AC+BF×CF=(a+b)(a+b)=(a+b)2,
∵O为AB的中点,
∴S△FOA=S△BAF,S△FOB=S△BAE=S△BFE,
∴S△FOA+S△FOB=S△BAF+S△BFE=S四边形FABE,
∴S△OEF=S四边形FABE=(a+b)2.
故答案为:D.
【分析】本题运用间接求法求△OEF的面积,连接FA、EB,先通过三角形的面积之和求出四边形FABE的面积,通过O为AB的中点,利用等底同高三角形面积相等,再求出△FOA和△FOB的面积,则△OEF的面积可求.二、填空题21.29.【解答】解:∵点B的坐标是(8,6),点D是对角线OB的中点,∴D(4,3)在Rt△OBC中,OB==10,
∵反比例函数(k≠0)在第一象限的图象经过其对角线OB的中点D,∴k=12,∴反比例函数的解析式为又∵点E在反比例函数的图象上,
∵点E的横坐标为8,∴当x=8时,y=,∴E(8,),∴CE=,∴BE=6-=4.5,∵BC∥OG,EG∥OB,
∴四边形OBEG是平行四边形,∴OG=BE=4.5,EG=OB=10,∴四边形OBEG的周长是2(10+4.5)=29,故答案为:29.【分析】根据已知条件得到D(4,3),OB==10,求得k=12,得到反比例函数的解析式为,求得E(8,),得到CE=,推出四边形OBEG是平行四边形,于是得到结论.22.,【解答】解:过作轴于,四边形是菱形,,,,,,在△中,,,,,,,,菱形的边长,设的中点为,连接,,于是求得,,过点,,的圆的圆心坐标为,,菱形的边长为,,设的中点为,连接,,同理可得,,过点,,的圆的圆心坐标为,,以此类推,菱形菱形的边长为,,设的中点为,连接,,求得,,点是过点,,的圆的圆心,,点在射线上,则点的坐标为,,即过点,,的圆的圆心坐标为,,故答案为:,.【分析】过作轴于,由菱形的性质得到,,根据勾股定理得到,求得,解直角三角形得到,,求得得到菱形的边长,设的中点为,连接,,推出过点,,的圆的圆心坐标为,,以此类推,于是得到结论.23.4【解答】解:如图,设AC与BD的交点为O,连接PO,∵四边形ABCD是矩形∴AO=CO=5=BO=DO,∴S△DCO=S矩形ABCD=10,∵S△DCO=S△DPO+S△PCO,∴10=×DO×PF+×OC×PE∴20=5PF+5PE∴PE+PF=4故答案为:4【分析】由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO,由S△DCO=S△DPO+S△PCO,可得PE+PF的值.24.【解答】点E在反比例函数的图象上,设,,,四边形OABE是平行四边形,,点D在反比例函数的图象上,点D是AB的中点,,设,则,,,,,过E作轴于F,过D作轴于G,则,,故答案为:.【分析】设,根据已知条件得到四边形OABE是平行四边形,根据平行四边形的性质得到,由于点D在反比例函数的图象上,点D是AB的中点,得到,设,则,根据中点坐标公式得到,求得,,过E作轴于F,过D作轴于G,根据图形的面积公式即可得到结论.25.【解答】解:如图:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=13cm,∵BC边上的高AH=5cm,∴BH==12cm,∴CH=13-12=1(cm),∴AC==cm,故答案为.【分析】首先根据菱形的性质可得AB=BC=13cm,再利用勾股定理计算出BH的长,进而得到HC的长,然后再进一步利用勾股定理计算出AC的长.26.【解答】(1)如图,当P在B的右侧时,由旋转和矩形性质得:AP=AD=5,AB=CD=3,在直角三角形ABP中,BP=,所以,PC=BC-BP=5-4=1,在直角三角形PDC中,PD=,(2)如图,当点P在B的左侧时,由旋转和矩形性质得:AP=AD=5,AB=CD=3,在直角三角形APB中,PB=,所以,PC=BC+PB=5+4=9,在在直角三角形PDC中,PD=,所以,PD的长度为故答案为:【分析】画图,分两种情况:点P在B的右侧或左侧.根据旋转和矩形性质,运用勾股定理,分别求出BP和PC,便可求出PD.27.3-3【解答】解:如图,取AD的中点O,连接OF、OC,
在正方形ABCD中,AD=BC=CD,∠ADC=∠BCD,∠DCE=∠BCE,
在Rt△ADM和Rt△BCN中,
,
∴Rt△ADM≅Rt△BCN(HL),
∴∠DAM=∠CBN,
在△DCE和△BCE中,
,
∴△DCE≅△BCE(SAS),
∴∠CDE=∠CBE
∴∠DAM=∠CDE,
∵∠ADF+∠CDE=∠ADC=90∘,
∴∠DAM+∠ADF=90∘,
∴∠AFD=180∘−90∘=90∘,
取AD的中点O,连接OF、OC,
则OF=DO=AD=3,
在Rt△ODC中,OC==3,
根据三角形的三边关系,OF+CF>OC,
∴CF>OC-OF,
∴当O、F、C三点共线时,CF的长度最小,
最小值=OC−OF=3−3.
