相似三角形与圆的综合题

中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！爱心，用心，专心爱心，用心，专心爱心，用心，专心爱心，用心，专心相似三角形与圆的综合考题1、已知：如图，AB是00的直径，E是AB延长线上一点，过E作00的切线ED,切点为C,AD丄ED交ED于点D,交00于点F,CG丄AB交AB于点G.求证：BG・AG=DF・DA.2、已知：如图，AB为00的直径，AB丄AC,BC交00于D,E是AC的中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！爱心,用心,专心爱心,用心,专心爱心,用心,专心爱心,用心,专心3、（南通）已知：如图，AB是00的直径，AB=AC,BC交00于点D,DEIAC,E为垂足.4、如图，AB为00的直径，BF切00于点B,AF交00于点D,点C在DF上,BC交00于点E,且ZBAF=2ZCBF,CGIBF于点G,连接AE.⑴直接写出AE与BC的位置关系;(2)求证：△BCGs^ACE；⑶若ZF=60°,GF=1,求00的半径长.中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！爱心，用心，专心爱心，用心，专心爱心，用心，专心爱心，用心，专心5、如图，AB、AC分别是00的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE丄AB分别交00于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.(1)求证：PC是00的切线；⑵点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE・DF,为什么？⑶在⑵的条件下，若0H=1，AH=2，求弦AC的长.6、如图，AB、AC分别是00的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE丄AB分别交00于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.(1)求证：PC是00的切线；⑵点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE・DF,为什么？⑶在⑵的条件下，若0H=1,AH=2,求弦AC的长.7、如是00的直径，CB、CD分别切00于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；8、已知：如图，AB是0O的直径，D是0O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE丄AC,垂足是点E.过点B作BE丄AB，交ED延长线于点F,连结0F。求证：(1)EF是00的切线;(2)A0BFs^DEC。

9、如图，已知AB是00的直径，C是00上一点，0D丄BC于点D,过点C作。0切线，交OD的延长线于点E,连结BE.(1)求证：BE与00相切；2⑵连结AD并延长交BE于点F,若0B=6,且sinZABC=3，求BF的长.10、如图，AB是00的直径，AC是弦，ZBAC的平分线AD交00于点D,DE丄AC交AC的延长线于点E,0E交丄AC交AC的延长线于点E,0E交AD于点F。AC4AF⑵若IB5，求DF的值;B⑶在⑵的条件下，若00直径为10,求厶EFD的面积.

