高等数学高职PPT完整全套教学课件

GAODENGSHUXUE授课教师：授课时间：高等数学全套PPT课件函数极限与连续导数与微分微分中值定理与导数的应用不定积分定积分向量与空间解析几何微分方程多元函数微分学第一章函数函数及其特征第一节初等函数与分段函数反函数与复合函数第三节第二节第一节函数及其特征第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型.在某一自然现象或社会现象中往往存在多个不断变化的量，即变量，这些变量并不是孤立变化的，而是相互联系并遵循一定规律的.函数就是用来描述这种联系的.下面先讨论两个变量的情形（多于两个变量的情形将在第九章中讨论）.第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示例如，在自由落体运动中，设物体下落的时间为t，下落的距离为s,假定开始下落的时刻t=0，则变量s与t之间的相依关系由数学模型给定，其中g是重力加速度.第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示定义设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集.若对于每个x∈D，变量y按照一定法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数，记为其中x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域，也记为Df，即Df=D.对于每个x∈D，按照对应法则f，总有确定的值y与之对应，这个值称为函数在点x处的函数值，记为f(x).因变量与自变量的这种相依关系通常称为函数关系.第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示当自变量x遍取D中的所有数值时，对应的函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记为Rf或f(D)，即由函数的定义可以看出，函数的定义域与对应法则是确定函数的两个必不可少的要素.也就是说，如果两个函数的对应法则和定义域都相同，那么这两个函数就是相同的函数.第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示关于函数的定义域，在实际问题中应根据问题的实际意义确定.若讨论的是纯数学问题，则往往取使函数的表达式有意义的一切实数所构成的集合作为该函数的定义域，这种定义域又称为函数的自然定义域.例如，函数

的自然定义域为开区间（－1,1）.第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示对函数y=f(x)（x∈D），若取自变量x为横坐标，因变量y为纵坐标，则在平面直角坐标系xOy中就确定了一个点x,y.当x遍取定义域D中的每一个数值时，平面上的点集称为函数y=f(x)的图形（见图1-1）.第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示若自变量在定义域内任取一个数值，对应的函数值总是唯一的，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.例如，方程x2+y2=a2在闭区间［－a,a］上确定了一个以x为自变量、y为因变量的函数.对每一个x∈(－a,a)，都有两个y值

与之对应，因而y是多值函数.注意：若无特别声明，本书中函数均指单值函数.第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示函数的常用表示法有以下三种：（1）表格法：将自变量的值与对应的函数值列成表格的方法.（2）图形法：在坐标系中用图形来表示函数关系的方法.（3）公式法（解析法）：将自变量和因变量之间的关系用数学表达式（解析表达式）来表示的方法.第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示例1：绝对值函数其定义域D=(－∞,+∞),值域Rf=［0,+∞),它的图形如图1-2所示．第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示例2：符号函数其定义域D=(－∞,+∞),值域Rf={－1,0,1}.对任一实数x,总有，它的图形如图1-3所示．有些函数,对于自变量的不同取值范围有不同的对应法则,这种函数称为分段函数，如例1和例2中的两个函数.第一节函数及其特性一、函数的概念及其表示例3：取整函数y=［x］表示不超过数x的最大整数.例如，［2.3］=2,［5］=5,［π］=3,［－6.7］=－7.取整函数的定义域D=(－∞,+∞),值域Rf={0,±1,±2,±3,…}，它的图形如图1-4.所示．第一节函数及其特性二、函数的特性1.函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集X⊂D.若存在一个正数M,使得对任一x∈X，恒有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在X上有界，或称f(x)是X上的有界函数.每一个满足上述不等式的正数M都是该函数的界.若不存在这样的正数M，则称f(x)在X上无界，或称f(x)是X上的无界函数.例如，函数y=sinx在(－∞,+∞)内有界，因为对任何实数x，恒有|sinx|≤1.又如，函数y=1x在区间（0,1）上无界，在区间［1,+∞)上有界.第一节函数及其特性二、函数的特性2.函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I⊂D.若对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数在区间I上是单调增加函数；若对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少函数.第一节函数及其特性二、函数的特性3.函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称.若对于任一x∈D，恒有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；若对于任一x∈D，恒有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称.例如,f(x)=x2是(－∞,+∞)上的偶函数,因为f(－x)=(－x)2=x2=f(x);f(x)=x3是(－∞,+∞)上的奇函数,因为f(－x)=(－x)3=－x3=－f(x).第一节函数及其特性二、函数的特性4.函数的周期性设函数f(x)的定义域为D，若存在常数T>0，使得对于任一x∈D，有(x±T)∈D,且f(x±T)=f(x),则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期.通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期.例如，sinx，cosx都是以2π为周期的周期函数；函数tanx是以π为周期的周期函数.第一节函数及其特性二、函数的特性4.函数的周期性周期函数的图形特点：若把一个周期为T的周期函数在一个周期内的图形向左或向右平移周期的正整数倍距离，则它将与周期函数的其他部分图形重合（见图1-5）.第一节函数及其特性二、函数的特性4.函数的周期性周期函数的应用非常广泛，因为在科学与工程技术中研究的许多现象都呈现出明显的周期性特征，如家用的电压和电流具有周期性，用于加热食物的微波炉中的电磁场是周期性变化的，季节和气候是周期性变化的，月相的变化和行星的运动具有周期性，等等.第一节函数及其特性二、函数的特性4.函数的周期性周期函数的应用非常广泛，因为在科学与工程技术中研究的许多现象都呈现出明显的周期性特征，如家用的电压和电流具有周期性，用于加热食物的微波炉中的电磁场是周期性变化的，季节和气候是周期性变化的，月相的变化和行星的运动具有周期性，等等.第二节初等函数与分段函数第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数是六类基本初等函数，它们的定义域、值域、图像和性质如表1-1所示.第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数第二节初等函数与分段函数一、基本初等函数与初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.初等函数的基本特征是在函数有定义的区间内，初等函数的图形是不间断的.第二节初等函数与分段函数二、分段函数有时一个函数要用几个式子表示，如这种在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.但它仍是一个函数，而不是几个函数，这是因为它符合一个函数的定义，只不过在定义域的不同部分用不同的式子来表示.在计算分段函数的函数值时，应该对应于定义域的不同部分的不同表达式进行计算.第二节初等函数与分段函数二、分段函数例：设函数求f（1），f（4）及函数的定义域.解：

