概率论与数理统计模拟试题参考答案

./练习题一一、填空题。1、已知P<A>=0.3,P<A+B>=0.6,则当A、B互不相容时,P<B>=___________,而当A、B相互独立时,P<B>=__________。2、已知～,且,,则=__________,X的最可能值为__________。3、若,则,。4、二维离散型随机变量的分布律为：0101则的边缘分布_____________,,是否独立？_____________〔填独立或不独立。5、设是来自正态总体的一组简单随机样本,则样本均值服从__________。6、设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件,则这件产品为次品的概率为。7、设连续型随机变量的概率密度为,则=__________。二、判断题。1、服从二元正态分布的随机变量,它们独立的充要条件是与的相关系数。〔2、设是来自正态总体的样本,是样本方差,则。〔3、随机变量相互独立必推出不相关。〔4、已知是的无偏估计,则一定是的无偏估计。〔5、在5把钥匙中,有2把能打开门,现逐把试开,则第3把能打开门的概率为0.4。〔三、选择题。1、某元件寿命服从参数为〔小时的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后,都没有损坏的概率是〔A；〔B〔C〔D2、设的分布函数为,则的分布函数为〔A〔B〔C〔D3、设随机变量,且,则的取值为〔〔A0；〔B3；〔C-3；〔D24、设两个相互独立的随机变量和的方差分别为4和2,则随机变量的方差是〔。〔A8；〔B16；〔C28；〔D445、设满足,则有〔〔A是必然事件〔B是必然事件〔C〔D四．据某医院统计,心脏手术后能完全复原的概率是0.9,那么在对100名病人实施手术后,有84至95名病人能完全复原的概率是多少？〔Ф0<1.67>=0.9525,Ф0<2>=0.9773五、设总体的概率密度为,其中,试求参数的最大似然估计量。六、若已知某地幼儿身高总体的标准差,现从该地一幼儿园中抽查了9名幼儿,测得身高为：115,120,131,115,109,115,115,105,110,试求总体期望值的95％的置信区间：〔1若已知幼儿身高分布为正态分布；〔2若幼儿身高分布未知。七、证明：对于任何的随机变量,都有。二一、填空题1、口袋有3个白球2个红球,现不放回任取两球,则恰取到一个白球一个红球的概率为________.2、的概率分布为-10130.20.30.10.4则。3、若服从标准正态分布,求=〔其中；4、～,则〔其中；5、如果随机变量在区间[a,b]上服从均匀分布,则。6、已知随机变量～,且,,则,。7、已知,相互独立,～,～,那么～；二、选择题1为样本,下列无偏估计中最有效的估计量为<>ABCD2假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的45%、35%、20%。如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%,若用B表示"产品为次品",分别表示"产品为甲、乙、丙生产的"则AP<|B>51.4%BP<|B>25%CP<|B>24%DP<|B>14.6%3设是取自正态总体的样本,则样本均值～<>ABCD4某批产品有的合格品,对其进行重复抽样检验,共取4个样品,则合格品数目的最可能值<>A3B4C5D3或45、如果随机变量服从的指数分布,则,分别为<>A22B24C1/21/2D1/21/4三、判断题1、已知事件,若,则有成立。…〔2、服从二元正态分布的随机变量〔X,Y,它们独立的充要条件是X与Y的相关系数………〔3、如果随机变量,则…〔4相互独立,且～,,,则～.………………〔5、如果随机变量服从参数为的普哇松分布,则,…〔四、解答题1、一个螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两。求一盒<100个>同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.2、设总体的分布密度〔,今从X中抽取10个个体,得数据如下：1050,1100,1080,1200,1300,1250,1340,1060,1150,1150,试用最大似然估计法估计。3、若某灯泡厂某天生产一大批的灯泡,其寿命服从正态分布,从中抽取了25个进行寿命试验,得平均寿命小时,试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计；若寿命服从分布未知,但,同样以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计。