【分析】先利用斜边直角边定理证出Rt△ADM≅Rt△BCN,得出∠DAM=∠CBN,于是利用边角边定理可证△DCE≅△BCE(SAS),得出∠CDE=∠CBE,即可判断出∠AFD=90∘,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=AD=3,利用勾股定理列式求出OC,最后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时,CF的长度最小.28.【解答】解:如图:连接BC、AB
依题意可知:在△BCE和△BAF中
∴△BCE≌△BAF(SAS)∴∠CBE=∠ABF∴∠EBF=∠CBA=90°,∵AP∥BF,∴∠APB=90°,∴P在以AB为直径的圆上,取AB的中点M,当O、P、M在同意直线上时OP最小,∴OM=,∴OP=,∵PM=BM,∴∠BPM=∠MBM,∵AB∥CE,∴∠CEB=∠PBM,又∵∠OPE=∠BPM,∴∠CEB=∠OPE,∴OE=OP,∴CE=2+()=,∴t=()÷1=,故填:.【分析】由点的坐标可知四边形OABC是正方形,而EF的速度和时间相同,故易证明△BCE≌△BAF,从而可得∠EBF=90°,由平行可知∠BPA=90°,得到点P在以AB为直径的圆上,取AB的中点M,故当O、P、M在同意直线上时OP最小,再由勾股定理可计算出OM的长,进而得出PO的最小值=,由△BPM是等腰三角形,AB∥CE可得△EOP是等腰三角形,可知OP=OE,所以CE=2+(),从而求出运动时间.29.5【解答】解:如图所示:过点E作EM⊥BC,EN⊥AB,分别交BC、AB于M、N两点,且EF与BC相交于点H.∵EF⊥CE,∠ABC=90°,∠ABC+∠HBF=180°,∴∠CEH=∠FBH=90°,又∵∠EHC=∠BHF,∴△ECH∽△BFH(AA),∴∠ECH=∠BFH,∵EM⊥BC,EN⊥AB,四边形ABCD是正方形,∴四边形ENBM是正方形,∴EM=EN,∠EMC=∠ENF=90°,在△EMC和△ENF中,∴△EMC≌△ENF(AAS)∴CM=FN,∵EM∥DC,∴△BEM∽△BDC,∴.又∵DE=4BE,∴,同理可得:,设BN=a,则AB=5a,CM=AN=NF=4a,∵AF=8,AF=AN+FN,∴8a=8解得:a=1,∴AB=5故答案为:5【分析】由∠EHC=∠BHF,∠CEH=∠FBH=90°可判定△ECH∽△BFH,从而得到∠ECH=∠BFH;作辅助线可证明四边形ENBM是正方形,根据正方形的性质得EM=EN,由角角边可证明△EMC≌△ENF,得CM=FN;因DE=4BE,△BEM∽△BDC,△BEN∽△BDA和线段的和差可求出正方形ABCD的边长.30.(1)证明:连结EG,在正方形ABCD中,得∠C=90°∴EG为⊙O的直径∴∠EFG=90°
(2)解:如图,过F点作FN⊥AD,交BC于点M,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ADF=45°,MN=AD,
∴ND=NF,
∴AN=FM,
∵∠MFG=∠AFN,∠MFG+∠MFE=∠AFN+∠FAN,
∴∠MFE=∠FAN,
∴△AFN≌△FEM(AAS),
∴FN=AM,EM=FN,
设AN=x,则ND=EM=BM-BE=x-1,
∵AN+ND=4,
∴x+x-1=5,
∴x=,
∴FN=EM=BM-BE=-1=,
∴S△AFD=AD×FN=×4×=3.
