圆板的应力分析课件

第二节圆板的应力分析板类结构是工程中最常见的部件之一，通常承受两种不同作用方式的外载，如图所示。t(a)受纵向载荷的板(b)受横向载荷的板

第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载同时作用时，可通过叠加求解。板：厚度远小于其它两个方向尺寸(圆板为其直径)且中面为平面的物体。1第二节圆板的应力分析板类结构是工程中最常见的部件之一、基本概念与假设念二、圆板轴对称弯曲基本方程三、圆板与环板的计算四、带有平盖圆筒的边缘分析第二节圆板的应力分析2一、基本概念与假设念二、圆板轴对称弯曲基本方程三、圆板与环板一、基本概念与假设变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力)。当中面的wmax远小于板厚

t

时，通常称为板的小挠度问题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；当wmax与

t

为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内的薄膜力较大，因而不能忽略。一般在工程要求的精度范围内，当时，按小挠度问题计；当时，按大挠度问题考虑。挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示。3一、基本概念与假设变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可薄板与厚板：一般认为当板厚t小于其它最小尺寸的1/5时，属于薄板；否则为厚板。对于薄板，在作出一些假设后，其分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维问题来分析，其求解过程较为复杂。本节主要讨论圆形薄板(简称圆板)在轴对称横向载荷作用下的小挠度弯曲问题。基本假设：对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设：①中性面假设板的中面变形后，仅有形状的改变（由平面变为曲面），没有尺寸的变化，即假设中面为中性面。②直法线假设变形前垂直于中面的直线段，变形后仍保持为直线且垂直于变形后的中面。③互不挤压假设板的各层纤维变形前后均互不挤压。

4薄板与厚板：一般认为当板厚t小于其它最小尺寸的1/5时，属于图2-25圆形薄板

xrz0

根据中性面假设：；对于圆板，常取柱坐标，原点位于中面圆心。直法线假设表明很小，相应的变形可不计，即：；互不挤压假设认为：。因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力分量。为弯曲应力，沿板厚线性分布，与梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示。且其它位移、应变和应力分量均与

无关，因而不存在扭矩。在轴对称载荷作用下，圆板中的变形和内力也一定轴对称。因此二、圆板轴对称弯曲基本方程1.圆板的变形与内力5图2-25圆形薄板xrz0根据中性面假设：以上各内力的正向如图2-28(b)所示，且它们都只是r的函数，而与z无关。另外，由于弯曲应力不引起厚度的改变，因而中面同一法线上各点的挠度相等，位移w也就是中面的挠度。z(a)图2-28各应力沿板厚的分布与合成(b)z于是，可将各应力分量沿板厚合成为相应的内力。可分别合成为弯矩，可合成为横向剪力，它们之间的关系为(e)

6以上各内力的正向如图2-28(b)所示，且它们都只是r的函数设圆板承受轴对称横向分布载荷

。通常薄板弯曲的平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r，θ)截取中面上的微小面积作为微元体，其受力如图2-26所示。图中弯矩以双箭头表示，方向遵循右手螺旋法则。或(2-55)2.平衡方程0

rqz图2-26圆板的微体受力

dr7设圆板承受轴对称横向分布载荷。通常薄板弯曲的(2-56)

式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含有

3个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。0

r图2-26圆板的微体受力

0

rqz

drcccc或8(2-56)式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问直法线假设现考察距离中面为z的微小线段AB。变形前AB=ab=dr；变形后ab→a1b1，AB→A1B1，且位于变形后的法线上。(2-57)圆板在轴对称载荷作用下，中面将弯曲成以0z为轴的旋转面，如图所示。设中面上任意一点a变形后的挠度为w，转角为。由图可知又根据中性面假设，a1b1=ab=AB，则A点处的两向应变为将(c)代入得

3.几何方程图2-27圆板的变形

zr0

rawa1z

drA1z

B1ABbb1(a)(b)(c)9直法线假设现考察距离中面为z的微小线段AB。变形前AB=ab由于，故圆板的物理方程为将(2-57)代入代入(e)板的抗弯刚度

(2-59)4.物理方程(2-58)(d)(e)10由于，故圆板的物理方程为将(2-57)代比较由材力(2-60)(d)(2-59)易见：正应力的最大值在板的上下表面，剪应力的最大值在中面上。(2-60#)5.应力计算(p50)11比较由材力(2-60)(d)(2-59)易见：正应力的最大值圆板轴对称弯曲基本方程：(2-55)平衡方程：(2-56)物理方程：(2-59)4个方程，4个未知量。将(2-59)代入(2-56)，得

(2-61)

两边乘r后求导，再将(2-55)代入，可得(2-62)

式(2-61,62)即为圆板轴对称弯曲问题的挠曲微分方程。圆板轴对称弯曲挠曲方程：6.挠曲微分方程12圆板轴对称弯曲基本方程：(2-55)平衡方程：(2-56)物基本公式(2-59)(2-61)