B11、已知：如图，在RtAABC中，ZA=90。，以AB为直径作00,BC交00于点D,E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F.求证：DE为00的切线.AB・DF=AC・BF.12、如图，以△ABC的边AB为直径的00与边BC交于点D,过点D作DE丄AC,垂足为E,延长AB、ED交于点F,AD平分ZBAC.(1)求证：EF是00的切线;(2)若AE=3,AB=4，求图中阴影部分的面积.0/14.如图，圆内接四边形14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分ZBCD,BD交AC于点F,过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.求证：①AE〃BD；②AD2=DF・AE15、已知：DABCD,过点D作直线交AC于E,交BC于F,交AB的延长线于G,经过B、G、F三点作0O,16、如图，AABC中，AB=AC，0是BC上一点，以0为圆心，0B长为半径的圆与AC相切于点A,过点C作CD丄BA,垂足为D.中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！相似三角形与圆的综合考题（教师版）1、已知：如图，AB是00的直径，E是AB延长线上一点，过E作00的切线ED,切点为C,AD丄ED交ED于点D,交00于点F,CG丄AB交AB于点G.求证：BG・AG=DF・DA.证明：连接BC,FC,CO,•・•过E作00的切线ED,.\ZDCF=ZCAD,ZD=ZD,.•.△CDFs^ADC,中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！爱心，用心，专心爱心，用心，专心爱心，用心，专心爱心，用心，专心.•・ZGBC+ZBCG=90°,ZBCG+ZGCA=90°,.•・ZGBC=ZACG,.•.△BGCs^CGA,CGBGA.C=匚匚，.\CG2=BGXAG,•・•过E作00的切线ED,・・・0C丄DE,TAD丄DE,・C0〃AD,AZ0CA=ZCAD,TA0=C0,AZ0AC=Z0CA,AZ0AC=ZCAD,在ADC中，^CCA=^D«^GA匚二丄DA匚.AC=AC.•.△AGC^AADC(AAS),.•・CG=CD,••・BGXAG=ADXDF.2、已知：如图，AB为00的直径，AB丄AC,BC交00于D,E是AC的证明：⑴连结DO、DAr直径,-,-C£直径,-,-C£=£；/l,:.DE=EA,--Z1=Z4,OI>=OA」--Z2=^3,.Z4十心沖(F,--Zl+z2=9On,即:ZEDO=Wr「DC是半径•-RE为OO的切线：(2j\-^+zDBA=^,z3+Jz4-=l»ncr.■，z4=zBBj1,ZCDA=^BDA=^口..-.-ABD--CAD..AB_BD~w~J7)r-.■^FDB+^BD>O=^D,^DBO+^=^,又-.OD^OBr.-.^BDO=aDSO.--.厶—FDEr■:jLF-AF,.■.-^AD^^FDE,.BD_BF'ADr.AB_BF'ac_d7r即且迟:AC=BF\Z>F.3、（南通）已知：如图，AB是00的直径，AB=AC,BC交00于点D,DE丄AC,E为垂足.（1）求证：ZADE=ZB；⑵过点0作OF〃AD，与ED的延长线相交于点F解：（1）方法一：证明：连接0D,V0A=0D,.\Z0AD=Z0DA.TAB是00的直径，.•・ZADB=90。，即AD丄BC.又TAB=AC,

:.AD平分ZBAC，即ZOAD=ZCAD.AZODA=ZDAE=ZOAD.•.•ZADE+ZDAE=90°,.•・ZADE+Z0DA=90。，即ZODE=90°,OD丄DE.、、/TOD是00的半径，••・EF是00的切线.AZADE=ZB.方法二：TAB是00的直径，.•・ZADB=90。，又DE丄AC,.•・ZDEA=90°,.\ZADB=ZDEA，•/△ABC中，AB=AC，AD丄BC，.AD平分ZBAC，即ZDAE=ZBAD.•••△DAEs^BAD.••・ZADE=ZB.证明:T0F〃AD,ZF=ZADE.又TZDEA=ZFDO(已证),△FDOs^DEA.FD：DE=FO：DA,即FD・DA=FO・DE.点评：本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质；(2)题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明.4、如图，AB为00的直径，BF切00于点B,AF交00于点D,点C在DF上,BC交00于点E,且ZBAF=2ZCBF,CGIBF于点G,连接AE.直接写出AE与BC的位置关系;⑶若ZF=60°,GF=1,⑶若ZF=60°,GF=1,求00的半径长.中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！解：(1)如图1,TAB是00的直径，••・ZAEB=90°.:.AE丄BC.如图1,TBF与00相切，••・ZABF=90°..•・ZCBF=90°-ZABE=ZBAE.VZBAF=2ZCBF.AZBAF=2ZBAE.AZBAE=ZCAE.AZCBF=ZCAE.TCG丄BF,AE丄BC,AZCGB=ZAEC=90°.VZCBF=ZCAE,ZCGB=ZAEC,•••△BCGs^ACE.连接BD,如图2所示.*ZDAE=ZDBE,ZDAE=ZCBF,ZDBE=ZCBF.•AB是00的直径，・ZADB=90°.・BD丄AF.ZDBC=ZCBF,BD丄AF,CGIBF,・CD=CG.*ZF=60°,GF=l,ZCGF=90°,•ZAFB=60°,ZABF=90°,爱心,用心,专心.tanZF二匚F=cg二tan60°=W灼'•CG=W,

