中考数学专题练-专题十四边形

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………专题十四边形一、单选题1.（2020·南通模拟）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，则△ODE与△AOB的面积比为（）A.

1：2

B.

1：3

C.

1：4

D.

1：52.（2019·合肥模拟）矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点M、N分别从顶点A、B同时出发，且分别沿着AD、BA运动，点N的速度是点M的2倍，点N到达顶点A时，则两点同时停止运动，连接BM、CN交于点P，过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为（

）A.

B.

﹣1

C.

D.

3.（2019·嘉定模拟）已知，而且和的方向相反，那么下列结论中正确是（

）A.

B.

C.

D.

.4.（2019·宝山模拟）设为实数，那么下列结论中错误的是（

）A.

B.

C.

D.

若，那么5.（2019·汇川模拟）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是(

)A.

AD=BC

B.

CD=BF

C.

∠A=∠C

D.

∠F=∠CDE6.（2019·五华模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（

）A.

y＝

B.

y＝

C.

y＝

D.

y＝7.（2019·武汉模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，1）、（1，2），则AB+BC的值为（

）A.

B.

3

C.

4

D.

58.如图，已知正方形ABCD的边长为6，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①；②；③；④在以上4个结论中，正确的有（）A.

1

B.

2

C.

3

D.

49.（2019·乌鲁木齐模拟）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（

）A.

2

B.

3

C.

D.

1+10.如图所示，在四边形中，，，它的一个外角，则的大小是（

）A.

70°

B.

60°

C.

40°

D.

30°11.如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为，AB=8，则BC的长是（

）A.

B.

C.

D.

12.（2019·丹阳模拟）如图，将边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B的对应点M落在边CD上（不与点C、D重合），折痕为EF，AB的对应线段MG交AD于点N.以下结论正确的有（

）①∠MBN＝45°；②△MDN的周长是定值；③△MDN的面积是定值.A.

①②

B.

①③

C.

②③

D.

①②③13.（2019·孝感模拟）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤.其中正确结论的是（

）A.

①③④

B.

②④⑤

C.

①③⑤

D.

①③④⑤14.（2019九下·义乌期中）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（

）A.

B.

C.

D.

15.（2019·汇川模拟）如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱ALMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱ALMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（

）A.

24

B.

25

C.

26

D.

2716.（2019·武汉模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，CD分别与⊙O切于点E，F，点M、N分别在线段DE，DF上，且MN与⊙O相切，若△MBN的面积为8，则⊙O的半径为（

）A.

B.

2

C.

D.

217.（2020九上·覃塘期末）如图，在正方形中，是边的中点，将沿折叠，使点落在点处，的延长线与边交于点.下列四个结论:①;②;③;④S正方形ABCD，其中正确结论的个数为（

）A.

个

B.

个

C.

个

D.

个18.（2018九下·龙岩期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．则下列结论正确有(

)A.

①②④

B.

①③④

C.

②③④

D.

①②③19.（2019·朝阳模拟）如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN，以上结论中，正确的个数有（）个.A.

1

B.

2

C.

3

D.

420.（2019九上·温州月考）我们知道，勾股定理反映了直角三角形三条边的关系：a2+b2=c2，而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形的面积。如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，O为AB的中点，分别以AC，BC为边向△ABC外作正方形ACFG，BCED，连结OF，EF，OE，则△OEF的面积为(

)A.

B.

C.

D.

二、填空题21.（2019·渝中模拟）如图，长方形ABCO的边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过其对角线OB的中点D，交边BC于点E，过点E作EG∥OB交x轴于点F，交y轴于点G、若点B的坐标是（8，6），则四边形OBEG的周长是________．22.（2020·北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，，以为一边，在第一象限作菱形，并使，再以对角线为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形，再依次作菱形，，，则过点，，的圆的圆心坐标为________．23.（2019九上·高州期末）如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝________．24.（2018九上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象经过AB的中点D，和BC相交于点E，连接OE，OD，DE，若，则________．25.如图，在菱形中，，边上的高，那么对角线的长为________.26.（2020九上·信阳期末）如图，矩形ABCD中，,，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于________.27.如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连结AC交BN于点E，连结DE交AM于点F，连结CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是________．28.（2019九下·无锡期中）在平面直角坐标系中，已知，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向下运动，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，过点作的平行线交于点，当的值最小时，此时________秒.29.（2019·海州模拟）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，DE＝4BE，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB的延长线于点F，若AF＝8，则正方形ABCD的边长为________.30.（2019九上·温州月考）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE=1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G。（1）证明∠EFG=90°．（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积。（3）在点F整个运动过程中，①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长。②连接EG，若时，求⊙O的半径(请直接写出答案)。三、解答题31.（2019·三明模拟）菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD，求证：四边形OCED是矩形．32.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2

