第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计课件

2023/7/22第1页一、数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比列或者虑除某些频率成分的器件。二、数字滤波器的分类经典滤波器从功能上分：低通、高通、带通、带限从实现的网络结构或单位脉冲响应：IIR、FIR现代滤波器维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。第一节数字滤波器的基本概念2023/7/22第2页三、标准理想滤波器的特性低通高通带通带阻01--01--01012023/7/22第3页——通带截止频率——阻带截止频率四、滤波器的技术指标过渡带00.707——3dB通带截止频率2023/7/22第4页如将|H(ej0)|归一化为1，上式则表示成：2023/7/22第5页第二节模拟滤波器的设计

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。

2023/7/22第6页模拟低通滤波器的设计指标有，其中分别称为通带截止频率和阻带截止频率，是通带中的最大衰减系数，是阻带的最小衰减系数一、模拟低通滤波器设计指标及逼近方法2023/7/22第7页滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数，希望其幅度平方函数满足给定的指标和，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此幅度平方函数可表示成：2023/7/22第8页

巴特沃斯滤波器是指在通带内的幅度特性具有最大平坦特性，是一全极点型滤波器，巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式表示：巴特沃斯幅度特性和N的关系二、巴特沃斯低通滤波器的设计2023/7/22第9页将幅度平方函数写成s的函数：

此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：极点分布：2N个极点在S平面上是象限对称分布在半径为c的圆上；极点间的角度间隔为/Nrad；极点决不会落在虚轴上；保证了系统的稳定性

N为奇数则实轴上有极点，N为偶数实轴上无极点。三阶巴特沃斯滤波器极点分布2023/7/22第10页

为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。Ha(s)的表示式为：设N=3，极点有6个，它们分别为取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：2023/7/22第11页

由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为式中pk为归一化极点，用下式表示：2023/7/22第12页2023/7/22第13页令,则N可表示为：

上式确定的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以由下面推导得到：2023/7/22第14页(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，求出滤波器的阶数N。

(2)求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。

(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：2023/7/22第15页巴特沃斯归一化低通滤波器参数

2023/7/22第16页2023/7/22第17页2023/7/22第18页

例已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。2023/7/22第19页(2)其极点为归一化传输函数为

上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。直接查表更简单，由N=5，直接查表得到极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000式b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.23612023/7/22第20页

(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc：将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：2023/7/22第21页切比雪夫Ⅰ型滤波器幅度平方函数可表示为：

三、切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性2023/7/22第22页式中ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x2－1；当N=3时，C3(x)=4x3－

3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为CN+1(x)=2xCN(x)－CN-1(x)2023/7/22第23页

下图为N=0,4,5时切比雪夫多项式特性，由图可见：

(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；

(2)当|x|<1时，|CN(x)|≤1,在|x|<1范围内具有等波纹性；

(3)当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。2023/7/22第24页

平方幅度函数与三个参数即ε,Ωp和N有关。其中ε与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹δ用下式表示：切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通曲线2023/7/22第25页

设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表示，在Ωs处的A2(Ωs)为：

令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有可以解出2023/7/22第26页3dB截止频率用Ωc表示通常取λc>1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：以上Ωp,ε和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp。2023/7/22第27页

设Ha(s)的极点为si=δi+jΩi，可以证明：

上式是一个椭圆方程，长半轴为Ωpchξ(在虚轴上)，短半轴为Ωpshξ(在实轴上)。令bΩp和aΩp分别表示长半轴和短半轴，可推导出：2023/7/22第28页设N=3，平方幅度函数的极点分布如图所示。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即由上式可导出：c=ε·2N-1，从而得归一化的传输函数为：去归一化后的传输函数为2023/7/22第29页1)确定技术要求αp,Ωp,αs和Ωαp是Ω=Ωp时的衰减系数，αs是Ω=Ωs时的衰减系数：这里αp就是前面定义的通带波纹δ。归一化频率切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤：2023/7/22第30页2)求滤波器阶数N和参数ε