•ZAFB=60°,ZABF=90°,爱心,用心,专心••・ZBAF=30°.•.•ZADB=90°,ZBAF=30°,••・AB=2BD.VZBAE=ZCAE,ZAEB=ZAEC,••・ZABE=ZACE.••・AB=AC.设00的半径为r,则AC=AB=2r,BD=r.VZADB=90°,••・AD=j£r..•・DC=AC-AD=2r-Wr=(2-W)r="£.•・r=2一頁+3./.OO的半径长为2°运+3.解析：由AB为O0的直径即可得到AE与BC垂直.易证ZCBF=ZBAE,再结合条件ZBAF=2ZCBF就可证到ZCBF=ZCAE,易证ZCGB=ZAEC,从而证到厶BCGs^ACE.由ZF=60°,GF=1可求出CG^3；连接BD,容易证到ZDBC=ZCBF,根据角平分线的性质可得DC=CG=-「3设圆0的半径为r,易证AC=AB,ZBAD=30°，从而得到AC=2r,AD="丐r,由DC=AC-AD='-'^可求出O0的半径长.5、如图，AB、AC分别是O0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE丄AB分别交O0于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.⑴求证：PC是O0的切线;⑵点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE・DF,为什么？分析：(1)连接0C,证明Z0CP=90。即可.⑶在⑵的条件下，若0H=分析：(1)连接0C,证明Z0CP=90。即可.乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出.…可以先根据勾股定理求出DH,再通过证明△0GA9A0HD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长.解答：(1)证明：连接0C.VPC=PF,0A=0C,比,中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！爱心，用心，专心爱心，用心，专心AZPCA=ZPFC,ZOCA=ZOAC,•.•ZPFC=ZAFH,DE丄AB,.•・ZAHF=90°,.•・ZPCO=ZPCA+ZACO=ZAFH+ZFAH=9O°,.PC是00的切线.解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE・DF，理由如下:连接AE.•・•点D在劣弧AC中点位置，AZDAF=ZDEA,ZADE=ZADE,.•.△DAFs^DEA,AAD：ED=FD：AD,.•・AD2=DE・DF.解：连接OD交AC于G.0H=1,AH=2,0A=3，即可得0D=3,.・.Dh=^^$=2匹••点D在劣弧AC中点位置，.AC丄DO,.•・Z0GA=Z0HD=90°,在厶OGA和AOHD中，SZDOA—AAOD®=,.•.△OGA^AOHD(AAS),.•・AG=DH,AC=4；匚点评：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径）,爱心，用心，专心EE再证垂直即可.同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质.6、如图，AB、AC分别是00的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE丄AB分别交00于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.求证：PC是00的切线；⑵点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE・DF,为什么？⑶在⑵的条件下，若0H=1，AH=2，求弦AC的长.(1)证明：连接0C.•.•PC=PF,0A=0C，AZPCA=ZPFC，Z0CA=ZOAC，VZPFC=ZAFH，DE丄AB，.•・ZAHF=90°,.•・ZPC0=ZPCA+ZAC0=ZAFH+ZFAH=90°,.PC是00的切线.解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE・DF，理由如下:连接AE.•・•点D在劣弧AC中点位置，AZDAF=ZDEA,•ZADE=ZADE,.•.△DAFs^DEA,PDCGAEAAD：ED=FD：AD,.•・AD2=DE・DF.(3)解：连接0D交AC于G.•0H=1,AH=2,0A=3，即可得0D=3,ADH=J°D28=2'2••点D在劣弧AC中点位置，:.AC丄DO,.•・Z0GA=Z0HD=90°,在厶OGA和AOHD中，^OGA=zOHD<OA=QD.•.△OGA^AOHD(AAS),.•・AG=DH,.•.AC=4：3解析：连接OC，证明ZOCP=90。即可.乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出.可以先根据勾股定理求出DH,再通过证明△OGA9AOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长。7、如图，AB是00的直径，CB、CD分别切00于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；⑴求证：AE是00的切线;⑵过点D作DF丄AB于点F,连接BE交DF于点M,求证：DM=MF.证明：（1）连接0D,0E,•••CB、CD分别切00于B、D两点,?.Z0DE=90°,CD=CE,•CE=AE+BC,CE=CD+DE,.•・AE=DE,爱心,用心,专心中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！爱心，用心，专心爱心，用心，专心爱心，用心，专心爱心，用心，专心.•.△BMFsABEA,MFBFAE二EACDEFCB匚丘二EA.二CEMFCB.AE"CE•.•△EDMsAECB,CBDM•匚E=DE••,MFDMAE二DE•,••・DM=MF.解析：首先连接OD,OE,由CB、CD分别切00于B、D两点，即可得ZODE=90°,CD=CE,又由CE=AE+BC,CE=CD+DE,即可证得AE=DE,则可得△ODE^AOAE,即可证得AE是00的切线；首先易证得AE〃DF〃BC,然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可求得DM=MF.8、已知：如图，AB是0O的直径，D是0O上一点，连结BD并延长，使CD=BD,连结AC。过点D作DE丄AC,垂足是点E.过点B作BE丄AB,交ED延长线于点F,连结OF。求证：(1)EF是0O的切线；(2)A0BFs^DEC。证明：(1)连结OD,VAB是0O的直径,OA=OB,又•?CD=BD,.•・OD〃AC,TDE丄AC,•ZDEC=90°,ZODE=90°,•・•点D是0O上一点,•EF是0O的切线。(2)VBF丄AB,AB是0O的直径,BF是0O的切线，