函数的定义域为［0，5］.第三节反函数与复合函数第三节反函数与复合函数一、反函数函数关系的实质就是从定量分析的角度来描述运动过程中变量之间的相互依赖关系.但在研究过程中，哪个量作为自变量，哪个量作为因变量（函数）是由具体问题决定的.定义1

设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Rf.对于值域Rf中的任一数值y，都有唯一确定的x∈D与之对应,且满足关系式f(x)=y,则确定了一个以y为自变量，x为因变量的函数，称为函数y=f(x)的反函数，记为x=f－1(y).反函数的定义域为Rf，值域为D.相对于反函数，函数y=f(x)称为直接函数.第三节反函数与复合函数一、反函数由于习惯上用x表示自变量，用y表示因变量，因此将反函数中的x与y互换位置，即记为y=f－1(x)，x∈Rf.在同一直角坐标系中,函数y=f(x)与其反函数y=f－1(x)的图形关于直线y=x对称.什么样的函数才有反函数呢？下面给出反函数存在定理.第三节反函数与复合函数一、反函数定理设函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或减少),则函数y=f(x)存在反函数,其反函数y=f－1(x)在对应区间

上也单调增加(或减少).注意：单调性并不是一个函数存在反函数的必要条件，读者可自己举出非单调函数存在反函数的实例.例1：求函数

的反函数.解：记u=ex，则

，由此得u2－2yu－1=0，解得因u>0，故即所以

，因此函数

的反函数为第三节反函数与复合函数一、反函数第三节反函数与复合函数二、复合函数定义2

设函数y=f(u)的定义域为Df，而函数u=φ(x)的值域为Rφ，若Df∩Rφ≠∅，则称函数y=f［φ(x)］为x的复合函数,其中x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量.注意：（1）不是任何两个函数都可以构成复合函数.例如，函数y=arcsinu和函数u=2+x2就不能构成复合函数.因为函数y=arcsinu的定义域为［－1,1］，而u=2+x2≥2，所以对任何的x值，y都得不到确定的对应值.（2）复合函数可以有多个中间变量.例如，y=eu,,v=x+1构成复合函数,这里u,v都是中间变量..例2：解：第三节反函数与复合函数二、复合函数利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数，这对于今后掌握微积分的运算是很重要的.例3：指出下列函数是由哪些较简单的函数复合而成的.解：第三节反函数与复合函数二、复合函数Thankyouforlistening感谢您的聆听授课教师：授课时间：GAODENGSHUXUE授课教师：授课时间：高等数学第二章极限与连续数列的极限第一节函数的极限第二节极限运算法则与两个重要极限第三节无穷小与无穷大第四节函数的连续与间断第五节第一节数列的极限第一节数列的极限函数给出了变量之间的对应关系，但研究变量的变化仅靠对应关系是不够的，还需要考查变量的变化趋势，这便是极限的概念．极限的概念是由求实际问题的精确解答而产生的．我国古代数学家刘徽于公元263年左右创立了“割圆术”,它就是借助于圆的一串内接正多边形的面积去逼近圆的面积,这就是极限思想最早在几何上的应用．同时，这也让我们认识到极限方法是在解决实际问题中逐渐形成的．为了研究一般函数的极限,下面先讨论一种特殊函数的极限——数列的极限．1.数列的概念例如，

记作

，其一般项为.第一节数列的极限一、数列定义1设yn=f（n）是定义在正整数集上的一个函数,当自变量n依次取1,2,3，…时,其相应的函数值所排成的一列数y1，y2，y3，…，yn，…称为一个无穷数列,简称数列,记作{yn}或{f（n）}.数列中的每一个数都称为数列的项,数列{yn}的第n项yn称为数列的一般项或通项.又如，

记作

，其一般项为2.有界数列对于数列的有界概念，还有如下的等价定义：第一节数列的极限一、数列定义2对数列{yn}，如果存在两个实数m，M，使得m≤yn≤M（n=1，2，…）,如果存在M>0，使得yn≤M（n=1，2，…)，那么称{yn}为有界数列，M称为数列{yn}的界．那么称{yn}为有界数列，其中m，M分别称为数列{yn}的下界与上界．否则，称{yn}为无界数列．3.单调数列例如，数列

是单调减少数列，数列

是单调增加数列，数列

不是单调数列．第一节数列的极限一、数列定义3设数列{yn}，如果yn≤yn＋1（n=1，2，…），那么称数列{yn}为单调增加数列．反之，如果yn≥yn＋1（n=1，2，…），那么称数列{yn}为单调减少数列．单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列．4.母子列第一节数列的极限一、数列从数列{yn}中任意选出部分项（无穷项），保持原来的次序，从左往右排列为思考：