由幅度平方函数可得：2023/7/22第31页3)求归一化传输函数Ha(p)

为求Ha(p)，先求出归一化极点pk,k=1,2,:,N。根据定义可得：

将极点pk代入即得：4)将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即其中αp=δ2023/7/22第32页

例设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。(2)求阶数N和ε：解：(1)滤波器的技术要求：

2023/7/22第33页(3)求Ha(p):求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：(4)将Ha(p)去归一化，得到：2023/7/22第34页1)低通到高通的频率变换

λ和η之间的关系为上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)则用下式转换：四、模拟滤波器的频率变换

——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计2023/7/22第35页

模拟高通滤波器的设计步骤：

(1)由高通滤波器的技术指标（通带下限频率Ω′p，阻带上限频率Ω′s，通带最大衰减αp，阻带最小衰减αs）确定相应低通滤波器的设计指标：①低通滤波器通带截止频率Ωp=1/Ω′p；②低通滤波器阻带截止频率Ωs=1/Ω′s；③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs。(2)设计归一化低通滤波器G(p)。(3)求模拟高通的H(s)。将G(p)转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/Ωc代入H(q)中，得

2023/7/22第36页

解①高通技术要求：fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

归一化频率：②低通技术要求：例设计高通滤波器：fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。2023/7/22第37页③设计归一化低通巴特沃斯滤波器G(p)④求模拟高通H(s)：2023/7/22第38页2)低通到带通的频率变换

低通与带通滤波器的幅度特性如图所示带通与低通滤波器的幅度特性2023/7/22第39页由对应关系可得η与λ的关系为：由上表及上式有：上式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。2023/7/22第40页1)确定模拟带通滤波器的技术指标：带通上限频率Ωu，带通下限频率Ωl

下阻带上限频率Ωs1,上阻带下限频率Ωs2

通带中心频率Ω20=ΩlΩu，通带宽度B=Ωu－Ωl

与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：模拟带通的设计步骤2023/7/22第41页

(2)确定归一化低通技术要求：λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求。通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs。

(3)设计归一化低通G(p)。

(4)将G(p)转换成带通H(s)：2023/7/22第42页

例设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s，通带内最大衰减αp=3dB，阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻带最小衰减αs=15dB。解：1)模拟带通的技术要求：

Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=62023/7/22第43页2)模拟归一化低通技术要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。

3)设计模拟归一化巴特沃斯低通滤波器G(p)：2023/7/22第44页

取N=3，查表得：(4)求模拟带通H(s)：2023/7/22第45页3)低通到带阻的变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图所示。

Ωl和Ωu分别是下通带和上通带截止频率，Ωs1和Ωs2分别为阻带的下限频率和上限频率，Ω0为阻带中心频率，Ω20=ΩuΩl，阻带带宽B=Ωu－Ωl，B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为：

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl

2023/7/22第46页

根据η与λ的对应关系，可得到：2023/7/22第47页1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率Ωl,上通带截止频率Ωu阻带下限频率Ωs1，阻带上限频率Ωs2阻带中心频率，阻带宽度B=Ωu－Ωl它们相应的归一化边界频率为

ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通带最大衰减αp和阻带最小衰减αs。带阻滤波器设计步骤2023/7/22第48页(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：取λs和λs的绝对值较小的λs；通带最大衰减为αp，阻带最小衰减为αs。

(3)设计归一化模拟低通G(p)。

(4)将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。2023/7/22第49页

例设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：

Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解(1)模拟带阻滤波器的技术要求：

Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π+2×1000025,B=ΩuΩl=2π×200;ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=252023/7/22第50页(2)归一化低通的技术要求：(3)设计归一化低通滤波器G(p):(4)带阻滤波器的H(s)为2023/7/22第51页第三节脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器