，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．33.（2019·会宁模拟）如图，▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法）34.（2020九上·岐山期末）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF=AE，连接BE、CF求证：BE=CF。35.（2019九下·沈阳月考）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，，，垂足分别是F、G.求证：AE=FG.36.（2019九下·徐州期中）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC.①求证：CD=AN.②若∠AMD=50°，当∠MCD=▲°时，四边形ADCN是矩形.37.（2020九上·兴安盟期末）如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A、B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．求证：直线DE是⊙O的切线.38.（2019·越秀模拟）如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD相交于点O，求证：OE=OF

39.（2018九上·和平期末）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P，求证：四边形CODP是菱形.40.（2019九下·中山月考）已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上，O为坐标原点，且点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2．在坐标系中画出矩形P2M2O2N2，并求出直线P1P2的解析式．41.（2019九下·东台月考）如图所示，在矩形中，是

边上的点，，，垂足为，连接.（1）求证：；（2）若，，求的值.42.（2020·北京模拟）如图，矩形中，，．，分别在，上，点与点关于所在的直线对称，是边上的一动点．（1）连接，，求证四边形是菱形；（2）当的周长最小时，求的值；（3）连接交于点，当时，求的长．43.（2020九下·中卫月考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，，垂足为F.（1）求证：；（2）如果，求的余切值.44.（2019·重庆模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点M在AC上，且AM＝AC，连接并延长BM交AD于点N．（1）求证：△ABC∽△AMB；（2）求MN的长．45.（2018九上·焦作期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点F，且CE=BF.（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是正方形.46.（2020·绍兴模拟）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线;（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于y轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？47.（2019·淮安模拟）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.①若AB＝CD＝1，AB∥CD，则对角线BD的长为________；②若AC⊥BD，求证：AD＝CD；________（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点是对角线上一点，且，过点作直线分别交边于点，使四边形是等腰直角四边形.直接写出的长为________.48.（2020九下·吴江月考）如图①，四边形是矩形，，点是线段上一动点(不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点.设，已知与之间的函数关系如图②所示.（1）求图②中与的函数表达式；（2）求证：；（3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.49.（2019·润州模拟）如图，在菱形ABCD中，边长为2，∠BAD＝120°，点P从点B开始，沿着B→D方向，速度为每秒1个单位，运动到点D停止，设运动的时间为t（秒），将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到对应线段的延长线与过点P且垂直AP的垂线段相交于点E，（≈1.73，sin11°≈0.19，cos11°≈0.98，sin19°≈0.33，tan19°≈0.34，sin41°≈0.65，tan41°≈0.87）（1）当t＝0时，求AE的值.（2）P点在运动过程中，线段PE与菱形的边框交于点F.（精确到0.1）问题1：如图2，当∠BAP＝11°，AF＝2PF，则OQ＝________.问题2：当t为何值时，△APF是含有30°角的直角三角形，写出所有符合条件的t的值________.（3）当点P在运动过程中，求出△ACE的面积y关于时间t的函数表达式.（请说明理由）50.（2019·天宁模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