五个数能构成一个数列吗？n个数呢？为什么？称此数列为{yn}的子数列（简称子列），记为

其中k(k=1，2，…)表示

在子列中的第k项，nk表示在原来数列{yn}中的第nk项．考察下面一组数列：第一节数列的极限二、数列极限的定义观察上面六个数列的变化趋势或性态不难发现:当自变量n无限增大时,有的数列的通项yn无限接近于(或趋于)某个常数A．例如，数列

当自变量n无限增大时,趋于0；数列

和

当自变量n无限增大时,和

都无限接近于1．将数列的上述变化趋势用数学的语言来表达，就得到数列极限的定义．第一节数列的极限二、数列极限的定义定义4对于数列{yn},如果当自变量n无限增大时,yn趋于某个确定的常数A,那么A叫作数列{yn}的极限,记作此时,也称数列{yn}收敛于A.如果数列{yn}的极限不存在,就说数列{yn}是发散的.由上面的定义可知,数列

的极限为0,即;数列

的极限为1,即;数列

的极限为1,即

．因为数列

和

当自变量n无限增大时,和

都趋于正无穷大；数列当自变量n无限增大时,振荡且不趋于任何确定的数值，所以数列

的极限都不存在.但数列

和

的极限不存在的原因是当自变量n无限增大时,和

都趋于正无穷大.为了表示其性态，可以记它们的极限为正无穷大，即

，第一节数列的极限二、数列极限的定义例1:观察下列数列的极限.第一节数列的极限二、数列极限的定义解：通过观察可知,以上数列有如下变化趋势:一般地,任何一个常数数列(数列的每一项都是由同一个常数构成的)的极限都是这个常数本身,即

（C为常数).第一节数列的极限二、数列极限的定义思考：“如

，那么f(x)=3”这个命题对吗？反之呢？为什么？1.数列极限的性质第一节数列的极限三、数列极限的性质和运算下面介绍数列极限的几个重要性质.性质1(极限的唯一性)如果数列{yn}有极限(或收敛),那么它的极限是唯一的.性质2（收敛数列的有界性）如果数列{yn}有极限，那么数列{yn}一定有界．性质3（收敛数列的保号性）如果给定数列{yn}，且

，a>0（或a<0），那么从某一项起，都有yn>0（或yn<0）．1.数列极限的性质第一节数列的极限三、数列极限的性质和运算下面介绍数列极限的几个重要性质.性质4(子列的收敛性)数列{yn}收敛于a的充分必要条件是数列{yn}的任一子数列

收敛于a．性质5(夹逼准则)如果数列{xn}，{yn}，{zn}满足下列条件：(1)xn≤yn≤zn（n=1，2，3，…）；(2)则数列{yn}的极限存在,且注意：在计算数列极限时，夹逼准则给某些极限的求解带来很大的方便．例2：求解：因为由夹逼准则知第一节数列的极限三、数列极限的性质和运算1.数列极限的性质从而由夹逼准则知;当0<a<1时,由于>1,所以故例3：求解：分情况讨论：当a=1时,当a>1时,令,则xn>0.由二项式公式可知第一节数列的极限三、数列极限的性质和运算注意：可以利用类似的方法证明1.数列极限的性质第一节数列的极限三、数列极限的性质和运算下面介绍数列极限的几个重要性质.性质6单调有界数列必有极限.2.数列极限的四则运算法则第一节数列的极限三、数列极限的性质和运算设数列{xn}，{yn}的极限都存在,且则2.数列极限的四则运算法则第一节数列的极限三、数列极限的性质和运算以上数列极限的四则运算法则可以推广到有限多个收敛数列的情形.由积的运算可以得到下面两个结论:例4：求解：根据数列极限的四则运算法则,有第一节数列的极限三、数列极限的性质和运算2.数列极限的四则运算法则例5：求解：由于第一节数列的极限三、数列极限的性质和运算2.数列极限的四则运算法则所以第二节函数的极限数列是定义在正整数集上的函数,它的自变量n具有“离散变量”(只能取正整数)和趋于正无穷大一种变化状态的两个特点.而对于定义在区间上的函数,它的自变量x是“连续变量”(x能取得定义区间内的任何值),并且x有多种变化状态.因此,在学习函数极限时,只要注意到这些不同点,就很容易理解函数极限的概念和性质．第二节函数的极限把数列极限概念中的函数为f（n）而自变量的变化过程为n→∞等特殊性撇开,可以引入函数极限的概念．在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数值,那么这个确定的数值就叫作在这一变化过程中函数的极限．由于自变量的变化不同,函数的极限因此表现为不同的形式．一、函数极限的概念下面介绍自变量x变化过程的两种不同情形时函数f（x）的极限．第二节函数的极限1.自变量趋于有限值时函数的极限现在考虑自变量x无限接近于有限值x0或趋于有限值x0时，对应的函数值f（x）的变化情形．有如下定义.一、函数极限的概念第二节函数的极限定义1设函数f（x）在点x0的去心邻域内有定义，如果在x→x0的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于确定的数值A，那么称A是函数f（x）当x→x0时的极限，记作例如,，如图2-1所示，函数

在点x=1处没有定义，但是它的极限却存在且为2．1.自变量趋于有限值时函数的极限从定义1中可以看出,函数f（x）在点x0处是否存在极限与f（x）在点x0处是否有定义无关．一、函数极限的概念第二节函数的极限例1：求下面函数的极限.解：（1）因为C为常数，当x无限接近于x0时，C

