第二章-控制系统的数学模型课件-002

第二章控制系统的数学模型7/24/2023数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达式

数学模型时域复数域频域微分方程状态方程差分方程传递函数结构图频率特性7/24/2023

2-1控制系统的时域数学模型7/24/2023

§2.1控制系统的时域数学模型确定系统的输入量和输出量；根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件相应的微分方程；消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式（输出在左，输入在右，降幂排列）。列写微分方程的步骤:1线性元件的微分方程7/24/2023U0(t)LRi(t)Ui(t)C例2-1如右图所示RLC电路组成的无源网络，试列写以为输入量，为输出量的微分方程。解：设回路电流为，由基尔霍夫定理可写出回路方程为

§2.1控制系统的时域数学模型消去中间变量得7/24/2023

例2-2

列写图2-2所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)(v)为输入量，电动机转速ωm(t)(rad/s)为输出量。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。2

§2.1控制系统的时域数学模型

电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。7/24/2023

直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。

电枢回路电压平衡方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程

§2.1控制系统的时域数学模型27/24/2023①Ea=Ceωm(t)

②

Ce－反电势系数(v/rad/s)电枢回路电压平衡方程：

§2.1控制系统的时域数学模型其中，Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即Ea=Ceωm(t)

②

Ce－反电势系数(v/rad/s)电磁转距方程：③-电动机转距系数（N·m/A）是电动机转距系数-是由电枢电流产生的电磁转距（N·m）④电动机轴上的转距平衡方程：Jm－电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量（kg·m）fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（N·m/rad/s）7/24/2023

电动机机电时间常数（s）

⑤⑥在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而⑤可简化为③、④求出ia(t)，代入①同时②亦代入①得：电动机传递系数

§2.1控制系统的时域数学模型7/24/2023例2-3

如图为弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力作用下，位移的运动方程mF(t)x(t)K

§2.1控制系统的时域数学模型解：质量m受外力F,阻尼器的阻力F1以及弹簧弹力F2的共同作用，其大小方向如图所示。因此由牛顿定理可得

将、代入可得整理得7/24/2023总结：列写元件微分方程的步骤确定系统的输入量和输出量；根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件相应的微分方程；消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式（输出在左，输入在右，降幂排列）。

§2.1控制系统的时域数学模型7/24/20232控制系统微分方程的建立画系统方块图→列写组成系统各元件的微分方程→消去中间变量→得到系统的微分方程注意事项：1信号传送的单向性；2前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应

§2.1控制系统的时域数学模型7/24/2023-K1SM负载TG●-K2功放R1R1R1R2R2uiu1u2uaut+●●●

§2.1控制系统的时域数学模型7/24/20233线性系统的特性

线性系统的重要特性是可应用叠加性原理。叠加性原理的含义：叠加性和均匀性（齐次性）。

叠加性原理表明，两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用，是分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍，其输出相应增大同样的倍数。

如果有几个外作用同时加于系统，可分别求出各个外作用单独加于系统时系统的输出，再将它们叠加。

§2.1控制系统的时域数学模型7/24/20234线性定常微分方程的求解

§2.1控制系统的时域数学模型7/24/2023例2-6如右图所示，若已知LRi(t)Ui(t)C且电容上初始电压，初始电流，电源电压。试求电路突然接通电源时，电容电压的变化规律。

§2.1控制系统的时域数学模型解：由例2-1得到网络的微分方程为7/24/2023

用拉氏变换求解线性定常微分方程的过程1）考虑初始条件，对微分方程的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转化为变量S的代数方程。2）由代数方程求出输出拉氏变换函数的表达式。3）对输出拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即所求微分方程的解。

§2.1控制系统的时域数学模型7/24/20235非线性微分方程的线性化

具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统）

设连续变化的非线性函数，在平衡点（x0,y0）处连续可微。则可将它在该点附件用台劳级数展开

§2.1控制系统的时域数学模型7/24/2023增量较小时略去其高次幂项，则有

令上式记为Δy=kΔx

略去增量号

Δ，便可得到函数

在平衡点（x0,y0）附近的线性化方程为y=kx

其中，K为比例系数，是函数在（x0,y0）点切线的斜率

§2.1控制系统的时域数学模型7/24/2023

对于有两个自变量的非线性函数同样可在某工作点附近用台劳级数展开为

§2.1控制系统的时域数学模型7/24/2023

2-2控制系统的复域数学模型7/24/2023是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。1传递函数的定义与性质§2.2控制系统的复域数学模型7/24/2023设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：§2.2控制系统的复域数学模型求得零初始条件下的拉氏变换得：于是，由定义得系统传递函数为：其中7/24/2023LRi(t)Ui(t)C例2-8求如下无源网络的传递函数§2.2控制系统的复域数学模型求初始条件下的拉氏变换得：由定义得系统传递函数为：解：网络的微分方程为7/24/2023性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所具有复变量函数的所有性质。性质2G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。性质3传递函数与微分方程有相通性。

传递函数的性质

G(s)R(s)C(s)性质4传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t),脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。§2.2控制系统的复域数学模型7/24/2023例2-9试求例2-2电枢控制直流电动机的传递函数解：由例2-2得到系统的微分方程为：§2.2控制系统的复域数学模型在零初始条件下，对上式求拉式变换，得到：令令，得到电枢电压到转速的传递函数令，得到负载扰动

到转速的传递函数7/24/2023例2-10在例2-1中，已知网络初始电压和初始电流，试求电容电压的单位阶跃响应。§2.2控制系统的复域数学模型7/24/20232传递函数的零点和极点传递函数的零点

传递函数的极点

§2.2控制系统的复域数学模型根轨迹增益7/24/2023§2.2控制系统的复域数学模型传递函数的增益7/24/2023

传递函数的极点

极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。3传递函数的极点和零点对输出的影响传递函数的零点§2.2控制系统的复域数学模型7/24/2023零点对输出响应的影响-2z2-1z10j（a)

012341.21.00.80.60.40.2（b）G1(t)G2(t)§2.2控制系统的复域数学模型7/24/2023零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。

§2.2控制系统的复域数学模型7/24/2023

电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。单个电位器用作为信号变换装置。

4典型元部件的传递函数§2.2控制系统的复域数学模型7/24/2023单位角位移E-电位器电源

－电位器最大工作角

§2.2控制系统的复域数学模型7/24/2023K1是单个电位器的传递系统

是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。

§2.2控制系统的复域数学模型7/24/2023测速发电机－测量角速度并将它转换成电压量的装置

转子角速度输出斜率直流测速发电机交流测速发电机§2.2控制系统的复域数学模型7/24/2023电枢控制直流伺服电动机中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为

可视为负载扰动转矩根据线性系统的叠加原理，分别求到和到的传递函数。

由传递函数定义

a令b令

§2.2控制系统的复域数学模型7/24/2023两相伺服电动机两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成。定子线圈的一相是激磁绕组，另一相是控制绕组，通常接在功率放大器的输出端，提供数值和极性可变的交流控制电压。传递函数在