数字滤波器的设计可先按设计要求设计一个模拟滤波器，再按一定转换关系将模拟滤波器转换成数字滤波器。

为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：

1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。

2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。2023/7/22第52页

设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)

设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得：

对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：2023/7/22第53页对h(n)进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：设ha(t)的采样信号用表示：对进行拉氏变换，得到:上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：2023/7/22第54页

模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系如下：将s=jΩ代入上式，得上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按映射关系映射到z平面上，就得到H(z)。可称为标准映射关系。2023/7/22第55页下面进一步分析这种映射关系。设得到:因此得到:

那么σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1

另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成为任意整数2023/7/22第56页z=esT,s平面与z平面之间的映射关系频率混叠现象2023/7/22第57页

假设没有频率混叠现象，即满足由，并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：为避免采样间隔较小而导致H(z)过大，令：则：2023/7/22第58页

如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节为：

如果模拟滤波器二阶基本节的形式为极点为相应的数字滤波器二阶基本节为：一般Ha(s)的极点是复数且共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。2023/7/22第59页

例已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器的系统函数。解首先将Ha(s)写成部分分式：极点为：那么H(z)的极点为：由上式并经整理得：2023/7/22第60页也可以首先将Ha(s)写成如下形式，如极点s1，2=σ1±jΩ1,则再由上分析得H(z)为：T=1sT=0.1s2023/7/22第61页脉冲响应不变法的特点：优点：＝T保证了模拟角频率与数字角频率之间的线性关系缺点：在＝附近产生混叠失真所以，一般只适用于带限滤波器，高通、带阻滤波器不能直接进行变换所以，脉冲响应不变法适用情况：带限滤波器H(s)要能用部分分式展开成单阶极点2023/7/22第62页双线性变换的含义第一次映射:将整个S平面压缩到S1平面的一条横带内（-/T,+/T

）第二次映射:将S1平面映射到Z平面双线性映射的变换式第一次映射：正切变换实现频率压缩第二次映射:双线性变换法的公式：第四节双线性变换法设计IIR数字低通滤波器2023/7/22第63页S平面S1平面Z平面2023/7/22第64页双线性变换法的频率变换关系双线性变换法幅度和相位特性非线性映射2023/7/22第65页系数关系表2023/7/22第66页2023/7/22第67页

例试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将下图所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解首先按照图写出该滤波器的传输函数Ha(s)为

利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数为

利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为2023/7/22第68页H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图所示数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性2023/7/22第69页

利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。

4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。2023/7/22第70页

解(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。①数字低通的技术指标为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB例设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2π时，幅度误差不大于1dB；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。2023/7/22第71页③设计巴特沃斯低通滤波器，先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。

取N=6。由Ωp和αp求得3dB截止频率Ωc=0.7032rad/s。根据阶数N=6，查表得归一化传输函数为2023/7/22第72页④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按脉冲响应不变法得到：

去归一化：将p=s/Ωc代入Ha(p)中，得实际传输函数：2023/7/22第73页(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。①数字低通技术指标仍为

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为2023/7/22第74页③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：取N=6。由Ωs和αs求Ωc=0.7662rad/s。

查表得归一化传输函数Ha(p)，去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的Ha(s)2023/7/22第75页④用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：双线性变换法的幅度特性脉冲响应不变法的幅度特性2023/7/22第76页第五节数字高通、带通和带阻滤波器设计具体设计步骤如下：1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。2)将数字滤波器技术指标转换成相应的模拟滤波器技术指标，转换公式为3)将所需模拟滤波器指标转换成模拟低通滤波器技术指标4)设计模拟低通滤波器。5)将模拟低通转换成所需类型的模拟滤波器。6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。2023/7/22第77页

例设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解(1)数字高通的技术指标为

ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB(2)模拟高通的技术指标计算如下：令T=1，则有2023/7/22第78页(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：

将Ωp和Ωs对3dB截止频率Ωc归一化，这里Ωc=Ωp,(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：2023/7/22第79页