不变，如图2-2所示，因此1.自变量趋于有限值时函数的极限一、函数极限的概念第二节函数的极限例1：求下面函数的极限.解：（2）因为当x→x0时，x→x0，如图2-3所示，因此1.自变量趋于有限值时函数的极限一、函数极限的概念第二节函数的极限例1：求下面函数的极限.解：（3）因为当x无限接近于1时，x＋2无限接近于3，如图24所示，因此1.自变量趋于有限值时函数的极限一、函数极限的概念第二节函数的极限1.自变量趋于有限值时函数的极限当考虑函数f（x）的极限时，如果自变量x沿着小于（或大于）x0的方向趋于x0，那么称x从左（或右）侧趋于x0，记为x→x0-（或x→x0＋）．一、函数极限的概念第二节函数的极限如果当x→x0-（或x→x0＋）时，f（x）无限接近于确定的数值A，那么称A是函数f（x）在点x0处的左（或右）极限，记作左极限和右极限统称为单侧极限．1.自变量趋于有限值时函数的极限根据x→x0时函数f（x）的极限的定义，以及左、右极限的定义，容易得到下面的结论：

成立的充分必要条件是一、函数极限的概念第二节函数的极限因为当

和

中至少有一个不存在，或

和

都存在，但不相等时，

的极限是不存在的，所以上述结论可以用来判断函数的极限是否存在．例2：求函数在点x=1处的极限．解：因为1.自变量趋于有限值时函数的极限一、函数极限的概念第二节函数的极限从而所以例3：设函数试判断

是否存在．解：因为不存在，所以不存在．1.自变量趋于有限值时函数的极限一、函数极限的概念第二节函数的极限2.自变量趋于无穷大时函数的极限现在考虑自变量x的绝对值x无限增大即趋于无穷大时，对应的函数值f（x）的变化情形，有如下定义.一、函数极限的概念第二节函数的极限2.自变量趋于无穷大时函数的极限一、函数极限的概念第二节函数的极限定义2

设函数f（x）当x大于某一正数时有定义，如果在x→∞的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于确定的数值A，那么A叫作函数f（x）当x→∞时的极限，记作如果把x取正值且无限增大，称为x趋于正无穷大，记作x→＋∞；把x取负值且x无限增大，称为x趋于负无穷大，记作x→-∞，那么，函数f（x）在这两种极限过程中的极限分别记2.自变量趋于无穷大时函数的极限根据上述定义，显然有下面的结论成立：一、函数极限的概念第二节函数的极限的充分必要条件是因为当

和

中至少有一个不存在，或

和

都存在，但不相等时，

的极限是不存在的，所以上述结论也可以用来判断函数的极限是否存在．例4：设函数当x→∞时的极限．解：因函数的图像(见图2-5)容易看出，当x往左或右无限增大时，f（x）都无限接近于0.所以2.自变量趋于无穷大时函数的极限一、函数极限的概念第二节函数的极限例5：考察极限

是否存在．解：从图形（见图2-6）中可以看出2.自变量趋于无穷大时函数的极限一、函数极限的概念第二节函数的极限因为所以极限不存在.思考：求函数在一点的极限时，什么情况要分左、右极限考虑，什么情况不用分左、右极限考虑.为什么？由数列极限的性质类似地可以得到函数极限的几个性质.性质1(函数极限的唯一性)

如果

存在,那么它的极限是唯一的.二、函数极限的性质第二节函数的极限性质2（局部有界性）如果

存在，则函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有界．性质3（局部保号性）如果给定函数f（x），

且A>0（或A<0），那么在点x0的某一去心邻域内，有f（x）>0（或f（x）<0）．由数列极限的性质类似地可以得到函数极限的几个性质.性质4（夹逼准则)如果函数g（x），f（x），h（x）在点x0的某个去心邻域内满足下列条件:二、函数极限的性质第二节函数的极限(1)g（x）≤f（x）≤h（x）;则函数f（x）的极限存在,且

以上极限性质是以x→x0为例的，对其他极限过程有同样的结论成立.这里不再叙述．思考：有界函数一定有极限吗?单调函数一定有极限吗?单调有界函数呢?第三节极限运算法则与两个重要极限第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则.在下面的讨论中，没有表明自变量变化过程的记号“lim”是指对x→x0和x→∞均成立.但在论证时,只证明了x→x0时的情形.定理1（极限的四则运算法则）设

，则在同一直角坐标系中,函数y=f(x)与其反函数y=f－1(x)的图形关于直线y=x对称.注意：法则（1）和法则（2）均可推广到有限个函数的情形.第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则若都存在，则有第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则推论1

若

存在，而C为常数，则即常数因子可以移到极限符号外面.注意：极限的四则运算法则要求参与运算的各个函数极限均存在，且法则（3）还必须满足分母的极限不为零；否则，不能直接使用法则（3）.第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则推论2

若存在，而n是正整数，则例1：求解：由于分母的极限不为零，故第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则例2：求解：由于分母的极限为零,故不能直接使用法则（3）.但由第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则可知例3：求解：当x→3时,分母的极限为零,故不能分子、分母分别取极限.考虑到分子与分母有公因子x－3,而且当x→3时,x≠3,即x－3≠0,故可约去这个不为零的公因子.所以第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则例4：求解：当x→2时，分子和分母的极限均为零，故不能直接使用极限的四则运算法则.本题可先对分母有理化，再求极限.第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则例5：求解：因为