答案解析部分一、单选题1.A【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO＝CO，BO＝DO∴S△AOB＝S△BOC，S△BOC＝S△COD．∴S△AOB＝S△COD．∵点E是CD的中点∴S△ODE＝S△COD＝S△AOB．∴△ODE与△AOB的面积比为1：2故答案为：A．【分析】由题意可得：S△AOB＝S△COD，由点E是CD中点，可得S△ODE＝S△COD＝S△AOB．即可求△ODE与△AOB的面积比．2.B【解答】解：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，PA．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝2，∴OB＝OC＝1，∴OA＝，∵BN＝2t，AM＝t，∴＝2，∵∠CBN＝∠BAM，∴△CBN∽△ABM，∴∠ABM＝∠BCN，∵∠ABM+∠CBM＝90°，∴∠CBM+∠BCN＝90°，∴∠CPB＝90°，∵OB＝OC，∴OP＝BC＝1，∵PA≥OA﹣OP，∴PA≥﹣1，∴PA的最小值为﹣1，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝PA，∴EF地方最小值为﹣1．故答案为：B．【分析】取BC的中点O，连接OA，OP，PA，可得OA＝，根据BN＝2t，AM＝t，△CBN∽△ABM，得到∠CPB＝90°，在证明四边形AEPF是矩形，即可解答3.D【解答】∵，而且和的方向相反∴.故答案为：D．【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．4.D【解答】根据向量的运算法则，即可知A（结合律）、B、C（乘法的分配律）是正确，D中的是有方向的，而0没有，所以不符合题意．解：∵A、B、C均属于向量运算的性质，是正确；∵D、如果=，则m=0或=．∴符合题意．故答案为：D．【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．5.D【解答】正确选项是D.理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，∴CD=BF，∵BF=AB，∴CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形.故答案为：D.【分析】利用内错角相等两直线平行可得CD∥AF，根据AAS可证△CDE≌△BFE，利用全等三角形的性质可得CD=BF，由BF=AB，可得CD=AB，根据一组对边平行且的四边形是平行四边形即可求出结论.6.A【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E.在正方形ABCD中，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°.∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBE.∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA=4.∵AB=5，∴OB==3.在△ABO和△BCE中，∵∠OAB=∠CBE，∠AOB=∠BEC，AB=BC，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=4，CE=OB=3，∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，∴点C的坐标为（3，1）.∵反比例函数（k≠0）的图象过点C，∴k=xy=3×1=3，∴反比例函数的表达式为.故答案为：A.【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键.7.A【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∴AB＝，过C作CE⊥y轴于E，∵点C的坐标为（1，2），∴CE＝1，OE＝2，∴BE＝1，∴BC＝，∴AB+BC＝+，故答案为：A．【分析】根据勾股定理得到AB＝，过C作CE⊥y轴于E，根据勾股定理得到BC＝，于是得到结论．8.C【解答】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90∘，∴∠DFG=∠A=90∘，在Rt△ADG与Rt△FDG中∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；∵正方形边长为6，∴BE=EC=EF=3，设AG=FG=x，则EG=x+3，BG=6−x，由勾股定理得：，即：，解得：;∴AG=GF=2，BG=4，BG=2AG，故②正确；BE=EF=3，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；S△GBE=，，S△BEF，故④正确。故正确的有①②④，选C.【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的.9.A【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAB=45°，∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°，∴∠B1AB=45°，∴点B1在线段AC上，易证△OB1C为等腰直角三角形，∴B1C=B1O，∴AB1+B1O="AC="=，同理可得AD+DO="AC="，∴四边形AB1OD的周长为.故答案为：A.【分析】连接AC,根据正方形的性质及旋转的性质可得∠CAB=45°，∠B1AB=45°，从而可得点B1在线段AC上，易证△OB1C为等腰直角三角形，可得B1C=B1O，利用勾股定理可得AB1+B1O=AC=，同理可得AD+DO=AC=，从而求出四边形AB′OD的周长.10.C【解答】解：∵∠ADE=60°,∴∠ADC=120°,∵，∴∠A=90°,∵∴∠B=360°-∠C-∠ADC-∠A=40°.故答案为：C.【分析】根据外角和垂直得到∠ADC和∠A的度数,再利用四边形的内角和是360°即可解题.11.C【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图.∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD=AB=4.在Rt△OBD中，OD==2.∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴，∴AC=DC，∴AE=DE=2.易证四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=2.在Rt△OCF中，CF==4，∴CE=CF+EF=4+2=6.而BE=BD+DE=4+2=6，∴BC=.故答案为：C.【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=4，于是根据勾股定理可计算出OD=2，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=2，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=2，然后计算出CF后得到CE=BE=6，由勾股定理可得到BC的长.12.A【解答】连接BG、BE，作BP⊥EF于P，如图所示：由折叠性质可得：BF＝FM，∴∠MBF＝∠FMB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠ABC＝∠NMF＝90°，∴∠CBM+∠BMC＝90°，∠BMF+∠NMB＝90°，∴∠BMC＝∠NMB，又∵BP⊥MN，BC⊥DC，∴BP＝BC，且∠BMC＝∠NMB，BM＝BM∴△BPM≌△BCM（SAS），∴MP＝MC，∠PBM＝∠CBM，同理可证：NA＝NP，∠ABN＝∠PBN，∴△MND的周长＝DN+DM+MN＝DN+AN+DM+CM＝AD+CD＝2，∴△DGE的周长始终为定值.∵∠ABN+∠PBN+∠PBM+∠CBM＝90°∴∠MBN＝45°；∵DM，DN的值不确定，∴△MDN的面积不确定，∴③错误.故①②正确故答案为：A.【分析】连接BM、BN，作BP⊥MN于P.只要证明△BMP≌△BMC，可得MP＝MC，∠PBM＝∠CBM，同理可证：NA＝NP，∠ABN＝∠PBN，由此可判断①②正确.13.D【解答】在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE=BF=BC，在△ABF和△DAE中，

，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF=∠ADE，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；∵∠BAD=90°，AM⊥DE，∴△AED∽△MAD∽△MEA，∴∴AM=2EM，MD=2AM，∴MD=2AM=4EM，故④正确；设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，在Rt△ABF中，AF=∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME∽△ABF，∴，即，解得AM=∴MF=AF-AM=，∴AM=MF，故⑤正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则

即解得MN=，AN=，∴NB=AB-AN=2a-=，根据勾股定理，BM=过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，则OK=a-=，MK=-a=，在Rt△MKO中，MO=根据正方形的性质，BO=2a×，∵BM2+MO2=