4、证明：任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望与期望的平方之差。三一．填空1．若随机变量服从二项分布且,那么=_____。2．已知两个相互独立的随机变量,则服从的分布是_____。123P0.20.2x3．已知离散型随机变量的分布律为并且,则=_____。4．,已知,则。5．设是来自正态总体的样本,是样本均值,则服从的分布是_____。6．签盒里放有6个难签和2个非难签,甲乙两人不放回地从中抽签,甲先抽乙后抽,则乙抽到难签的概率是_____。7．某电子元件的寿命服从参数为〔＝的指数分布,则3个这样的元件使用1000小时后都没有损坏的概率是。二．选择1．设总体,是来自该总体的三个样本,则下列的无偏估计中最有效的是〔A.B.C.D.2.某人射击的命中率为0.82,在某次射击比赛中共射击10次,则此人射中目标的最可能次数是〔A.8和9B.8C.9D.103．若二元离散型随机变量的联合分布律如下:23101/221/31/6则Eη的值为〔ABCD三．判断1．若服从参数为〔＝2的普洼松分布,则。〔2．从总体中取一组样本,记样本均值为,则有是的无偏估计。〔3．若服从二元正态分布,独立,则不相关,反之不相关则独立。〔四、〔中心极限定理及标准正态分布的应用问题已知一根火柴的重量是一个随机变量,期望值是1克,方差为0.01,假设每根火柴的重量相互独立。求一盒火柴〔共100根的重量不超过101克的概率。五、〔最大似然估计的应用总体X的分布密度函数,现从总体X中取出10个个体,得到数据如下：1120120014001300135011301320125014001180请用最大似然法估计a。六、〔置信区间相关的计算问题――注意区分已知分布和未知分布某金属厂生产一批同型号的铁钉,〔1已知铁钉的长度服从正态分布X～N<,0.25>,为找出这批铁钉平均长度的置信度为0.95<=0.05,>的置信区间,从中选取10枚铁钉进行长度测验,得到数据如下〔单位厘米：4.964.995.055.045.014.984.995.035.015.00请估计这批铁钉的平均长度所在的围〔的置信区间。〔2若不知道铁钉长度的分布形势,其他条件不变,如何估计这批铁钉的平均长度所在围七．已知随机变量X的期望为EX＝2,方差DX＝4.5,求EX2并证明对任意随机变量,有四一、填空题1．从数字1,2,3,4,5中任取三个组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率是_____。2．已知随机变量,则服从的分布是_____。3．若随机变量服从二项分布且,那么=_____。123P0.30.50.24．已知离散型随机变量的分布律为并且,则=_____。5．已知连续型随机变量的密度函数为且,则的值为_____。6．设是来自正态总体的样本,分别是样本均值和样本方差,则服从的分布是_____。7．盒子里放有4个红球和3个白球,现不放回地从中取球两次,每次取一个,则第二次取到红球的概率是_____。二、选择题1．设总体,是来自该总体的两个样本,则下列的无偏估计中最有效的是〔ABCD2.某批产品的废品率为0.3,现进行重复抽样检验,共取出9个样本,则其中废品的个数最可能是〔A2B3C2和3D3.若为任意常数,则下述关于方差的命题不正确的是〔ABCD4．已知,表示标准正态分布的分布函数,则概率等于〔ABCD5．若二元离散型随机变量的联合分布律如下:12101/321/31/3则的值为〔A0BCD三、判断题1．若服从参数为的指数分布,则。〔2．从总体中取一组样本,则样本方差是的无偏估计。〔3．对任意两个随机变量,有。〔4．若服从二元正态分布,且不相关,则独立。〔5．若服从区间上的均匀分布,则也服从区间上的均匀分布〔四、某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占20%。用表示在随意调查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数。<1>写出的概率分布。<2>用中心极限定理计算被盗索赔户不少于12户,且不多于28户的概率。五、已知总体的密度函数为,为的一组样本观察值,求的最大似然估计。六、设总体的方差为0.81,均值为。根据容量为9的简单随机样本,测得样本均值。<1>若总体分布未知,求的一个置信水平为99%置信区间。