和

均不存在（无穷大），故不能直接使用极限的四则运算法则.本题可先通分再求极限.第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则例6：求解：当x→∞时，分子和分母的极限均不存在（无穷大），故不能直接使用极限的四则运算法则.本题可先用x3除分子和分母，然后求极限.第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则定理2（复合函数的极限运算法则）设函数y=f［g(x)］是由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的，f［g(x)］在点x0的某去心邻域内有定义，若且存在δ0>0，当

时，有g(x)≠u0，则第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则证明略.注意：（1）对u0或x0为无穷大的情形，也可得到类似的定理.（2）若函数f(u)和g(x)满足定理2的条件，则作代换u=g(x)，可把求

化为求

，其中第三节极限运算法则与两个重要极限一、极限运算法则数学中常常会对一些重要且有典型意义的问题进行研究并加以总结，以期通过对该问题的解决带动一类相关问题的解决.下面介绍的重要极限就体现了这样的一种思路，利用它们并通过函数的恒等变形与极限的运算法则就可以使得两类常用极限的计算问题得到解决.第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限1.证明在图2-7所示的单位圆中,设∠AOB=x,先假设0<x<,点A处的切线与OB的延长线相交于点D，又BC⊥OA，故即第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限易见，△AOB的面积<扇形AOB的面积<△AOD的面积，所以1.不等式两边同时除以sinx，整理得该极限的一般形式为其中□代表自变量的某个函数.第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限因为,1都是偶函数,所以上面的不等式在<x<0时也成立.再由

及定理2，即得例7：求解：第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限例8：求解：例9：求解：第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限1.证明先考虑x取正整数n而趋于+∞的情形.第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限设

，按牛顿二项式定理，有1.同样的第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限1.比较xn与xn+1的展开式的各项可知，除前两项相等外，从第三项起，xn+1的各项都大于xn的对应项，而且xn+1还多了最后一个正项，因而xn+1>xn,即{xn}为单调增加数列.因为第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限所以{xn}有上界，

存在，常用字母e表示该极限值，即1.下面考虑x取任意正实数而趋于+∞的情形.第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限所以，有对于任何正实数x，总可找到正整数n，使得n≤x<n+1;当x→+∞时，有n→∞，因为1.因为第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限所以，得1.对于x→－∞的情形，令x=－(t+1)，当x→－∞时，t→+∞，则第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限综上所述，可得第二个重要极限为该极限的一般形式为其中□代表自变量的某个函数.其中□代表自变量的某个函数.1.注意：利用复合函数的极限运算法则，若令y=1x，则第二个重要极限变为第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限其更一般的形式为例10：求解：第三节极限运算法则与两个重要极限二、两个重要极限例11：求解：第四节无穷小与无穷大1.无穷小的定义对无穷小的认识问题可以远溯到古希腊.那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方.直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才对无限小（这里所说的无穷小）的概念给出了明确的回答.而有关无穷小的理论就是在柯西理论的基础上发展起来的.第四节无穷小与无穷大一、无穷小1.无穷小的定义定义1如果函数f(x)当x→x0(或x→∞)时极限为零,那么称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小.特别地，以零为极限的数列{xn}称为n→∞时的无穷小.第四节无穷小与无穷大一、无穷小例如，

，函数sinx是当x→0时的无穷小；

，函数

是当x→∞时的无穷小；

，数列

是当n→∞时的无穷小.1.无穷小的定义注意：（1）根据无穷小的定义，无穷小本质上是这样一个变量（函数），在某一过程（如x→x0或x→∞）中，该变量的绝对值小于任意给定的正数ε.无穷小不能与很小的数（如千万分之一）混淆.但零是可以作为无穷小的唯一的常数.（2）无穷小是相对于x的某个变化过程而言的.例如，当x→∞时，

是无穷小；当x→2时，1x不是无穷小.第四节无穷小与无穷大一、无穷小2.无穷小与函数极限的关系定理1

的充分必要条件是其中α是当x→x0时的无穷小.第四节无穷小与无穷大一、无穷小证明必要性.设

，则对于

使得当

时，恒有令α=f(x)－A，则α是当x→x0时的无穷小，且2.无穷小与函数极限的关系充分性.设

，其中A为常数，α是当x→x0时的无穷小，于是第四节无穷小与无穷大一、无穷小因为α是当x→x0时的无穷小，故对于

使得当

时，恒有即即2.无穷小与函数极限的关系注意：定理1对x→∞等其他情形也成立（读者可自行证明）.定理1的结论在今后的学习中会经常用到，尤其是进行理论推导或证明时.它将函数的极限运算问题转化为常数与无穷小的代数运算问题.第四节无穷小与无穷大一、无穷小3.无穷小的运算性质在下面讨论无穷小的性质中，仅证明x→x0的情形，至于x→∞等其他情形，证明完全类似.第四节无穷小与无穷大一、无穷小定理2

有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证明这里只证两个无穷小的和的情形，有限个无穷小的和的情形可以类似证明.设α及β是当x→x0时的两个无穷小，则对于

一方面，

使得当

时，恒有3.无穷小的运算性质另一方面，

使得当

时，恒有第四节无穷小与无穷大一、无穷小所以

，即α+β是当x→x0时的无穷小.3.无穷小的运算性质注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如，当n→∞时，数列

是无穷小，但第四节无穷小与无穷大一、无穷小即当n→∞时，数列

不是无穷小.3.无穷小的运算性质定理3

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.第四节无穷小与无穷大一、无穷小再设α是当x→x0时的无穷小，则对于