∴BM2+MO2=BO2，∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个.故答案为：D【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确.14.C【解答】解：如图：取点D关于直线AB的对称点D′.以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆.连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG.连CG并延长交AB于点E.由以上作图可知，BG⊥EC于G.PD+PG=PD′+PG=D′G由两点之间线段最短可知，当点D′，G，O三点共线时，PD+PG最小.∵D′C′=4，OC′=6∴D′O=∴D′G=2−2∴PD+PG的最小值为2−2故答案为：C.【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G.将PD+PG转化为D′G找到最小值.15.B【解答】设EF=a，BC=b，AB=c，则PQ=a-c，RQ=b-a，PQ=RQ∴a=，∵▱ALMN的面积为50，∴bc+a2+(a-c)2=50,把a=代入化简求值得b+c=10,∴a=5,∴正方形EFGH的边长为5，∴正方形EFGH的面积为25，故答案为：B.【分析】此题涉及的知识点是正方形、长方形的性质，先根据正方形和长方形的性质求出各边长的关系，再根据▱ALMN的面积，求出各边长的关系，最后得出面积.16.B【解答】解：设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a.∵AD、CD、MN是切线，∴AE＝DE＝DF＝CF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，在Rt△DMN中，∵MN＝x+y，DN＝a﹣y，DM＝a﹣x，∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2，∴ax+ay+xy＝a2，∵S△BMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△DMN﹣S△BCN＝8，∴4a2﹣×2a×（a+x）﹣（a﹣x）（a﹣y）﹣×2a×（a+y）＝8，∴a2﹣（ax+ay+xy）＝8，∴a2＝8，∴a＝2，∴AB＝2a＝4，∴⊙O的半径为2，故答案为：B.【分析】设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a.因为AD、CD、MN是切线，可得AE=DE=DF=CF=a，MK=ME，NK=NF，设MK=ME=x，NK=NF=y，在Rt△DMN中，以为MN=x+y，DN=a-y，DM=a-x，看到（x+y）2=（a-y）2+（a-x）2，推出ax+ay+xy=a2，根据S△BMN=S正方形ABCD-S△ABM-S△DMN-S△BCN=8，构建方程求出a即可解决问题；17.D【解答】E是AB的中点AE=BE沿折叠BE=EM,故①正确；四边形ABCD为正方形沿折叠四边形AECF为平行四边形又E是AB的中点故②正确；过点E作由①知，由②知，E是AB的中点设则故③正确；设则，，，，故④正确.故答案为：D.【分析】根据折叠的性质，正方形的性质，等边对等角，同角的余角相等即可判断①；根据题意先证明四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可判断②；过点E作，根据三线合一及折叠的性质即可得出，再根据同角的余切值相等得出比值，，用a表示AM,MF的值，即可得出比值，判断③；设，用a表示及的值，即可判断④.18.B【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，∴，∴DF=AD-AF=10-8=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD-CE=6-x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，∴（6-x）2+22=x2，解得，∴，∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，∴，所以①符合题意；HF=BF-BH=10-6=4，设AG=y，则GH=y，GF=8-y，在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，∴y2+42=（8-y）2，解得y=3，∴AG=GH=3，GF=5，∵∠A=∠D，，，∴，∴△ABG与△DEF不相似，所以②不符合题意；∵，所以③符合题意；∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，∴AG+DF=GF，所以④符合题意．故答案为B．【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD-AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD-CE=6-x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6-x）2+22=x2，解得，即；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8-y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=（8-y）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．19.D【解答】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF∵∠EAF＝45°∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°∴∠EAH＝∠EAF＝45°在△AEF和△AEH中∴△AEF≌△AEH（SAS）∴EH＝EF∴∠AEB＝∠AEF∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故②正确∵∠ANM＝∠ADB+∠DAN＝45°+∠DAN，∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）＝90°﹣（45°﹣∠BAH）＝45°+∠BAH∴∠ANM＝∠AEB∴∠ANM＝∠AEB＝∠ANM；故③正确，∵AC⊥BD∴∠AOM＝∠ADF＝90°∵∠MAO＝45°﹣∠NAO，∠DAF＝45°﹣∠NAO∴△OAM∽△DAF故①正确连接NE，∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME∴△AMN∽△BME∴∴∵∠AMB＝∠EMN∴△AMB∽△NME∴∠AEN＝∠ABD＝45°∵∠EAN＝45°∴∠NAE＝NEA＝45°∴△AEN是等腰直角三角形∴AE＝∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME∴△AMN∽△AFE∴∴∴∴S△AFE＝2S△AMN故④正确故答案为：D.【分析】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，所以∠ANM=∠AEB，则可求得②正确；根据三角形的外角的性质得到①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE＝AN，再根据相似三角形的性质得到EF＝MN，于是得到S△AEF=2S△AMN.故④正确.20.D【解答】解：如图，连接FA、EB，

∵AC+CE=BC+CF，

∴AE=BF，∠FBE=∠AEB，BE=BE，

∴△ABE≌△FBE，

∵四边形FABE的面积=S△BAF+S△BEF，

∴四边形FABE的面积=BF×AC+BF×CF=(a+b)(a+b)=(a+b)2,

∵O为AB的中点，

∴S△FOA=S△BAF，S△FOB=S△BAE=S△BFE，

∴S△FOA+S△FOB=S△BAF+S△BFE=S四边形FABE，

∴S△OEF=S四边形FABE=(a+b)2.