查表得到归一化模拟低通传输函数G(p)为

去归一化，将p=s/Ωc代入上式得到：(5)将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：(6)用双线性变换法将模拟高通转换成数字高通H(z)：实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即2023/7/22第80页

例设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad到0.4πrad，通带内最大衰减为3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解(1)数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率ωu=0.4πrad

通带下截止频率ωl=0.3πrad

阻带上截止频率ωs2=0.5πrad

阻带下截止频率ωs1=0.2πrad

通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB。2023/7/22第81页(2)模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有(通带中心频率)(带宽)

将以上边界频率对带宽B归一化，得到

ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.8042023/7/22第82页(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率归一化通带截止频率λp=1αp=3dB,αs=18dB(4)设计模拟低通滤波器：查表得归一化低通传输函数G(p)2023/7/22第83页(5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：

(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：将上式代入(5)中的转换公式，得将上面的p等式代入G(p)中，得2023/7/22第84页

例设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率ωl=0.19π,阻带下截止频率ωs1=0.198π，阻带上截止频率ωs2=0.202π，通带上限频率ωu=0.21π，阻带最小衰减αs=13dB，ωl和ωu处衰减αp=3dB。采用巴特沃斯型。解(1)数字带阻滤波器技术指标：

ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB(2)模拟带阻滤波器的技术指标：设T=1，则有2023/7/22第85页阻带中心频率平方为Ω20=ΩlΩu=0.421阻带带宽为

B=Ωu-Ωl=0.07rad/s

将以上边界频率对B归一化：

ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηlηu=85.98(3)模拟归一化低通滤波器的技术指标：λp=1,αp=3dB2023/7/22第86页(4)设计模拟低通滤波器：(5)将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：(6)将Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。2023/7/22第87页第六节IIR数字滤波器的直接设计法1.零极点累试法称为零极点累试法。在确定零极点位置时要注意：1)极点必须位于单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。a)零极点分布；b)幅度特性2023/7/22第88页2.频域幅度平方误差最小法设计IIR数字滤波器设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示，

式中A是常数；ai,bi,ci,di是待求的系数；Hd(ejω)是希望设计的滤波器频响。如果在(0，π)区间取N点数字频率ωi,i=1,2,:,N，在这N点频率上，比较|Hd(ejω)|和|H(ejω)|，写出两者的幅度平方误差E为第一式中共有(4K+1)个待定的系数，求它们的原则是使E最小。下面研究采用第一式网络结构，如何求出(4K+1)系数。2023/7/22第89页由上式可知E是(4K+1)个未知数的函数，用下式表示：上式θ表示4K个系数组成的系数向量。为推导公式方便，令

为选择A使E最小，令2023/7/22第90页

设θk是θ的第k个分量(ak或bk或ck或dk)，

因为,式中H*i表示对Hi函数共轭。

将上式具体写成对ak,bk,ck,dk的偏导，得到：式中，k=1,2,3,:,K；i=1,2,3,:,N。2023/7/22第91页同理求得

由于系统函数是一个有理函数，极、零点均以共轭成对的形式存在，对于极点z1,一定有下面关系：2023/7/22第92页

例设计低通数字滤波器，其幅度特性如图所示。截止频率ωs=0.1πrad。

解考虑到通带和过渡带的重要，在0~0.2π区间，每隔0.01π取一点ωi值，在0.2π~π区间每隔0.1π取一点ωi值，并增加一点过渡带，在ω=0.1π处|Hd(ejω)|=0.5。

1.0,ω=0,0.01π,0.02π,:,0.09π0.5,ω=0.1π0.0,ω=0.11π,0.12π,:,0.19π0.0,ω=0.2π,0.3π,:,π2023/7/22第93页

待求的参数是A，a1,b1,c1,d1。设初始值θ=(0000.25)T经过90次迭代，求得E=1.2611