YEF是00的切线，.•・ZBF0=ZDF0,FB=FD,.•.OF丄BD,VZFDB=ZCDE,.\Z0FD=ZC,AZC=Z0FB,又VZCED=ZFB0=90°,.•.△0BFsADEC。9、如图，已知AB是00的直径，C是00上一点，0D丄BC于点D,过点C作。0B切线，交0D的延长线于点E,连结BE.B(1)求证：BE与00相切；2⑵连结AD并延长交BE于点F,若0B=6,且sinZABC=3，求BF的长.解：(1)连结C0,Y0D丄BC,・・・Z1=Z2,再由C0=0B,0E公共，.•.△0CE9A0BE(SAS)/.Z0CE=Z0BE,又CE是切线，Z0CE=90°,・・・Z0BE=90°・・・BE与00相切(2)备用图中，作DH丄0B于H,H为垂足，2•・•在RtA0DB中，0B=6，且sinZABC=3，・0D=4,4躬8同理RtA0DHsRtA0DB,・DH=3,0H=324/513又•.•RtAABFsRtAAHD,・FB:DH=AB:24/5133・・・理=十6+—3考点：切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。点评：熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！中高考复习资料，助你轻松跃龙门！请持续关注！爱心,用心,专心爱心,用心,专心爱心，用心，专心爱心，用心，专心档题。丄AC交AC的延长线于点E,0E交AD于点F。10、如图，AB是00的直径，丄AC交AC的延长线于点E,0E交AD于点F。(1)求证:DE是00的切线;⑵若-V求厂F的值;⑶在⑵的条件下，若00直径为10,求厶EFD的面积.试题分析:(1)连接0D,根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得ZCAD=Z0DA，推出0D〃AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可;(2)先由(1)得0D〃AE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案;根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可.(1)连接0D因为0A="0D"所以Z0AD=Z0DA又已知Z0AD=ZDAE可得Z0DA=ZDAE，所以0DIIAC，又已知DE丄AC可得DE丄0D所以DE是00的切线;(2)由(1)得(2)由(1)得0D〃AE,S-5=AF-DF4--5一一

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/.y/.135⑶亦考点：圆的综合题点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大爱心，用心，专心