故答案为：D.

【分析】本题运用间接求法求△OEF的面积，连接FA、EB，先通过三角形的面积之和求出四边形FABE的面积，通过O为AB的中点，利用等底同高三角形面积相等，再求出△FOA和△FOB的面积，则△OEF的面积可求.二、填空题21.29.【解答】解：∵点B的坐标是（8，6），点D是对角线OB的中点，∴D（4，3）在Rt△OBC中，OB==10，

∵反比例函数（k≠0）在第一象限的图象经过其对角线OB的中点D，∴k=12，∴反比例函数的解析式为又∵点E在反比例函数的图象上，

∵点E的横坐标为8，∴当x=8时，y=，∴E（8，），∴CE=，∴BE=6-=4.5，∵BC∥OG，EG∥OB，

∴四边形OBEG是平行四边形，∴OG=BE=4.5，EG=OB=10，∴四边形OBEG的周长是2（10+4.5）=29，故答案为：29．【分析】根据已知条件得到D（4，3），OB==10，求得k=12，得到反比例函数的解析式为，求得E（8，），得到CE=，推出四边形OBEG是平行四边形，于是得到结论．22.，【解答】解：过作轴于，四边形是菱形，，，，，，在△中，，，，，，，，菱形的边长，设的中点为，连接，，于是求得，，过点，，的圆的圆心坐标为，，菱形的边长为，，设的中点为，连接，，同理可得，，过点，，的圆的圆心坐标为，，以此类推，菱形菱形的边长为，，设的中点为，连接，，求得，，点是过点，，的圆的圆心，，点在射线上，则点的坐标为，，即过点，，的圆的圆心坐标为，，故答案为：，．【分析】过作轴于，由菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，解直角三角形得到，，求得得到菱形的边长，设的中点为，连接，，推出过点，，的圆的圆心坐标为，，以此类推，于是得到结论．23.4【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，连接PO，∵四边形ABCD是矩形∴AO=CO=5=BO=DO，∴S△DCO=S矩形ABCD=10，∵S△DCO=S△DPO+S△PCO，∴10=×DO×PF+×OC×PE∴20=5PF+5PE∴PE+PF=4故答案为：4【分析】由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO，由S△DCO=S△DPO+S△PCO，可得PE+PF的值．24.【解答】点E在反比例函数的图象上，设，，，四边形OABE是平行四边形，，点D在反比例函数的图象上，点D是AB的中点，，设，则，，，，，过E作轴于F，过D作轴于G，则，，故答案为：．【分析】设，根据已知条件得到四边形OABE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，由于点D在反比例函数的图象上，点D是AB的中点，得到，设，则，根据中点坐标公式得到，求得，，过E作轴于F，过D作轴于G，根据图形的面积公式即可得到结论．25.【解答】解：如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=13cm，∵BC边上的高AH=5cm，∴BH==12cm，∴CH=13-12=1（cm），∴AC==cm，故答案为.【分析】首先根据菱形的性质可得AB=BC=13cm，再利用勾股定理计算出BH的长，进而得到HC的长，然后再进一步利用勾股定理计算出AC的长.26.【解答】(1)如图，当P在B的右侧时，由旋转和矩形性质得：AP=AD=5，AB=CD=3,在直角三角形ABP中，BP=,所以，PC=BC-BP=5-4=1，在直角三角形PDC中，PD=,(2)如图，当点P在B的左侧时，由旋转和矩形性质得：AP=AD=5，AB=CD=3,在直角三角形APB中，PB=，所以，PC=BC+PB=5+4=9,在在直角三角形PDC中，PD=,所以，PD的长度为故答案为：【分析】画图，分两种情况：点P在B的右侧或左侧.根据旋转和矩形性质，运用勾股定理，分别求出BP和PC，便可求出PD.27.3－3【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OF、OC，

在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，

在Rt△ADM和Rt△BCN中，

，

∴Rt△ADM≅Rt△BCN(HL)，

∴∠DAM=∠CBN，

在△DCE和△BCE中，

，

∴△DCE≅△BCE(SAS)，

∴∠CDE=∠CBE

∴∠DAM=∠CDE，

∵∠ADF+∠CDE=∠ADC=90∘，

∴∠DAM+∠ADF=90∘，

∴∠AFD=180∘−90∘=90∘，

取AD的中点O，连接OF、OC，

则OF=DO=AD=3，

在Rt△ODC中，OC==3，

根据三角形的三边关系，OF+CF>OC，

∴CF＞OC-OF，

∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，

最小值=OC−OF=3−3．

【分析】先利用斜边直角边定理证出Rt△ADM≅Rt△BCN，得出∠DAM=∠CBN，于是利用边角边定理可证△DCE≅△BCE(SAS)，得出∠CDE=∠CBE，即可判断出∠AFD=90∘，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=AD=3，利用勾股定理列式求出OC，最后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．28.【解答】解：如图：连接BC、AB

