人教A版第8章本章复习课件（58张）

第八章立体几何初步本章复习内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识．2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法．活动方案1.几何体的表(侧)面积和体积的有关计算．柱体、锥体、台体和球体的表(侧)面积和体积的公式：活动一知识梳理2.四个基本事实．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．3.直线与直线的位置关系．4.平行的判定与性质．(1)线面平行的判定与性质：

判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b(2)面面平行的判定与性质：

判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α(3)空间中的平行关系的内在联系：5.垂直的判定与性质．(1)线面垂直的判定与性质：

图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的任意直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α

图形条件结论性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(2)面面垂直的判定与性质：(3)空间中垂直关系的内在联系：6.空间角．(1)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°<θ≤90°.(2)直线和平面所成的角：①平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角．②如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是90°；如果一条直线与平面平行，或在平面内，那么称它们所成的角是0°.(3)二面角的有关概念：①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为垂足，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.类型一空间几何体的表面积与体积活动二典型例题探究空间几何体的体积与表面积的计算方法．(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作为底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法．“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体．总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决问题．(3)展开法：将简单的几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便于将空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题．(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1－AB1D1的高．【解析】

设三棱锥A1－AB1D1的高为h，类型二空间中的平行关系例2如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【解析】

(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB.所以OG∥BE，且OG＝BE，所以四边形BEGO为平行四边形，所以OB∥GE.又因为OB⊂平面BB1D1D，GE⊄平面BB1D1D，所以GE∥平面BB1D1D.(2)由正方体的性质得B1D1∥BD.因为B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，所以B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F.易证四边形HBFD1是平行四边形，所以HD1∥BF.又因为HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，所以HD1∥平面BDF.因为B1D1∩HD1＝D1，B1D1⊂平面B1D1H，HD1⊂平面B1D1H，所以平面BDF∥平面B1D1H.(1)判断线面平行的两种常用方法：①利用线面平行的判定定理．②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．(2)判断面面平行的常用方法：①利用面面平行的判定定理．②利用线面垂直的性质定理(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．如图，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．【解析】

当F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.证明如下：连接BD交AC于点O，连接FO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点．因为F是PB的中点，所以OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，所以OF∥平面PMD.所以PF∥MA，且PF＝MA，所以四边形AFPM是平行四边形，所以AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，所以AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，所以平面AFC∥平面PMD.类型三空间中的垂直关系例3如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝AA1.求证：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；(2)BC1⊥AB1.【解析】

(1)设BC的中点为M，连接B1M.因为点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，所以B1M⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以B1M⊥AC.因为BC⊥AC，B1M∩BC＝M，BC⊂平面B1C1CB，B1M⊂平面B1C1CB，所以AC⊥平面B1C1CB.又因为AC⊂平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)连接B1C.因为AC⊥平面B1C1CB，BC1⊂平面B1C1CB，所以AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，因为BC＝AA1＝CC1，所以四边形B1C1CB是菱形，所以B1C⊥BC1.又因为B1C∩AC＝C，B1C⊂平面ACB1，AC⊂平面ACB1，所以BC1⊥平面ACB1.因为AB1⊂平面ACB1，所以BC1⊥AB1.空间垂直关系的判定方法．(1)判定线线垂直的方法：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)．②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法：①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)．②线面垂直的判定定理(若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M，则a⊥α)．③面面垂直的性质定理(若α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l，则a⊥α)．④面面平行的性质(若a⊥α，α∥β，则a⊥β)．⑤面面垂直的性质(若α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ，则l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)．②面面垂直的判定定理(若a⊥β，a⊂α，则α⊥β)．如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.【解析】

(1)取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ADB，所以DE⊥平面ABC.因为CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当点D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以点C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD；②当点D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.因为AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，DE⊂平面CDE，CE⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE.因为CD⊂平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，当△ADB以AB为轴转运时，总有AB⊥CD.类型四线面位置关系的综合应用(1)求证：PB∥平面AEC；(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．又因为OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)在平面ABCD中，过点A作AH⊥CD，垂足为H，连接EH.因为PD⊥平面ABCD，AH⊂平面ABCD，所以PD⊥AH.又因为AH⊥CD，CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AH⊥平面PCD，所以∠AEH为直线AE与平面PCD所成的角．因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.在直角三角形ADE中，AD＝2，DE＝2，空间中的线线角、线面角、二面角的大小，应先根据这些角的定义，找到相应的平面中的角，然后在三角形中解决问题．【解析】

(1)如图，取BC的中点F，连接DF，因为AD＝1，BC＝2，所以AD∥BF，AD＝BF，所以四边形ABFD为平行四边形，所以DF＝AB＝1，则DF＝CF＝BF＝1，所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD.因为PB⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PB⊥CD.因为BD⊂平面PBD，BP⊂平面PBD，BD∩BP＝B，所以CD⊥平面PBD.又BE⊂平面PBD，所以CD⊥BE.又BE⊥PD，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以BE⊥平面PCD.(2)在△PCB中，过点B作BM⊥PC垂足为M，连接EM.由(1)知，BE⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，所以BE⊥PC.因为BE⊂平面BEM，BM⊂平面BEM，BE∩BM＝B，所以PC⊥平面BEM.又EM⊂平面BEM，所以PC⊥EM，所以∠BME即为二面角B－PC－D的平面角．检测反馈2451324513【答案】

C【解析】

若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交，故A错误；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β平行或相交，故B错误；若m∥n，m⊥α，则n⊥α.因为n⊥β，所以α∥β，故C正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内，故D错误．245132.(2022·无锡期终)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列结论中成立的是(

)A.α内的所有直线与l是异面直线B.α内的所有直线与l都相交C.α内存在唯一一条直线与l相交

D.α内存在无数条直线与l相交【解析】

设直线l∩α＝P，平面α内不过点P的直线与l都是异面直线，平面α内过点P的直线与l都是相交直线，且有无数条，故D正确．【答案】

D245313.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运