<2>若已知服从正态分布,求的置信度为95%的置信区间。七、已知随机变量服从区间上均匀分布,试求关于的方程没有实根的概率。五一、填空题1、样本中所含个体的个数,叫做；在进行抽样时,样本的选取必须是；2、如果随机变量,则12,8,则n=,p=.3、明投球的命中率是52%,若他连续投5次球,则第次最可能投中。4、设是取自正态总体的样本,则有；5、若,求=〔其中；6、如果随机变量服从的指数分布,3个这样的元件使用100小时后,都没有损坏的概率是.7、若两个统计量,,则更有效。二、判断题1、服从二元正态分布的随机变量,它们相互独立,则一定不相关,但它们不相关,则不一定相互独立。…………………〔2、设是取自正态总体的样本,则有……………………〔3、如果随机变量服从参数为的普哇松分布,则,…〔4、若事件A,B,C相互独立,则有…〔5、若和都是的无偏估计,样本容量为n,,则称比有效的估计量…………〔三、选择题1、连续型随机变量的概率密度为：并且=0.75,则〔Ak=3,a=2Bk=2,a=3Ck=2,a=4Dk=4,a=22、甲、乙两名射手在一次射击中得分〔分别用表示的分布律如下123123P0.40.10.5P0.10.60.3则下列说确的是〔A甲的技术比乙的技术好B乙的技术比甲的技术好C甲乙技术一样好D无法比较3、假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的45%、35%、20%。如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%,若用B表示"产品为次品",分别表示"产品为甲、乙、丙生产的"则AP<|B>14.6%BP<|B>25%CP<|B>24%DP<|B>51.4%4、甲乙两个士兵对同一目标进行独立射击,甲命中目标的概率为0.6,乙命中目标的概率为0.5,求该目标未被击中的概率是〔A0.3B0.2C0.7D0.85、若服从标准正态分布,求=〔其中；A0.025B0.95C0.818D0.975四、袋装茶叶用机器袋装,每袋净重为一个随机变量,其期望是100g,标准差是10g,一大盒装200袋,求一盒茶叶净重大于20.5kg的概率。五、设总体服从的概率密度为：,其中,现从中抽取10个个体,如下：104、110、108、112、120、125、100、110、100、120,试用最大似然估计法估计六、已知灯泡寿命的标准差=50小时,抽出25个灯泡检验,得平均寿命=500小时,试在下列条件下以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计。1、灯泡寿命服从正态分布。2、灯泡寿命分布味知。七、证明题从正态总体中取一个样本,试证明样本平均数及样本方差分别是及的无偏估计。参考答案一一、填空题。1、0.3；2、208；3、；4、01独立5、；6、0.17；7、0二、判断题。1、√；2、×3、×4、×5、√三、选择题。1、B；2、D3、B4、D5、D四、解：设X表示100名病人手术后能完全复原的人数,则X～B〔100,0.9=0.9525+0.9773-1=0.9298五、似然函数令解得的最大似然估计量为六、,,,〔1得,的95％的置信区间为〔2若分布未知的95％的置信区间为,即为。七、证明题证明：2参考答案二一、填空题13/521.130.9540.954556361/37二、选择题三、判断题×√×××四、解答题1解:教材109例12解：设为的一组样本观察值,似然函数为L=,,,解似然方程=0,得=,可验证,的最大似然估计为=,由以上数据得=1168,则的最大似然估计值为=3.解：由题意可得灯泡的平均寿命的置信区间为：且由题可得灯泡的平均寿命的置信区间为〔480520若分布未知,则则平均寿命的置信区间为：灯泡的平均寿命的置信区间为〔4505504解:教材72〔5参考答案三填空1、1/32、N〔4,17 3、8.2 4、0.975 5、 6、0.25 7、二、选择 1、c 2、A 3、D三、判断 1、错 2、错 对四、 解答： 记表示第根火柴的重量,为100根火柴的总重量则有下面关系式成立又由已知条件,得 ,根据中心极限定理,有：＝ ＝五、解答： 似然函数 ＝； 得 lnL＝； 似然函数对a求导得最大似然方程：； 得 将带入后得a＝0.00079六、 解答：由已知条件,总体服从正态分布,,,因此这批铁钉的平均长度的置信度为0.95的置信区间为带入得置信区间〔4.7,5.32总体分布未知的情况下,由切贝夫不等式,平均长度的置信水平为0.95的置信区间为：