【全国通用高考数学一轮导学案】第五章-§54-数列求和课件

数学浙（文）§5.4

数列求和第五章数列数学浙（文）§5.4数列求和第五章数基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高1.求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝

＝

.②等比数列的前n项和公式(Ⅰ)当q＝1时，Sn＝

；na1(Ⅱ)当q≠1时，Sn＝

＝

.1.求数列的前n项和的方法Sn＝(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(2)分组转化法(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.(5)错位相减法2.常见的裂项公式2.常见的裂项公式思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)√√思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)√(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(

)××√(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式返回(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(

)√返回(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法题号答案解析1234

EnterAB50题号答案解析1234EnterAB50解析因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.解析因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，例1

已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.题型一分组转化法求和解析思维升华例1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1例1

已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.题型一分组转化法求和解Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，所以当n为偶数时，当n为奇数时，解析思维升华例1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1例1

已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.题型一分组转化法求和解析思维升华例1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1例1

已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.题型一分组转化法求和某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.解析思维升华例1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1跟踪训练1

(1)数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}前12项和等于(

)A.76

B.78

C.80

D.82解析由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，

①得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，

②由①②得an＋2＋an＝(－1)n·(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.B跟踪训练1(1)数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝(2)已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，则数列{an}的通项公式an＝__________，其前n项和Sn＝__________________.解析由已知得数列{an}的通项公式为an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n)(2)已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋(2)已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，则数列{an}的通项公式an＝__________，其前n项和Sn＝__________________.3n－1＋2n(2)已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋例2

已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；题型二错位相减法求和思维点拨解析例2已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.题列方程组求{an}的首项、公差，然后写出通项an.例2

已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；题型二错位相减法求和思维点拨解析列方程组求{an}的首项、公差，然后写出通项an.例2已知解设等差数列{an}的公差为d.故an＝3＋(n－1)·(－1)＝4－n.例2

已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；题型二错位相减法求和思维点拨解析解设等差数列{an}的公差故an＝3＋(n－1)·(－1)(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.思维点拨解析思维升华(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数q＝1时，bn为等差数列，直接求和；q≠1时，用错位相减法求和.(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.思维点拨解析思维升华q＝1时，bn为等差数列，直接求和；q≠1时，用错位相减法求(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.解由(1)得，bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.若q≠1，将上式两边同乘以q有qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.两式相减得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1思维点拨解析思维升华(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.思维点拨解析思维升华(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数(1)错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}，即an＝bn×cn的前n项和的方法.这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练.(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围.(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.思维点拨解析思维升华(1)错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对(1)求数列{an}的通项公式；又∵S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列，∴2(S2＋a2)＝S1＋a1＋S3＋a3，变形得S2－S1＋2a2＝a1＋S3－S2＋a3，(1)求数列{an}的通项公式；又∵S1＋a1，S2＋a2，即得3a2＝a1＋2a3，即得3a2＝a1＋2a3，【全国通用高考数学一轮导学案】第五章-§54-数列求和课件∴n的最大值为4.∴n的最大值为4.例3

(2014·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；题型三裂项相消法求和例3(2014·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n例3

(2014·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；题型三裂项相消法求和由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.例3(2014·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n解析思维升华解析思维升华当n为偶数时，解析思维升华当n为偶数时，解析思维升华当n为奇数时，解析思维升华当n为奇数时，解析思维升华利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.解析思维升华利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后(1)求Sn的表达式；即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，

①(1)求Sn的表达式；即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，由题意得Sn－1·Sn≠0，由题意得Sn－1·Sn≠0，【全国通用高考数学一轮导学案】第五章-§54-数列求和课件审题路线图系列4四审结构定方案审题路线图系列4四审结构定方案审题路线图规范解答温馨提醒审题路线图规范解答温馨提醒↓Sn是n的二次函数n＝k时(Sn)max＝Sk＝8↓(根据Sn的结构特征确定k值)↓利用an、Sn的关系审题路线图规范解答温馨提醒↓Sn是n的二次函数↓利用an、Sn的关系审题路线图↓根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法审题路线图规范解答温馨提醒↓根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法审题路线↓①式两边同乘以2↓错位相减审题路线图规范解答温馨提醒↓①式两边同乘以2↓错位相减审题路线图规范解答3分

6分

审题路线图规范解答温馨提醒3分6分审题路线图规范解答温馨提醒8分

审题路线图规范解答温馨提醒8分审题路线图规范解答温馨提醒12分

14分

审题路线图规范解答温馨提醒12分14分审题路线图规范解答温馨提(1)根据数列前n项和的结构特征和最值确定k和Sn，求出an后再根据{}的结构特征确定利用错位相减法求Tn.在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案；(2)利用Sn求an时不要忽视n＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数.(3)可以通过n＝1,2时的特殊情况对结论进行验证.审题路线图规范解答温馨提醒返回(1)根据数列前n项和的结构特征和最值确定k和Sn，求出an方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种失误与防范1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.返回失误与防范1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范2345678911023456789110234567891012345678910123456789101答案A23456789101答案A2.已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(

)A.0

B.－100

C.100

D.1020034567891102由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，2.已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.答案B34567891102得a1＋a2＋a3＋…＋a100345678911023.数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为(

)A.31 B.120

C.130D.18524567891103解析a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)C3.数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn等于(

)A.6n－n2

B.n2－6n＋18235678911044.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|解析∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴n≤3时，an<0，n>3时，an>0，23567891104答案C解析∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，23567823467891105A.－10 B.－9C.10D.9解析数列的前n项和为23467891105A.－10 B.－923467891105∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0.令x＝0，得y＝－9，∴在y轴上的截距为－9.答案B23467891105∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝23457891106∴an＋2＝an，则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，623457891106∴an＋2＝an，则a1＝a3＝a5＝234568911072345689110723456891107公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，通过分组求和可得23456891107公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项234567911082345679110823456791108答案100723456791108答案100723456781109(1)求数列{bn}的通项公式；又bn＝

－2，故bn＝3n－2(n∈N*).23456781109(1)求数列{bn}的通项公式；又bn23456781109(2)求数列{cn}的前n项和Sn.23456781109(2)求数列{cn}的前n项和Sn.23456781109两式相减，得23456781109两式相减，得23456789110(1)求数列{an}的通项公式an；得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，由于{an}是正项数列，所以Sn＋1>0.23456789110(1)求数列{an}的通项公式an；得23456789110所以Sn＝n2＋n(n∈N*).n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，n＝1时，a1＝S1＝2适合上式.∴an＝2n(n∈N*).23456789110所以Sn＝n2＋n(n∈N*).23456789110证明由an＝2n(n∈N*)得23456789110证明由an＝2n(n∈N*)得234567891102345678911023456789110234567891101213141511121314151111.已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于(

)A.2008

B.2010

C.1

D.01213141511解析由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.11.已知数列2008,2009,1，－2008，－2故数列的前8项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2014＝6×335＋4，∴S2014＝S4＝2008＋2009＋1＋(－2008)＝2010.答案B1213141511故数列的前8项依次为2008,2009,1，－200812.1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于(

)121314151112.1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于()1解析当n为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)1213141511当n为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2解析当n为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n21213141511答案C1213141511答案C1213141511(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.1213141511(1)a3＝________；解析∵an＝Sn－Sn－11213141511解析∵an＝Sn－Sn－112131415111213141511根据以上{