江西省赣州市南康农业职业中学高三数学理知识点试题含解析

江西省赣州市南康农业职业中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“2x＞1”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断．【解答】解：由2x＞1=20，得到x＞0，由x＞0推不出x＞1，但由x＞1一定能推出x＞0，故2x＞1”是“x＞1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们可以根据充要条件的定义来判断法一：若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件进行判定．法二：分别求出满足条件p，q的元素的集合P，Q，再判断P，Q的包含关系，最后根据谁小谁充分，谁大谁必要的原则，确定答案．2.sin182°cos28°﹣cos2°sin28°的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin182°cos28°﹣cos2°sin28°=﹣sin2°cos28°﹣cos2°sin28°=﹣sin30°=﹣．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，考查计算能力．3.函数f（x）的导函数f′（x），对?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）＞ex的解是（）A．（2，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，ln2）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案【解答】解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵不等式f（x）＞ex，∴g（x）＞1，∵f（2）=e2，∴g（2）==1，∴x＞2，故选：A．4.过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P。若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是

（

）

A．2

B．

C．

D．参考答案：B5.函数的图象是（

）参考答案：B试题分析：根据题意，由于函数的图象有意义，则满足，根据定义域排除A,D然后在B,C中通过赋值法，令x=2,可知函数值大于零，图像在x轴的上方，故排除C，选B.

6.已知变量满足约束条件，则的最小值为(

)

参考答案：选

约束条件对应边际及内的区域：

则7.已知，方程在［0，1］内有且只有一个根，则在区间内根的个数为

A.2011

B.1006

C.2013

D.1007参考答案：C由，可知，所以函数的周期是2，由可知函数关于直线对称，因为函数在［0，1］内有且只有一个根，所以函数在区间内根的个数为2013个，选C.8.已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．或

参考答案：9.下列五个写法：①；②；③{0，1，2}；④；⑤，其中错误写法的个数为（

）A、1

B、2

C、3

D、4参考答案：C10.过点的直线与圆交于两点，若，则直线的方程为（

）

A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是

▲_.参考答案：略12.在等差数列中，，则数列的前项和

．参考答案：13.执行如图所示的程序框图,若输入m=5则输出k的值为参考答案：4本题考查程序框图.

mk初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次时,65＞50,所以k=4.14.(09年石景山区统一测试)函数，则，若，则实数的取值范围是

．参考答案：15.（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）参考答案：（Ⅰ）由题意：当时，；―――1分

当时，设，显然在是减函数，―――2分由已知得，解得

―――4分

故函数的表达式为=―――6分

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得―――8分当时，为增函数，故当时，其最大值为；―――9分当时，，―――10分当且仅当，即时，等号成立．所以，当时，在区间上取得最大值．―――11分综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．12分略16.函数的定义域是

.

参考答案：答案：{x|3<x<4或2≤x<3}17.已知函数f（x）=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，且y=|f（x）|在[﹣1，0]上为单调减函数，则实数m的取值范围为．参考答案：m≤0或m≥2考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论判别式△的范围，得到不等式组，解出即可．解答：解：判别式△=m2﹣8m+12=（m﹣2）（m﹣6），①当△≤0时，即2≤m≤6时，函数f（x）≤0恒成立，∴|f（x）|=﹣f（x）=x2﹣（m﹣2）x+m﹣2，对称轴方程为：x=，∴当≥0即m≥2时符合题意（如图1），此时2≤m≤6；②当△＞0时，即m＜2或m＞6时，方程f（x）=0的两个实根为x=，不妨设x1＜x2，由题意及图象得x1≥0或，即m﹣2≥（如图2）或（如图3）解得m≥2或m≤0，此时m≤0或m＞6，综上得m的取值范围是：m≤0或m≥2；故答案为：m≤0或m≥2．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了数形结合思想，分类讨论思想，是一道中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）数列{}的前n项和为，．（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，．求不超过的最大整数的值。参考答案：(1)因为，所以

①当时，，则，………………1分②当时，，……2分所以，即，所以，而，……4分所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．……………5分（2）由(1)得．所以

①，②，……………7分②-①得：，……………8分.………………10分（3）由(1)知

………………11分，………13分所以，故不超过的最大整数为．……………14分【解析】略19.如图，已知椭圆的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线交椭圆于，两点．（I）求椭圆的方程．（II）求证：点在直线上．（III）是否存在实数，使得的面积是面积的倍？若存在，求出的值．若不存在，说明理由．参考答案：（I）由题意可知，，∴．∴，∴的方程为．（II）设，，，联立，可得：，，，，∴点坐标为．∵，∴在直线上．（III）由（）可知到的距离等于到的距离．若，则．∵，为的中点，设点坐标，则，联立，解得．∴，解得，∴．20.（本小题满分12分）

已知函数.

(I)求的最小正周期和最大值；

(Ⅱ)在给出的坐标系中画出函数在上的图象，并说明的图象是由的图象怎样变换得到的。参考答案：略21.已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可；（Ⅲ）根据函数的极值的个数求出a的范围，求出4f（x1）﹣2f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x2+x﹣lnx，f′（x）=﹣x+1﹣，则f（1）=，f'（1）=﹣1，所以所求切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0．（Ⅱ）由f（x）=﹣x2+ax﹣lnx，得f′（x）=﹣x+a﹣=﹣．令g（x）=x2﹣ax+1，则f′（x）=﹣，①当△=a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2时，g（x）＞0恒成立，则f′（x）＜0，所以f）x）在（0，+∞）上是减函数．②当△=0，即a=±2时，g（x）=x2±2x+1=（x±1）2≥0，则f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．③当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2．（i）当a＜﹣2时，g（x）=x2﹣ax+1是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＜﹣1），则g（x）＞0恒成立，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．（ii）当a＞2时，g（x）是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＞1），则函数g（x）有两个零点：，列表如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减函数极小值增函数极大值减函数综上，当a≤2时，f（x）的减区间是（0，+∞）；当a＞2时，f（x）的增区间是，减区间是，．（Ⅲ）证明：根据（Ⅱ），当a＞2时，f（x）有两个极值点x1，x2，（x1＜x2），则x1，x2是方程g（x）=0的两个根，从而．由韦达定理，得x1x2=1，x1+x2=a．又a﹣2＞0，所以0＜x1＜1＜x2====．令，h（t）=﹣t+3lnt+2，（t＞1），则．当1＜t＜2时，h'（t）＞0；当t＞2时，h′（t）＜0，则h（t）在（1，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数，从而h（t）max=h（2）=3ln2+1，于是4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．22.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，，平面ADPQ⊥平面ABCD，且.（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角的大小；（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求线段DH的长．参考答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】先利用线面垂直的性质证明直线平面，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立空间直角坐标系，（1）可得是平面的一个法向量，求得，利用，且直线平面可得结果；（2）利用向量垂直数量积为0，列方程组分别求出平面与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设，则，，由，可得，解方程可得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，，，直线平面.

由题意，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：，.

依题意，易证：是平面的一个法向量，又，，又直线平面，.（2）设为平面的法向量，则，即