依题意可知：在△BCE和△BAF中

∴△BCE≌△BAF(SAS)∴∠CBE=∠ABF∴∠EBF=∠CBA=90°，∵AP∥BF，∴∠APB=90°，∴P在以AB为直径的圆上，取AB的中点M，当O、P、M在同意直线上时OP最小，∴OM=，∴OP=，∵PM=BM，∴∠BPM=∠MBM，∵AB∥CE，∴∠CEB=∠PBM，又∵∠OPE=∠BPM，∴∠CEB=∠OPE，∴OE=OP，∴CE=2+()=，∴t=()÷1=，故填：.【分析】由点的坐标可知四边形OABC是正方形，而EF的速度和时间相同，故易证明△BCE≌△BAF，从而可得∠EBF=90°，由平行可知∠BPA=90°，得到点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点M，故当O、P、M在同意直线上时OP最小，再由勾股定理可计算出OM的长，进而得出PO的最小值=，由△BPM是等腰三角形，AB∥CE可得△EOP是等腰三角形，可知OP=OE，所以CE=2+()，从而求出运动时间.29.5【解答】解：如图所示：过点E作EM⊥BC，EN⊥AB，分别交BC、AB于M、N两点，且EF与BC相交于点H.∵EF⊥CE，∠ABC＝90°，∠ABC+∠HBF＝180°，∴∠CEH＝∠FBH＝90°，又∵∠EHC＝∠BHF，∴△ECH∽△BFH（AA），∴∠ECH＝∠BFH，∵EM⊥BC，EN⊥AB，四边形ABCD是正方形，∴四边形ENBM是正方形，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENF＝90°，在△EMC和△ENF中,∴△EMC≌△ENF（AAS）∴CM＝FN，∵EM∥DC，∴△BEM∽△BDC，∴.又∵DE＝4BE，∴，同理可得：，设BN＝a，则AB＝5a，CM＝AN＝NF＝4a，∵AF＝8，AF＝AN+FN，∴8a＝8解得：a＝1，∴AB＝5故答案为：5【分析】由∠EHC＝∠BHF，∠CEH＝∠FBH＝90°可判定△ECH∽△BFH，从而得到∠ECH＝∠BFH；作辅助线可证明四边形ENBM是正方形，根据正方形的性质得EM＝EN，由角角边可证明△EMC≌△ENF，得CM＝FN；因DE＝4BE，△BEM∽△BDC，△BEN∽△BDA和线段的和差可求出正方形ABCD的边长.30.（1）证明：连结EG，在正方形ABCD中，得∠C=90°∴EG为⊙O的直径∴∠EFG=90°

（2）解：如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ADF=45°，MN=AD，

∴ND=NF，

∴AN=FM，

∵∠MFG=∠AFN，∠MFG+∠MFE=∠AFN+∠FAN，

∴∠MFE=∠FAN，

∴△AFN≌△FEM（AAS），

∴FN=AM，EM=FN，

设AN=x,则ND=EM=BM-BE=x-1,

∵AN+ND=4，

∴x+x-1=5,

∴x=,

∴FN=EM=BM-BE=-1=，

∴S△AFD=AD×FN=×4×=3.

（3）①1）如图，当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，

∵∠EFH+∠HFG=∠IFG+∠HFG，

∴∠EFH=∠IFG，

∴△EHF≌△GIF（AAS），

∴FH=FI，

又∵FH=BH，

∴BH=FI=HC=2,

∴BF=BH=2.

2）当CG=EF时，

∵EF=CG，

∴FG∥EC，

∵∠C=90°，

∴∠EFG=90°，∠FEC=90°，

∴四边形FECG为矩形，

又∵EF=BE，

∴BF=BE=.

3）当FG=CG，如图，过F点作FN⊥BC，

∵FG=CG，

∴∠FEG=CEG，

∵∠C=∠EFG=90°，

∴∠FGE=∠CGE，

∴EF=EC=BC-BE=4-1=3，

设EN=x,

则FN=BN=x+1,

∵EF2=FN2+EN2，

∴32=(x+1)2+x2,

解得x=,

则BN=，

BF=EN=.

②如图，作FH⊥EC，FK⊥CD，

△FKG∽△FHE，

∴,

设FH=k,则FK=2k,

∴BH=FH=k,

∴BC=BH+HC=BH+FK=k+2k=4,

∴k=,

∴CG=CK-KG=k-2(k-1)=2-k=2-=,

∴∴EG=，

∴r=.

