数学人教九年级上册（2014年新编）24-3 正多边形与圆（教学课件）

24.3正多边形与圆第二十四章圆内接四边形的性质：1）对角互补；2）四个内角的和是360°；OADCB学习目标1.了解正多边形和圆的有关概念。2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。3.画圆内接正多边形。

重点正多边形的概念及正多边形与圆的关系。难点利用直尺和圆规画特殊的正多边形。

圆内接正多边形我们知道，各边相等，各角也相等的三角形是等边三角形。在生活中，各边相等，各角相等的多边形的图案处处可见。各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

圆内接正多边形正n边形与圆的关系：只要把一个圆分成相等的n（n≥3）段弧，依次连接各分点所得多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.例1如图，把⊙O分成相等的3段弧，依次连接各分点得到△ABC。

求证：△ABC是圆内接正三角形.OABC证明：∵AB=BC=AC∴AB=BC=AC，又∵△ABC的顶点都在⊙O上所以△ABC是圆内接正三角形

圆内接正多边形例2如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.OADCBE证明：∵AB=BC=CD=CE=AE∴AB=BC=CD=CE=AE而BCE=CDA∴∠A=∠B同理∠B=∠C=∠D=∠E又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,∴五边形ABCDE是圆内接正五边形。

圆内接正多边形的相关概念

把一个圆分成相等的n（n≥3）段弧，依次连接各分点所得多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。OADCB

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心。

正多边形的半径：外接圆的半径。

正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离。半径r中心角边心距E

圆内接正多边形的相关概念内角外角中心角内角和等边三角形正方形正五边形….正n边形60°120°120°90°90°90°108°72°72°180°360°540°（n-2）×180°

圆内接正多边形的相关概念正n边形的一个内角的度数是____________;中心角是___________;正多边形的中心角与外角的大小关系是________.相等EDCBAOF

圆内接正多边形的相关概念【解题思路】1）正多边形半径、边心距和一半的边长为直角三角形三条边长。2）已知其中两个值，第三个值可以通过勾股定理求解。3）正n边形中心角为4）正n边形的周长为P=na（P为正n边形的周长，α为边长）5）正n边形的周长为（S为正多边形的面积，P为正多边形的周长，

r为边心距）

圆内接正多边形的相关概念（情景引入）有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积。【解题思路】正六边形的中心角为60°，然后构建直角三角形，求得边心距。

EABCDFOG典例1正八边形的中心角为______度变式1-1一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．变式1-2若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为_____.（考查正多边形与圆有关计算）【解析】这个正多边形的边数为360°÷30°=12，所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．【详解】解：由正n边形的中心角的计算公式可得其中心角为360°÷8=45°【详解】正六边形的中心角为360°÷6=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=3，∴BE=2OB=6，即正六边形最长的对角线为6（考查正多边形与圆有关计算）变式1-3如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为()A．10 B．9 C．8 D．7【解析】∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10．∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D．（考查正多边形与圆有关计算）

（考查正多边形与圆有关计算）

画圆内接正多边形下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心．（1）（2）（3）（4）（5）

画圆内接正多边形正多边形的对称性：1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2）一个正多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。

画圆内接正多边形

如何把一个圆分成相等的一些弧，并画出这个圆的内接正多边形？方法一：用量角器等分圆周用量角器等分圆方法：由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形。采用“先用量角器画一个的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”。【优缺点】方法简便且可以画任意正多边形、误差小。

画圆内接正多边形

如何把一个圆分成相等的一些弧，并画出这个圆的内接正多边形？方法二用尺规等分圆周用尺规等分圆方法：用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形。【优缺点】这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差。

画圆内接正多边形方法简述：正五边形的中心角为72°，通过量角器量取72°，通过圆规依次截取等长弧，画图。（量角器+圆规）尝试画出圆内接正三角形、正方形、正五边形、正八边形？等边三角形正五边形120°120°120°方法简述：等边三角形的中心角为120°，通过量角器依次量取120°，画图。(量角器)72°

画圆内接正多边形尝试画出圆内接正三角形、正方形、正五边形、正八边形？正方形正八边形45°（画圆内接正多边形）尝试画出圆内接正六边形？作法：1