(3)①1)如图,当EF=FG时,过F作FH⊥BC,FI⊥CD,
∵∠EFH+∠HFG=∠IFG+∠HFG,
∴∠EFH=∠IFG,
∴△EHF≌△GIF(AAS),
∴FH=FI,
又∵FH=BH,
∴BH=FI=HC=2,
∴BF=BH=2.
2)当CG=EF时,
∵EF=CG,
∴FG∥EC,
∵∠C=90°,
∴∠EFG=90°,∠FEC=90°,
∴四边形FECG为矩形,
又∵EF=BE,
∴BF=BE=.
3)当FG=CG,如图,过F点作FN⊥BC,
∵FG=CG,
∴∠FEG=CEG,
∵∠C=∠EFG=90°,
∴∠FGE=∠CGE,
∴EF=EC=BC-BE=4-1=3,
设EN=x,
则FN=BN=x+1,
∵EF2=FN2+EN2,
∴32=(x+1)2+x2,
解得x=,
则BN=,
BF=EN=.
②如图,作FH⊥EC,FK⊥CD,
△FKG∽△FHE,
∴,
设FH=k,则FK=2k,
∴BH=FH=k,
∴BC=BH+HC=BH+FK=k+2k=4,
∴k=,
∴CG=CK-KG=k-2(k-1)=2-k=2-=,
∴∴EG=,
∴r=.
【分析】(1)连结EG,由90°的圆周角所对的弦为直径,可知EG为圆O的直径,于是根据直径所对的圆周角是直角可得∠EFG=90°.
(2)如图,过F点作FN⊥AD,交BC于点M,利用正方形的性质,结合等角的余角相等,用角角边定理证明△AFN≌△FEN,∴FN=AM,EM=FN,设AN=x,把ND用含x的代数式表示,根据AN+ND=4,求出x,则FN可求,于是可求△ADF的面积.
(3)①分三种情况讨论,1)当EF=FG时,过F作FH⊥BC,FI⊥CD,利用角角边定理证明△EHF≌△GIF,则对应边FH=FI,BH=FI=HC=2,于是BF的长度可求;当CG=EF时,易证四边形FECG为矩形,则BF=2BE;当FG=CG,过F点作FN⊥BC,根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC,从而求出EF的长,于是利用勾股定理求出FN的长,则BF的长可求.
②
设FH=k,根据相似的性质,把相关线段用含x的代数式表示,得出BC=k+2k=4,求出k值,则CG的长度可求,从而利用勾股定理求出直径,则半径可知.三、解答题31.证明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∵菱形ABCD的对角线交于O点,∴AC⊥BD,即∠COD=90°.∴四边形OCED是矩形【解答】证明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∵菱形ABCD的对角线交于O点,∴AC⊥BD,即∠COD=90°.∴四边形OCED是矩形【分析】根据已知首先证明四边形OCED是平行四边形,再根据菱形的性质即可得到AC⊥BD,进而不难证明结论.32.解:①证明:过E作EM⊥BC于M点,过E作EN⊥CD于N点,如图所示:
∵正方形ABCD
∴∠BCD=90°,∠ECN=45°∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°且NE=NC,∴四边形EMCN为正方形∵四边形DEFG是矩形,∴EM=EN,∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°∴∠DEN=∠MEF,又∠DNE=∠FME=90°,在△DEN和△FEM中,
,∴△DEN≌△FEM(ASA),∴ED=EF,∴矩形DEFG为正方形,②解:CE+CG的值为定值,理由如下:∵矩形DEFG为正方形,∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°∵四边形ABCD是正方形,∵AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°∴∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中,
,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG∴AC=AE+CE=
AB=×2=4,
∴CE+CG=4是定值.【分析】①证明:过E作EM⊥BC于M点,过E作EN⊥CD于N点,利用正方形的性质,可证明∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°,由NE=NC,可证得四边形EMCN为正方形,可得到EM=EN,再利用ASA证明△DEN≌△FEM,利用全等三角形的对应边相等,易证ED=EF,然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形,可证得结论。
②根据正方形的性质去证明DE=DG,AD=DC,∠ADE=∠CDG,再利用SAS证明△ADE≌△CDG,利用全等三角形的对应边相等,可知AE=CG,利用解直角三角形,就可证得CE+CG=4,因此可知CE+CG的值是一个定值。33.解:如图,就是所求的的平分线.的顶点,,,,在中,.由题意可知平分,,又,,,.的顶点,,.【分析】根据角平分线的作图步骤画出图形即可,先根据勾股定理求得AO的长度,再利用角平分线得,再根据AC=OB=7即可得出线段的长.34.证明:四边形ABCD是菱形∴AB=BC,AD∥BC∴∠A=∠CBF……2分在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BGF(SAS)∴BE=CF【分析】由菱形的邻边相等可得AB=BC,