【分析】（1）连结EG，由90°的圆周角所对的弦为直径，可知EG为圆O的直径，于是根据直径所对的圆周角是直角可得∠EFG=90°.

（2）如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，利用正方形的性质，结合等角的余角相等，用角角边定理证明△AFN≌△FEN，∴FN=AM，EM=FN，设AN=x,把ND用含x的代数式表示，根据AN+ND=4，求出x,则FN可求，于是可求△ADF的面积.

（3）①分三种情况讨论，1）当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，利用角角边定理证明△EHF≌△GIF，则对应边FH=FI，BH=FI=HC=2,于是BF的长度可求；当CG=EF时，易证四边形FECG为矩形，则BF=2BE；当FG=CG，过F点作FN⊥BC，根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC，从而求出EF的长，于是利用勾股定理求出FN的长，则BF的长可求.

②

设FH=k,根据相似的性质，把相关线段用含x的代数式表示，得出BC=k+2k=4,求出k值，则CG的长度可求，从而利用勾股定理求出直径，则半径可知.三、解答题31.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵菱形ABCD的对角线交于O点，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°．∴四边形OCED是矩形【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵菱形ABCD的对角线交于O点，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°．∴四边形OCED是矩形【分析】根据已知首先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的性质即可得到AC⊥BD，进而不难证明结论.32.解：①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：

∵正方形ABCD

∴∠BCD=90°，∠ECN=45°∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°，在△DEN和△FEM中，

，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，②解：CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，

，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG∴AC=AE+CE=

AB=×2=4，

∴CE+CG=4是定值．【分析】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，利用正方形的性质，可证明∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，由NE=NC，可证得四边形EMCN为正方形，可得到EM=EN，再利用ASA证明△DEN≌△FEM，利用全等三角形的对应边相等，易证ED=EF，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论。

②根据正方形的性质去证明DE=DG，AD=DC，∠ADE=∠CDG，再利用SAS证明△ADE≌△CDG，利用全等三角形的对应边相等，可知AE=CG，利用解直角三角形，就可证得CE+CG=4，因此可知CE+CG的值是一个定值。33.解：如图，就是所求的的平分线.的顶点，，，，在中，.由题意可知平分，，又，，，.的顶点，，.【分析】根据角平分线的作图步骤画出图形即可,先根据勾股定理求得AO的长度，再利用角平分线得，再根据AC=OB=7即可得出线段的长.34.证明：四边形ABCD是菱形∴AB=BC，AD∥BC∴∠A=∠CBF……2分在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BGF(SAS)∴BE=CF【分析】由菱形的邻边相等可得AB=BC，

其对边平行，结合两直线平行同位角相等可得∠A=∠CBF，于是利用边角边定理即可证明△ABE≌△BGF，则对应边BE和CF相等.35.解：连接EC.∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°，∴四边形EFCG为矩形.∴FG=CE.又BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE=∠CBE.在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）.∴AE=EC.∴AE=FG.【分析】根据题意我们不难得出四边形GEFC是个矩形，因此它的对角线相等.如果连接EC，那么EC=FG，要证明AE=FG，只要证明EC=AE即可.证明AE=EC就要通过全等三角形来实现.三角形ABE和BEC中，有∠ABD=∠CBD，有AB=BC，有一组公共边BE，因此构成了全等三角形判定中的SAS，因此两三角形全等，得AE=EC，即AE=GF.36.①证明：∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，在△AMD和△CMN中，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD=CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD=AN；②25°【解答】②若∠AMD=50°，当∠MCD=

25°时，四边形ADCN是矩形.理由是:∵∠MCD=

25°,∠AMD=50°∴∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，∴∠MCD=∠MDC，∴MD=MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD=MN=MA=MC，∴AC=DN，∴四边形ADCN是矩形.【分析】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC，再根据等角对等边可得MD=MC，然后证明AC=DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.37.证明：如图所示，连接OD，∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD∵BD平分∠OBC∴∠OBD=∠DBE∴∠ODB=∠DBE∴OD∥AC∵DE⊥AC∴OD⊥DE∵OD是⊙O的半径∴直线DE是⊙O的切线【分析】连接OD，证得∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，由DE⊥AC得到OD⊥DE，即可得到直线DE是⊙O的切线.38.解：连接BE、DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵AE=CF，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OE=OF．【分析】连接BE和DF，根据平行四边形的性质得出四边形BEDF为平行四边形，从而得出答案．39.证明：∵DP∥AC，CP∥BD∴四边形CODP是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，OD=BD，OC=AC，∴OD=OC，∴四边形CODP是菱形.【分析】根据DP∥AC，CP∥BD，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出结论.40.解：如图所示：当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2．∵点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1，∴P1的坐标为（2，3），∵将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2．∴P2的坐标为（7，2），设P1P2的解析式为：y＝kx+b，把P1（2，3），P2（7，2）代入得，2k+b＝3①，7k+b＝2②，解由①②组成的方程组得，k＝﹣，b＝．所以直线P1P2的解析式为y＝﹣x+；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2．如图，∴P2的坐标为（1，﹣2），设P1P2的解析式为：y＝kx+b，把P1（2，3），P2（1，﹣2）代入得，2k+b＝3①，k+b＝﹣2②，解由①②组成的方程组得，k＝5，b＝﹣7．所以直线P1P2的解析式为y＝5x﹣7；故答案为矩形P2M2O2N2见解析；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，直线P1P2的解析式为：y＝﹣x+；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，直线P1P2的解析式为：y＝5x﹣7.【分析】由点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1，得到P1的坐标为（2，3）．将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，得P2的坐标为（7，2）；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，得P2的坐标为（1，﹣2），然后利用待定系数法分别求出它们的直线解析式．四、综合题41.（1）证明：在矩形中，，，，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，，