(2-60#)三、圆板与环板的计算13基本公式(2-59)(2-61)(2-60#)三、圆板与环任意半径r处的剪力由区域平衡可得：代入(2-61)积分得图#1受均布载荷和弯矩的简支圆板MRt

qM1.受均布载荷和弯矩作用的圆板(见图)MrQrQrMrrq得由于应是有限量，故C2=0，于是(2-64)

14任意半径r处的剪力由区域平衡可得：代入(2-61)积(#1a)将和代入得联解得于是边界条件：MRt

qM15(#1a)将和代入得联解(#1b)(#1c)代入得(#1a)(2-59)(2-60#)代入得16(#1b)(#1c)代入得(#1a)(2-59)(2-60#纯弯曲情况(q=0)

(2-83)

由式(#1)可得MRt

M图2-32(#1)17纯弯曲情况(q=0)(2-83)由式(#1)可得均布载荷简支圆板(M=0)显然，在板中心挠度和应力最大同样，由式(#1)可得Rt

q图2-29(a)(2-67)

(2-70)

(2-72)

(2-68)

(2-73)

18均布载荷简支圆板(M=0)显然，在板中心挠度和应力最大均布载荷固支圆板图2-29(b)Rt

q

可由边界条件，借助于(#1)求得。将第一式代入得再将M代回(#1)，即得固支圆板的挠度、弯矩和应力为(#1)19均布载荷固支圆板图2-29(b)Rtq可由边界条(2-74)

(2-76)

(2-77)

显然，最大挠度在板中心，其值为最大弯矩为径向弯矩，发生在边缘处(2-75)

相应的最大应力为(2-78)

图2-29(b)Rt

q20(2-74)(2-76)(2-77)显然，最大挠度在板比较可见，如取μ=0.3，周边简支时的最大挠度约为固支时的4倍，最大应力约为固支时的1.65倍。因此，在同样的载荷作用下，无论在刚度方面还是强度方面，固支圆板都要好于简支圆板。均布载荷固支圆板均布载荷简支圆板21比较可见，如取μ=0.3，周边简支时的最大挠度约为固支时的4板内任意半径r处的剪力Qr，由区域平衡可得：积分得2.受均布弯矩和剪力作用的环板于是式(2-61)成为(a)

为简化计算，上式可改写为图#1受均布弯矩和剪力的环板Q1M1Rt

R1Q1M1rR1QrMr22板内任意半径r处的剪力Qr，由区域平衡可得：积分得2边界条件：代入得将Q1M1Rt

R1及(a)

23边界条件：代入得将Q1M1RtR1及(a)23联解得：代回(a)式，即得挠度的表达式为(#2)

24联解得：代回(a)式，即得挠度的表达式为(#2)24现以受均布载荷的简支环板为例来说明叠加计算方法。由截去部分力的平衡可得R1Rq(a)Q1M1(b)q(c)Q1M1+=采用叠加法，图a可看成是图b和图c的叠加。

图b为从均布载荷简支圆板中挖去半径R1的部分代之以内力而形成的环板。故其wb和R1处的M1，由式(2-67,70)可得3.圆(环)板计算的叠加方法(2-67,70)25现以受均布载荷的简支环板为例来说明叠加计算方法。图c的wc可由受均布弯矩和剪力的环板解答得出。将M1和Q1代入(#2)，并注意到符号相反，即R1Rq(a)Q1M1(b)q(c)Q1M1+=--Q1M1Rt

R1(#2)

26图c的wc可由受均布弯矩和剪力的环板解答得出。将M1则得于是(p58w表达式)

R1Rq(a)Q1M1(b)q(c)Q1M1+=27则得于是(p58w表达式)R1Rq(a)Q1M1(b)在R1处，挠度最大，其值为式中：同理可求得最大弯矩和相应的应力。应用类似的过程可以求解承受不同载荷和具有不同边界条件的环板。图2-2列举了几种典型环板的最大挠度和最大应力()，可供设计计算参考。28在R1处，挠度最大，其值为式中：同理可求得最大弯矩和相应的图2-2几种典型环板的计算系数(a)(b)(c)(d)qR1

RqR1

RqR1

RPR1

RPR1

RqR1

R(e)(f)集中载荷：分布载荷：29图2-2几种典型环板的计算系数(a)(b)(c)四、带有平盖圆筒的边缘分析圆筒在内压p，Q0和M0作用下连接处的平行圆增量与转角由表2-1和式2-46为：平盖可视为图示力学模型。在压力p和M0-Q0t2/2作用下连接处的转角，可由(#1a)式求得，过程如下：Q0Q0M0-Q0t2/2M0-Q0t2/2t2p(b)

30四、带有平盖圆筒的边缘分析圆筒在内压p，Q0和M0作用下式中：因在板下表面引起的平行圆半径增量为：其次，由引起的平行圆半径增量可按以下推导得出：(#1a)D2M0-Q0t2/2(c)

(d)

(e)

(#1a)MRt

qM-pQ0Q0M0-Q0t2/2M0-Q0t2/2t2p31式中：因在板下表面引起的平行圆半径增量为：其次代入变形协调方程，得：联解即得Q