使得当

时，恒有证明设函数u在

内有界，则

使得当

时，恒有3.无穷小的运算性质取δ=min{δ1,δ2}，则当

时，恒有第四节无穷小与无穷大一、无穷小所以当x→x0时，u·α为无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

有限个无穷小的乘积是无穷小.3.无穷小的运算性质取δ=min{δ1,δ2}，则当

时，恒有第四节无穷小与无穷大一、无穷小所以当x→x0时，u·α为无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

有限个无穷小的乘积是无穷小.若当x→x0（或x→∞）时,函数f(x)的绝对值无限增大（大于预先给定的任意正数），则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大.下面给出精确的定义.第四节无穷小与无穷大二、无穷大定义2

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）.若对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X）使得满足不等式

（或|x|>X）的一切x所对应的函数值f(x)总满足不等式第四节无穷小与无穷大二、无穷大则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大，记为注意：从通常意义上讲，当x→x0（或x→∞）时为无穷大的函数f(x)，其极限是不存在的.但为了方便叙述函数的这一性态，也说“函数的极限是无穷大”.若把无穷大定义中的f(x)>M换为f(x)>M（或f(x)<－M），则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的正无穷大（或负无穷大），记为第四节无穷小与无穷大二、无穷大注意：无穷大一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大.定理4在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.第四节无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大的关系即证明设

，则对于

使得当

时，恒有所以当x→x0时，

为无穷小.若设

，且f(x)≠0，则对于

取

使得当时，恒有第四节无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大的关系由于当

时f(x)≠0，从而所以当x→x0时，

为无穷大.类似地可证明x→∞时的情形.第四节无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大的关系根据定理4，可将无穷大的讨论归结为关于无穷小的讨论.根据无穷小的运算性质，可知两个无穷小的和、差、积仍是无穷小.但两个无穷小的商，却会出现不同的情况.例如，当x→0时，x，x2，sinx都是无穷小，而第四节无穷小与无穷大四、无穷小阶的定义从中可以看出各无穷小趋于零的快慢程度：x2比x快些，sinx与x大致相同，即无穷小之比的极限不同，反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.下面给出无穷小阶的定义.（1）若

，则称β是比α高阶的无穷小，记为β=o(α).定义3

设α，β是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且α≠0.第四节无穷小与无穷大四、无穷小阶的定义（2）若

，则称β是比α低阶的无穷小.（3）若

（c≠0），则称β与α是同阶无穷小，特别地，若

，则称β与α是等价无穷小，记为α~β.（4）若(c≠0,k>0)，则称β是α的k阶无穷小.第四节无穷小与无穷大四、无穷小阶的定义例如，就前述三个无穷小x，x2，sinx（x→0）而言，x2是比x高阶的无穷小，x是比x2低阶的无穷小，而sinx与x是等价无穷小.根据等价无穷小的定义，可以证明当x→0时，有下列常用等价无穷小关系：第四节无穷小与无穷大五、等价无穷小注意：无穷大一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大.定理5

设α，α′，β，β′是自变量在同一变化过程中的无穷小，且α~α′，β~β′，

存在，则第四节无穷小与无穷大证明定理5表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小代换.因此，若无穷小的代换运用得当，则可简化极限的计算.五、等价无穷小定理6α与β是等价无穷小的充分必要条件是第四节无穷小与无穷大五、等价无穷小第四节无穷小与无穷大充分性.设β=α+o(α)，则因此，α~β.五、等价无穷小证明必要性.设α~β，则因此，β－α=o(α)，即β=α+o(α).第四节无穷小与无穷大五、等价无穷小例如，当x→0时，等价无穷小关系

可表述为例1：求解：由于当x→0时,sin7x~7x,tan5x~5x,所以第四节无穷小与无穷大五、等价无穷小例2：求解：当x→0时,sin2x~2x,x3+3x~3x,所以第四节无穷小与无穷大五、等价无穷小第四节无穷小与无穷大五、等价无穷小应用等价无穷代换的原则:乘除可用,加减慎用.也就是说,求两个无穷小相乘或相除的极限时,可以分别用它们的等价无穷小代换来求极限;但是,求两个无穷小相加或相减的极限时,若分别用它们的等价无穷小代换来求极限,就有可能得到错误的结果,因此应慎用.请看下面的例子.例3：求解：错误解法当x→0时,tanx~x,sin