11、已知：如图，在RtAABC中，ZA=90°，以AB为直径作00,BC交00于点D,E是边AC的中点,ED、AB的延长线相交于点F.求证：DE为00的切线.AB・DF=AC・BF.证明：（1）如图，连接0D、AD.V0D=0A,AZ2=Z3，TAB是00的直径，.•・ZBDA=90°,••・ZCDA=90°.又TE是边AC的中点，1.\DE=AE=AC,2AZ1=Z4,AZ4+Z3=Z1+Z2=90°,即。.又TAB是00的直径，•••DE为00的切线；（2）如图,TAB丄AC,AD丄BC,Z3=ZC（同角的余角相等）.又TZADB=ZCDA=90°,.•.△ABDsACAD,ABBD易证△FADs^FDB,.BD_BF.AB_BF…~A^~~DF•AB・DF=AC・BF.

解析:(1)连接OD、AD,求出CDA=ZBDA=90°，点E为AC中点，求出Z1=Z4,Z2=Z3，推出Z4+Z3=Z1+Z2=90°，根据切线的判定即可;=DF，即可得延长AB、ED交(2)证厶ABDs^CAD，推出=DF，即可得延长AB、ED交ACADADDFAC出AB・DF=AC・BF.12、如图，以△ABC的边AB为直径的0O与边BC交于点D,过点D作DE丄AC，垂足为E,于点F,AD平分ZBAC.(1)求证：EF是0O的切线;(2)若AE=3,AB=4，求图中阴影部分的面积.解：(1)连接OD.VOA=OD,.\ZOAD=ZODA,TAD平分ZBAC,.\ZOAD=ZCAD,.•・ZODA=ZCAD,.•・OD〃AC,TDE丄AC,.•・ZDEA=90°,.•・ZODF=ZDEA=9O°,TOD是半径,••・EF是00的切线.(2)TAB为00的直径，DE丄AC,.•・ZBDA=ZDEA=90°,TZBAD=ZCAD,.•.△BADsADAE,AB_AD…ID_旋4AD即_AD3

AD=2：頁cosZBADAD=2：頁cosZBAD二AD_2羽_73AB_~^~~2.•・ZBAD=30°,ZB0D=2ZBAD=60°,1・・・BD=2AB=2,.•・S=S=Xx^3X2='-'3△BOD2△ABD22.•・S阴影=S扇形BOD-S60k.•・S阴影=S扇形BOD-S60kx22^j3△BOD=360''解析：根据等腰三角形性质和角平分线性质得出ZOAD=ZODA=ZDAE,推出OD〃AC，推出OD丄EF，根据切线的判定推出即可；证△BADs^DAE,求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出ZBAD=30°，求出ZBOD=60。和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和厶BOD的面积，相减即可.oo弦CD交AB于E,BF丄1,垂足为F,BF交13、知AB是0O的直径，直线l与0O弦CD交AB于E,BF丄1,垂足为F,BF交(1)求证:CE2=FG•FB；1⑵若tanZCBF=-,AE=3,求0O的直径。厶解：(1)证明：连结AC,TAB为直径，ZACB=90°,oo，且AB是直径，.AB丄CD即CE是RtAABC的高，.\ZA=ZECB,ZACE=ZEBC,•CE是0O的切线，.\ZFCB=ZA,CF2=FG・FB,.\ZFCB=ZECB,VZBFC=ZCEB=90°,CB=CB,

.•.△BCF9ABCE,.•・CE=CF,ZFBC=ZCBE,.•・CE2=FG•FB；(2)VZCBF=ZCBE,ZCBE=ZACE,.\ZACE=ZCBF,1AE・・tan/CBF=tan/ACX2=亦•.•AE=3,31~CE~2CE=6'在RtAABC中，CE是高,.•・CE2=AE•EB,即62=3EB,.•・EB=12,••・0O的直径为：12+3=15。如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分ZBCD,BD