其对边平行,结合两直线平行同位角相等可得∠A=∠CBF,于是利用边角边定理即可证明△ABE≌△BGF,则对应边BE和CF相等.35.解:连接EC.∵四边形ABCD是正方形,EF⊥BC,EG⊥CD,∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°,∴四边形EFCG为矩形.∴FG=CE.又BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ABE=∠CBE.在△ABE和△CBE中,,∴△ABE≌△CBE(SAS).∴AE=EC.∴AE=FG.【分析】根据题意我们不难得出四边形GEFC是个矩形,因此它的对角线相等.如果连接EC,那么EC=FG,要证明AE=FG,只要证明EC=AE即可.证明AE=EC就要通过全等三角形来实现.三角形ABE和BEC中,有∠ABD=∠CBD,有AB=BC,有一组公共边BE,因此构成了全等三角形判定中的SAS,因此两三角形全等,得AE=EC,即AE=GF.36.①证明:∵CN∥AB,∴∠DAC=∠NCA,在△AMD和△CMN中,∴△AMD≌△CMN(ASA),∴AD=CN,又∵AD∥CN,∴四边形ADCN是平行四边形,∴CD=AN;②25°【解答】②若∠AMD=50°,当∠MCD=
25°时,四边形ADCN是矩形.理由是:∵∠MCD=
25°,∠AMD=50°∴∠AMD=2∠MCD,∠AMD=∠MCD+∠MDC,∴∠MCD=∠MDC,∴MD=MC,由①知四边形ADCN是平行四边形,∴MD=MN=MA=MC,∴AC=DN,∴四边形ADCN是矩形.【分析】①根据两直线平行,内错角相等求出∠DAC=∠NCA,然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=CN,然后判定四边形ADCN是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证;②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC,再根据等角对等边可得MD=MC,然后证明AC=DN,再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.37.证明:如图所示,连接OD,∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD∵BD平分∠OBC∴∠OBD=∠DBE∴∠ODB=∠DBE∴OD∥AC∵DE⊥AC∴OD⊥DE∵OD是⊙O的半径∴直线DE是⊙O的切线【分析】连接OD,证得∠ODB=∠DBE,即可得到OD∥AC,由DE⊥AC得到OD⊥DE,即可得到直线DE是⊙O的切线.38.解:连接BE、DF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,又∵AE=CF,∴DE∥BF,DE=BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∴OE=OF.【分析】连接BE和DF,根据平行四边形的性质得出四边形BEDF为平行四边形,从而得出答案.39.证明:∵DP∥AC,CP∥BD∴四边形CODP是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC,OD=BD,OC=AC,∴OD=OC,∴四边形CODP是菱形.【分析】根据DP∥AC,CP∥BD,即可证出四边形CODP是平行四边形,由矩形的性质得出OC=OD,即可得出结论.40.解:如图所示:当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2.∵点P的坐标为(﹣2,3).将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位,得到矩形P1M1O1N1,∴P1的坐标为(2,3),∵将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2.∴P2的坐标为(7,2),设P1P2的解析式为:y=kx+b,把P1(2,3),P2(7,2)代入得,2k+b=3①,7k+b=2②,解由①②组成的方程组得,k=﹣,b=.所以直线P1P2的解析式为y=﹣x+;当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2.如图,∴P2的坐标为(1,﹣2),设P1P2的解析式为:y=kx+b,把P1(2,3),P2(1,﹣2)代入得,2k+b=3①,k+b=﹣2②,解由①②组成的方程组得,k=5,b=﹣7.所以直线P1P2的解析式为y=5x﹣7;故答案为矩形P2M2O2N2见解析;当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2,直线P1P2的解析式为:y=﹣x+;当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2,直线P1P2的解析式为:y=5x﹣7.【分析】由点P的坐标为(﹣2,3).将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位,得到矩形P1M1O1N1,得到P1的坐标为(2,3).将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2,得P2的坐标为(7,2);当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2,得P2的坐标为(1,﹣2),然后利用待定系数法分别求出它们的直线解析式.四、综合题41.(1)证明:在矩形中,,,,
