山西省忻州市保德县中学高三数学理模拟试卷含解析

山西省忻州市保德县中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点作圆的两条切线，切点分别为、，为坐标原点，则的外接圆方程是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：2.已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式f（y﹣3）+f（）=0恒成立，则的取值范围是（）A．[2﹣，2+] B．[1，2+] C．[2﹣，3] D．[1，3]参考答案：C【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】由平移规律，可得y=f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），结合函数的单调性等式可化为y﹣3=﹣，平方即可得到y为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，再由直线的斜率公式，=可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，通过图象观察，过O的直线OA，OB的斜率即为最值，求出它们即可．【解答】解：函数y=f（x）的图象可由y=f（x﹣1）的图象向左平移1个单位得到，由于y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），则等式f（y﹣3）+f（）=0恒成立即为f（y﹣3）=﹣f（）=f（﹣），又f（x）是定义在R上的增函数，则有y﹣3=﹣，两边平方可得，（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，即有y=3﹣为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，则=可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，如图，kOA==3，取得最大，过O作切线OB，设OB：y=kx，则由d=r得，=1，解得，k=2，由于切点在下半圆，则取k=2﹣，即为最小值．则的取值范围是[2﹣，3]．故选C．3.平面向量与的夹角为60°，=(2,0)，||=1，则|+2|等于A. B. C.4

D.参考答案：D略4.已知点P（－3，1）在直线，过点P且方向向量为a=（2，－5）的入射光线，经y=－2反射后过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D5.已知正三角形的边长为，点是边上的动点，点是边上的动点，且,则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.若，二项式的展开式中项的系数为20，则定积分的最小值为（

）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：C【分析】由二项式定理展开项可得，再利用基本不等式可得结果.【详解】二项式的展开式的通项为当时，二次项系数为而定积分当且仅当时取等号故选B【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.7.函数y=的图象可能是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．解答： 解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B点评：本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．8.设向量等于（

）A．

B． C．

D．

参考答案：D9.已知全集U=R，集合M={x│x2-4≤0}，则CuM=（

）A.{x│-2<x<2}

B.{x│-2≤x≤2}

C.{x│x＜-2或x>2}

D.{x│x≤-2或x≥2}

参考答案：C10.已知函数的图象如图，则的图象为

（

）

A．①

B．②

C．③

D．①②③图都不对参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是．参考答案：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}略12.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．参考答案：

13.设正三棱锥A-BCD的底面边长和侧棱长均为4，点E，F，G，H分别为棱AB，BC，CD，BD的中点，则三棱锥E-FGH的体积为

▲

．参考答案：因为正三棱锥的底面边长和侧棱长均为4，所以正三棱锥体积为又三棱锥的底面积为正三棱锥底面积四分之一，三棱锥的高为正三棱锥的高二分之一，因此三棱锥的体积为

14.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的

宽度约等于

m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：)参考答案：15.给出下列六个命题：①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点；②若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；③若m≥﹣1，则函数y=的值域为R；④“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．⑤函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l﹣x）的图象关于y轴对称；⑥满足条件AC=，AB=1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的个数是

．参考答案：①③④⑤【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判定定理可得①正确．通过举反例可得②不正确．根据对数的真数可取遍所有的正实数，可得此对数函数的值域为R，故③正确．根据a=1时，函数在定义域上是奇函数，再根据函数在定义域上是奇函数时，a=±1，可得④正确．由函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l﹣x）的图象关于y轴对称，可得⑤正确．由AC=，AB=1，利用正弦定理及由大边对大角可得△ABC是一个唯一的直角三角形，故⑥不正确．【解答】解：对于函数f（x）=lnx﹣2+x，在区间（1，e）上单调递增，f（1）=﹣1，f（e）=e﹣1＞0，根据函数零点的判定定理可得，在区间（1，e）上存在零点，故①正确．②不正确，如当f（x）=x3时，显然满足f′（0）=0，但y=f（x）=x3在x=0处没有极值．③当m≥﹣1，函数y=的真数为x2﹣2x﹣m，判别式△=4+4m≥0，故真数可取遍所有的正实数，故函数y=的值域为R，故③正确．④由a=1可得，定义域为R，关于原点对称，==﹣f（x），故函数在定义域上是奇函数，故充分性成立．若函数在定义域上是奇函数，则有f（0）=0，或f（0）不存在，∴a=1，或a=﹣1，故不能推出a=1．故必要性不成立，故④正确．⑤在函数y=f（1+x）的图象上任意取一点（a，f（1+a）），则点（a，f（1+a））关于y轴的对称点为（﹣a，f（1﹣a）），故函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l﹣x）的图象关于y轴对称，故⑤正确．⑥△ABC中，由AC=，AB=1，利用正弦定理求得sinC=，再由大边对大角可得C=30°，∴B=90°，△ABC是一个唯一的直角三角形，故⑥不正确．故答案为①③④⑤．【点评】本题主要考查命题的真假的判断，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．16.设是各项均为非零实数的等差数列的前项和，且满足条件，则的最大值为