x~x,所以第四节无穷小与无穷大五、等价无穷小

正确解法因为,，而当x→0时,,所以例4：求解：设x=1+t,则第四节无穷小与无穷大五、等价无穷小由于当t→0时,所以第五节函数的连续与间断第五节函数的连续与间断在自然现象和日常生活中，变量的变化有渐变和突变两种形式，如气温的变化、人体身高的增长等都随着时间而连续变化，而火车和出租车的票价则随着运输距离的不同而呈现跳跃式的变化，这些现象反映在数学上就是函数的连续性与间断性.函数的连续性是函数的重要形态之一，利用函数的连续性也可方便地计算函数的极限.第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念下面先引入增量的概念,然后来描述连续性,并引出函数连续性的定义.第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在这个邻域内从x0(初值)变化到x1(终值)时,终值与初值之差x1-x0叫作自变量的增量,记作相应地,函数的终值f（x1）与初值f（x0）之差1.函数的增量叫作函数的增量,记作第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念1.函数的增量注意：增量记号Δx，Δy是不可分割的整体,增量Δx可正、可负；增量Δy可正、可负或为零.这个关系式的几何解释是函数的增量表示当自变量从x0变化到x0＋Δx时,曲线上对应点的纵坐标的增量，如图2-8所示．第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念2.函数在一点的连续性下面通过函数图像来观察函数在给定点x0处的变化情况.从图2-8中可以看出,函数y=f（x）的图像是一条连续的曲线,而在图2-9中,函数y=g（x）的图像在点x=x0处断开了.因而可以说函数y=f（x）在点x=x0处是连续的,而函数y=g（x）在点x=x0处有间断.第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念2.函数在一点的连续性从图2-9中可以看到函数y=g（x）从点x=x0到x1=x0＋Δx,当Δx趋于零时,Δy并不趋于零；而在图2-8中,当Δx趋于零时,Δy相应地也趋于零.通过以上分析可知,函数y=f（x）在点x=x0处连续的特征是当Δx→0时,Δy→0,即.函数y=g（x）在点x=x0处断开的特征是当Δx→0时，Δy并不趋于零,即.由此得到函数在点x0处连续的定义.第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念定义设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量x在点x0处的增量Δx趋于零时,函数y=f（x）相应的增量2.函数在一点的连续性也趋于零,即那么称函数f（x）在点x0处连续,其中x0叫作函数f（x）的连续点．第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念在上面定义中,如果记x=x0＋Δx,那么Δy=f（x）-f（x0）.其中Δx→0时,x→x0;Δy→0时,f（x）→f（x0）.于是函数f（x）在点x0处连续也可以定义如下：2.函数在一点的连续性设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果函数f（x）当x→x0时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值f（x0）,即那么就称函数f（x）在点x0处连续.第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念由此定义可知，函数在点x0处连续必须满足下面三个条件：2.函数在一点的连续性（1）在点x0的某个邻域内有定义.（2）极限

存在.（3）极限

的值等于该点的函数值

以后常用这三个条件来讨论函数f（x）在某点处是否连续.例1：讨论函数在点x=3处是否连续.解：首先，函数f（x）在点x=3处有定义，且f（3）=1.其次，求极限第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念2.函数在一点的连续性因为所以函数f（x）在点x=3处连续.例2：讨论函数在点x=1处是否连续.解：因为f（1）=2，且第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念2.函数在一点的连续性所以即函数f（x）在点x=1处连续.第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念由函数的左、右极限的定义，相应地可以得到函数左连续及右连续的定义.2.函数在一点的连续性如果显然，f（x）在点x0处连续的充分必要条件是f（x）在点x0处既要左连续又要右连续．那么称函数f（x）在点x0左（或右）连续．第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念在区间上每一点处都连续的函数，叫作在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续；如果区间包括端点，那么函数在右端点处连续是指左连续，在左端点处连续是指右连续．3.函数在区间上的连续性连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．例3：讨论函数y=sinx在区间（-∞，＋∞）内是否连续．解：y=sinx的图形如图2-10所示.第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念3.函数在区间上的连续性容易看出，sinx的图形在区间（-∞，＋∞）上是一条连续不间断的曲线，因而说函数y=sinx在区间（-∞，＋∞）内是连续的．第五节函数的连续与间断一、函数的连续性概念思考：如何判断函数在某一点是否连续？函数在某一点的极限存在与函数在该点处连续之间是什么关系？3.函数在区间上的连续性第五节函数的连续与间断二、函数的间断点如果函数y=f（x）在点x0处不连续，则称x0为函数f（x）的不连续点或间断点．例4：讨论函数

的间断点．解：因为函数

在点x=2处没有定义，所以点x=2是函数

的间断点，如图2-11所示．第五节函数的连续与间断二、函数的间断点如果令x=2时,f（x）=4,则所给函数在点x=2处连续，那么称x=2为该函数的可去间断点.例5：讨论函数

的间断点．解：函数在点x=1处有定义（见图2-12），且第五节函数的连续与间断二、函数的间断点但所以点x=1是函数f（x）的间断点.例6：讨论函数

的间断点．解：因为第五节函数的连续与间断二、函数的间断点从而即

不存在，所以x=0是函数f（x）的间断点，如图2-13所示．第五节函数的连续与间断二、函数的间断点因为函数y=f（x）的图形在点x=0处产生跳跃现象,所以称x=0是函数f（x）的跳跃间断点．如果点x0为间断点，且

和

都存在，那么点x0称为f（x）的第一类间断点，其余的间断点称为第二类间断点．对于第一类间断点x0，如果

和

都存在,且，通过补充或改变函数在点x0处的函数值,使得函数在点x0处连续,那么称x0为可去间断点;如果

和

都存在但是它们的值不相等,那么称x0是跳跃间断点.对于第二类间断点x0,和

至少有一个不存在.例7：讨论函数

在点x=3处的连续性.解：函数f（x）在点x=3处没有定义，x=3是间断点.因为

，所以x=3是函数f（x）的第二类间断点，通常又称为无穷间断点.第五节函数的连续与间断二、函数的间断点例8：讨论函数的间断点并指出其间断类型．解：因为

不存在,所以x=0是函数f（x）的间断点且为第二类间断点.第五节函数的连续与间断二、函数的间断点例9：证明

是函数y=tanx的第二类间断点.证明：函数y=tanx在点

处的左极限和右极限都不存在,即第五节函数的连续与间断二、函数的间断点所以

是函数y=tanx的第二类间断点．思考：函数的间断点有哪几种类型?第五节函数的连续与间断三、连续函数四则运算的连续性定理1

若函数f(x),g(x)在点x0处连续，则f(x)±g(x),f(x)·g(x),(当g(x0)≠0时)也在点x0处连续.证明只证f(x)±g(x)在点x0处连续，其他情形可类似地证明.因为f(x)与g(x)在点x0处连续，所以故有所以f(x)±g(x)在点x0处连续.第五节函数的连续与间断三、连续函数四则运算的连续性例如，sinx，cosx在(－∞,+∞)上连续，故在其定义域内连续.第五节函数的连续与间断四、反函数与复合函数的连续性定理2