∴，∴≌

∴；

（2）解：由（1）可知：，，在中，，

∴，∴，

在中，，

∴.【分析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB.再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解.42.（1）证明：如图：连接，，交于点四边形是矩形，，，，，点与点关于所在的直线对称，，，，且四边形是平行四边形，且四边形是菱形；

（2）解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，此时的周长最小，四边形是菱形，，，点，点关于对称

（3）解：如图，延长，延长交于点，过点作于，交于点，过点作于点，由（2）可知，，，四边形是矩形，，，，，，，【分析】（1）由“”可证，可得，可得四边形是平行四边形，且，可证四边形是菱形；（2）作点关于的对称点，连接，交于点，此时的周长最小，由勾股定理可求的长，由平行线分线段成比例可求解；（3）延长，延长交于点，过点作于，交于点，过点作于点，可证四边形是矩形，可得，，由相似三角形的性质依次求出，，，，的长，通过证明，由相似三角形的性质可求的长．43.（1）证明：四边形是矩形，，，在和中，，，；

（2）解：，，设，，，，，，，，.【分析】（1）矩形的性质得到，得到，根据定理证明；（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.44.（1）证明：在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，∴AC＝2．∵AM＝AC，∴AM＝，∴＝＝．又∵∠BAM＝∠CAB，∴△ABC∽△AMB．

（2）解：∵△ABC∽△AMB，∴∠BMA＝∠CBA＝90°＝∠BAN，∴BM＝＝．又∵∠ABM＝∠NBA，∴△ABM∽△NBA，∴＝，即

=

，解得：MN＝．【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC的长度，进而可得出AM的长度，由AB、AM、AC的长度可得出

=，结合∠BAM=∠CAB即可证出△ABC∽△AMB；（2）由△ABC∽△AMB可得出∠BMA=90°=∠BAN，利用勾股定理可求出BM的长度，结合∠ABM=∠NBA可证出△ABM∽△NBA，根据相似三角形的性质即可求出MN的长度．45.（1）证明：如图：AC的垂直平分线EF交AC于点DCD=AD,∠ADF=90，EC=AE,CF=AF,又∠ACB=90°，EF∥BC,△ADF∽△ACB,AF:AB=AD:AC,

CD=AD,D为AC的中点，

AF:AB=AD:AC=1：2，F为AB中点,BF=AF,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CF=AF,又CE=BF,CF=AF,EC=AE,CF=AF

CE=CF=AF=AE四边形BECF是菱形.

（2）解：当∠BAC=45时,四边形AECF是正方形.证明:∠BAC=45,四边形AECF是菱形,∠EAC=∠BAC=45,∠EAF=∠EAC+∠BAC=90,菱形AECF是正方形.【分析】(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC,根据四边相等的四边形是菱形即可判断;(2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45时,∠EAF=90,则菱形AECF为正方形.46.（1）y=n，x=m，y=-x+m+n，y=x-m+n

（2）解：∵点D有一条特征线是∴∴∵抛物线的解析式为∴∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，∴∴∴将代入中解得∴抛物线的解析式为

（3）解：①如图，当点在平行于y轴的D点的特征线时根据题意可得∴∴∴∴∴抛物线需要向下平移的距离②如图，当点在平行于x轴的D点的特征线时，设则∴设在中，解得∴∴直线OP解析式为∴∴抛物线需要向下平移的距离即抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．【解答】（1）∵点D∴D的特征线是【分析】（1）根据特征线的定义以及性质直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（3）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．47.（1）；证明：如图1，连接AC，BD，∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD.

（2）5或6.5【解答】解：（1）①∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又AB＝BC，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==故答案为：.（2）因为四边形ABFE是等腰直角四边形，所以可以是AB=AE或AB=BF.当AB=AE时，AE=A