天津天成中学高三数学理上学期摸底试题含解析

天津天成中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计的结果，则图中空白框内应填入（

）A．B．C．D．参考答案：D2.从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是（

）（A）180 （B）360

（C）480

（D）720参考答案：D3.已知双曲线，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B．(1,2) C． D．(2,+∞)参考答案：B由题意得，选B.

4.设集合，，记，则点集P所表示的轨迹长度为（

）A． B． C． D．参考答案：D由题意得圆的圆心在圆上，当变化时，该圆绕着原点转动，集合A表示的区域是如图所示的环形区域．由于原点到直线的距离为，所以直线恰好与圆环的小圆相切．所以表示的是直线截圆环的大圆所得的弦长．故点集所表示的轨迹长度为．选D．

5.设f（x）=，且f（2）=4，则f（﹣2）等于（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】函数的值．【分析】由已知得f（2）=a2=4，由a是对数的底数，得a=2，由此能求出f（﹣2）．【解答】解：∵f（x）=，且f（2）=4，∴f（2）=a2=4，解得a=±2，∵a是对数的底数，∴a≠﹣2，∴a=2，∴f（﹣2）=log2（4+4）=3．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．6.定义运算：，则函数f（x）=1?2x的图象是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】分段函数的应用．【专题】新定义．【分析】本题需要明了新定义运算a?b的意义，即取两数中的最小值运算．之后对函数f（x）=1?2x就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解．【解答】解：由已知新运算a?b的意义就是取得a，b中的最小值，因此函数f（x）=1?2x=，因此选项A中的图象符合要求．故选A【点评】本题考查分段函数的概念以及图象，新定义问题的求解问题．注重对转化思想的考查应用．7.已知函数，则的值为A. B. C. D.参考答案：B略8.定义在R上的偶函数满足时，；当且时，有，则函数是的零点个数是 A．2

B．4

C．6 D．8参考答案：9.（5分）设a=log4π，π，c=π4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b参考答案：D【考点】：对数值大小的比较．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：∵0＜a=log4π＜1，π＜0，c=π4，＞1，∴c＞a＞b，故选：D．【点评】：本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．10.已知为第二象限角，且，则的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量=(m，3)，=(，1)，若向量，的夹角为30°，则实数m=．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=?2?cos30°，求得，故答案为：．12.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为___________．参考答案：略13.已知二次函数的值域为，则的最小值为

.参考答案：3试题分析：由题意得：.14.已知双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若C的右支上存在两点A、B，使∠AOB=120°，其中O为坐标原点，则曲线C的离心率的取值范围是．参考答案：（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得＞tan60°=，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：由C的右支上存在两点A、B，使∠AOB=120°，而渐近线方程为y=±x，可得＞tan60°=，即为b＞a，即为b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，即有c2＞4a2，即c＞2a，e=＞2，故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15.

的展开式中的系数是

参考答案：答案:2416.设满足约束条件,的最小值_______参考答案：417.已知sin2α=,，则sinα＋cosα的值为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是.假设每局比赛结果互相独立.

（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率

（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.

参考答案：解答：（1），，

（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0相应的概率依次为：，所以EX=19.（本小题满分12分）已知数列的前项和。（Ⅰ）求数列｛｝的通项公式；（Ⅱ）设，求数列｛｝的前项和。参考答案：解：（Ⅰ）时，;…………2分．………4分

……6分（Ⅱ）设，当时，；……………7分时，，

………10分＝

……11分又也适合上式,

所以…12分略20.（12分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

（注：本小题结果可用分数表示）参考答案：解析：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，，该选手进入第四轮才被淘汰的概率．（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率21.已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.(1)设h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求最小值φ(a)的解析式；(2)对于(1)中的φ(a)，证明当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1.参考答案：【解】(1)由条件知h(x)＝－alnx(x＞0)．∴h′(x)＝－＝.①当a＞0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2，∴当0＜x＜4a2时，h′(x)＜0，h(x)在(0，4a2)上递减；当x＞4a2时，h′(x)＞0，h(x)在(4a2，＋∞)上递增．∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln4a2＝2a(1－ln2a)．②当a≤0时，h′(x)＝＞0，h(x)在(0，＋∞)上递增，无最小值．故h(x)的最小值为φ(a)＝2a(1－ln2a)(a＞0)．(2)由(1)知φ(a)＝2a(1－ln2a)，(a＞0)．则φ′(a)＝－2ln2a，令φ′(a)＝0，解得a＝.当0＜a＜时，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，)上递增；当a＞时，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(，＋∞)上递减．∴φ(a)在a＝处取得极大值φ()＝1，∵φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一个极值点，所以φ()＝1也是φ(a)的最大值．∴当a∈(0，＋∞)时，总有φ(a)≤1.略22.某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试．（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式．【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．（2）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件B，则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件A0B，由此能求出2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“2016年期末考试时取到i个新题库（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2）．又因为6个题库中，其中3个是新题库，3个是旧题库，所以；；，所以ξ的分布列为ξ012Pξ的数学期望为．（2）设“从6个