.参考答案：17.5位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学报的数是1，第二位同学报的数也是1，之后每位同学所报的数都是前两位同学报的数之和；若报的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，

（1）当5位同学依次循环共报20个数时，甲同学拍手的次数为___________．（2）当甲同学开始第10次拍手时，这5位同学己经循环报数到第___________个数．参考答案：(1)1

(2)195略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（2，0），且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若动点P在直线x=﹣1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P：作直线l⊥MN．求直线l是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a2=4，，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设P（﹣1，y0），，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y﹣y0=k（x+1），由，得，由韦达定理结合已知条件推导出直线l恒过定点；当直线MN的斜率不存在时，直线l也过点．所以直线l恒过定点．解答：解：（Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆C上，所以，所以a2=4，（1分）因为椭圆C的离心率为，所以，即，（2分）解得b2=3，所以椭圆C的方程为．（4分）（Ⅱ）设P（﹣1，y0），，①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y﹣y0=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），由，得，所以，因为P为MN中点，所以，即．所以，（8分）因为直线l⊥MN，所以，所以直线l的方程为，即，显然直线l恒过定点．（10分）②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=﹣1，此时直线l为x轴，也过点．综上所述直线l恒过定点．（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否恒过定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．19.（本题满分12分）在直角梯形ABCD中，AD//BC，,,如图（1）．把沿翻折，使得平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若点为线段中点，求点到平面的距离；（Ⅲ）在线段上是否存在点N，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

参考答案：（Ⅰ）由已知条件可得．………………2分∵平面，．∴．……3分又∵，∴．……4分（Ⅱ）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得．∴．……………6分设平面的法向量为，则∴令，得平面的一个法向量为，∴点M到平面的距离．…………………8分（Ⅲ）假设在线段上存在点N，使得与平面所成角为．………9分设，则，∴，又∵平面的法向量且直线与平面所成角为，∴，……………11分可得，∴（舍去）．综上，在线段上存在点N，使与平面所成角为，此时．12分20.设椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心及C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：x3﹣24y﹣20﹣4（1）求曲线C1、C2的标准方程；（2）设直线l过抛物线C2的焦点F，l与椭圆交于不同的两点M，N，当=0时，求直线l的方程．参考答案：考点：抛物线的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意（﹣2，0），一定在椭圆C1上，设C1方程为（a＞b＞0），可得a=2．于是椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2．可判断点（，）也在C1上，代入椭圆方程即可解得b2，因此得到椭圆的方程．从而（3，﹣2），（4，﹣4）一定在抛物线C2上，设C2的方程为y2=2px（p＞0），把其中一个点的坐标代入即可得出．（2）假设直线l过C2的焦点F（1，0）．分类讨论：当l的斜率不存在时，得出M，N的坐标，然后验证是否满足=0，即可，当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x﹣1）代入C1方程并整理可得根与系数的关系，利用=0，可得k的值即可．解答： 解：（1）由题意（﹣2，0），一定在椭圆C1上，设C1方程为（a＞b＞0），则a=2，∴椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2．∴（，）也在C1上，代入椭圆方程，解得b2=1，∴C1的方程为+y2=1．从而（3，﹣2），（4，﹣4）一定在抛物线C2上，设C2的方程为y2=2px（p＞0），可得（﹣4）2=2p×4．∴p=2，即C2的方程为y2=4x．（2）假设直线l过C2的焦点F（1，0）．当l的斜率不存在时，则M（1，），N（1，﹣）．此时=1﹣=≠0，与已知矛盾．

当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x﹣1）代入C1方程并整理得，（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．∵直线l过椭圆内部（1，0）点，故必有两交点．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．y1y2=k（x1﹣1）k（x2﹣1）=k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）=，∵=0，∴x1x2+y1y2=0，∴k2﹣4=0，k=±2，∴存在符合条件的直线l且方程为y=±2（x﹣1）．点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