∵,∴,∵,∴,∴,∵,,
∴,∴≌
∴;
(2)解:由(1)可知:,,在中,,
∴,∴,
在中,,
∴.【分析】(1)根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE,∠DAF=∠EAB.再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA;然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF;(2)根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理,可以求得DF,EF的长;再根据勾股定理求得DE的长,运用三角函数定义求解.42.(1)证明:如图:连接,,交于点四边形是矩形,,,,,点与点关于所在的直线对称,,,,且四边形是平行四边形,且四边形是菱形;
(2)解:如图,作点关于的对称点,连接,交于点,此时的周长最小,四边形是菱形,,,点,点关于对称
(3)解:如图,延长,延长交于点,过点作于,交于点,过点作于点,由(2)可知,,,四边形是矩形,,,,,,,【分析】(1)由“”可证,可得,可得四边形是平行四边形,且,可证四边形是菱形;(2)作点关于的对称点,连接,交于点,此时的周长最小,由勾股定理可求的长,由平行线分线段成比例可求解;(3)延长,延长交于点,过点作于,交于点,过点作于点,可证四边形是矩形,可得,,由相似三角形的性质依次求出,,,,的长,通过证明,由相似三角形的性质可求的长.43.(1)证明:四边形是矩形,,,在和中,,,;
(2)解:,,设,,,,,,,,.【分析】(1)矩形的性质得到,得到,根据定理证明;(2)根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.44.(1)证明:在Rt△ABC中,AB=1,BC=,∴AC=2.∵AM=AC,∴AM=,∴==.又∵∠BAM=∠CAB,∴△ABC∽△AMB.
(2)解:∵△ABC∽△AMB,∴∠BMA=∠CBA=90°=∠BAN,∴BM==.又∵∠ABM=∠NBA,∴△ABM∽△NBA,∴=,即
=
,解得:MN=.【分析】(1)在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC的长度,进而可得出AM的长度,由AB、AM、AC的长度可得出
=,结合∠BAM=∠CAB即可证出△ABC∽△AMB;(2)由△ABC∽△AMB可得出∠BMA=90°=∠BAN,利用勾股定理可求出BM的长度,结合∠ABM=∠NBA可证出△ABM∽△NBA,根据相似三角形的性质即可求出MN的长度.45.(1)证明:如图:AC的垂直平分线EF交AC于点DCD=AD,∠ADF=90,EC=AE,CF=AF,又∠ACB=90°,EF∥BC,△ADF∽△ACB,AF:AB=AD:AC,
CD=AD,D为AC的中点,
AF:AB=AD:AC=1:2,F为AB中点,BF=AF,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CF=AF,又CE=BF,CF=AF,EC=AE,CF=AF
CE=CF=AF=AE四边形BECF是菱形.
(2)解:当∠BAC=45时,四边形AECF是正方形.证明:∠BAC=45,四边形AECF是菱形,∠EAC=∠BAC=45,∠EAF=∠EAC+∠BAC=90,菱形AECF是正方形.【分析】(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC,根据四边相等的四边形是菱形即可判断;(2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45时,∠EAF=90,则菱形AECF为正方形.46.(1)y=n,x=m,y=-x+m+n,y=x-m+n
(2)解:∵点D有一条特征线是∴∴∵抛物线的解析式为∴∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,∴∴∴将代入中解得∴抛物线的解析式为
(3)解:①如图,当点在平行于y轴的D点的特征线时根据题意可得∴∴∴∴∴抛物线需要向下平移的距离②如图,当点在平行于x轴的D点的特征线时,设则∴设在中,解得∴∴直线OP解析式为∴∴抛物线需要向下平移的距离即抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP上.【解答】(1)∵点D∴D的特征线是【分析】(1)根据特征线的定义以及性质直接求出点D的特征线;(2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;(3)分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.47.(1);证明:如图1,连接AC,BD,∵AB=BC,AC⊥BD,∴∠ABD=∠CBD,又∵BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD.
(2)5或6.5【解答】解:(1)①∵AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,又AB=BC,∠ABC=90°,∴四边形ABCD是正方形,∴BD=AC==故答案为:.(2)因为四边形ABFE是等腰直角四边形,所以可以是AB=AE或AB=BF.当AB=AE时,AE=A
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