若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数x=φ(y)也在对应的区间

上单调增加（或单调减少）且连续.证明略.例如，由于y=sinx在闭区间

上单调增加且连续，所以它的反函数y=arcsinx在对应区间［－1,1］上也是单调增加且连续的.同理可得其他反三角函数的连续性.总之,反三角函数在其定义域内都是连续的.第五节函数的连续与间断四、反函数与复合函数的连续性定理3若

，函数f(u)在点a处连续，则有证明因f(u)在点u=a处连续，故对于

使得当

时，恒有又因

，对上述η，

使得当

时，恒有（2-1）第五节函数的连续与间断四、反函数与复合函数的连续性综上所述，对于

使得当

时，恒有所以式（2-1）可写成（2-2）（2-3）第五节函数的连续与间断四、反函数与复合函数的连续性式（2-2）表明，在定理3的条件下，求复合函数f［φ(x)］的极限时，极限符号与函数符号f可以交换次序.式（2-3）表明，在定理3的条件下，若作代换u=φ(x)，则求

就转化为求

，这里

注意：把定理3中的x→x0换成x→∞，可得类似的定理.例10：求解：第五节函数的连续与间断四、反函数与复合函数的连续性例11：求解：令ax－1=t,则x=loga(1+t).当x→0时,t→0,于是第五节函数的连续与间断四、反函数与复合函数的连续性第五节函数的连续与间断四、反函数与复合函数的连续性若在定理3的条件下，假定φ(x)在点x0处连续，即则可得到下列结论.第五节函数的连续与间断四、反函数与复合函数的连续性定理4

设函数u=φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)=u0，而函数y=f(u)在点u=u0处连续，则复合函数

在点x0处也连续.例如，函数

在(－∞,0)∪(0,+∞)内连续,函数y=sinu在(－∞,+∞)内连续，所以

在(－∞,0)∪(0,+∞)内连续.第五节函数的连续与间断五、初等函数的连续性定理5基本初等函数在其定义域内是连续的.定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.因初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的，故得到下列重要结论.第五节函数的连续与间断四、反函数与复合函数的连续性注意：定义区间是指包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续.例如,函数

的定义域为{0}∪［1,+∞),函数在点x=0的邻域内没有定义，因而函数在点x=0处不连续，但函数在定义区间［1,+∞)上连续.第五节函数的连续与间断四、反函数与复合函数的连续性定理6非常重要,因为高等数学的研究对象主要是连续或分段连续的函数，而一般应用中所遇到的函数基本上都是初等函数，其连续性的条件总是满足的.此外，根据定理6求初等函数在其定义区间内某点的极限时，只需求初等函数在该点的函数值，即例12：求解：因为x=1是函数y=sin(lnx)的连续点，所以第五节函数的连续与间断五、初等函数的连续性第五节函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性质对于在区间I上有定义的函数f(x),如果存在x0∈I，使得对于任一x∈I都有则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.例如，函数y=cosx在闭区间

上有最大值0和最小值－1.函数y=sgnx在(－∞,+∞)内有最大值1和最小值－1.第五节函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性质定理7（最值定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理7表明，若函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则至少存在一点,使

是f(x)在闭区间［a,b］上的最小值；又至少存在一点

，使

是f(x)在闭区间［a,b］上的最大值（见图2-14）.第五节函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性质注意：当定理7中的“在闭区间上连续”的条件不满足时，定理的结论可能不成立.例如，函数在闭区间［0,1］上有间断点x=0,x=1，所以该函数在闭区间［0,1］上既无最大值又无最小值（见图2-15).第五节函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性质由定理7易得到下面的结论.定理8（有界性定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界.例13证明：若函数f(x)在(－∞,+∞)上连续，且

存在，则f(x)在(－∞,+∞)上必有界.证明:设.若取ε=1，则

当|x|>X时，总有第五节函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性质即f(x)在(－∞,+∞)上连续，所以在闭区间［－X,X］上连续，因此当x≤X时，f(x)在［－X,X］上一定有界，即存在M0>0，使f(x)≤M0.若取

，则对于任意的x∈(－∞,+∞)，均有f(x)≤M，即f(x)在(－∞,+∞)上有界.第五节函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性质如果f(x0)=0，则称x0为函数f(x)的零点.定理9（零点定理）设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且

与

异号（

），则在开区间(a,b)内至少有函数

的一个零点，即至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使

=0.第五节函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性质零点定理的几何意义：若连续曲线

在［a,b］端点处的函数值异号，则曲线与x轴至少有一个交点，如图2-16所示.例14证明：方程x5－7x+3=0在区间(0,1)上至少有一个实根.证明：令f(x)=x5－7x+3,则f(x)在区间0,1上连续,又第五节函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性质由零点定理知,在区间(0,1)内至少存在一点ξ,使即ξ5－7ξ+3=0.因此方程x5－7x+3=0在区间(0,1)上至少有一个实根.第五节函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性质定理10（介值定理）设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且在该区间的端点处有不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C.第五节函数的连续与间断六、闭区间上连续函数的性质推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.介值定理的几何意