概率统计7章课件

第七章参数估计二、估计量的评选标准一、点估计三、区间估计

四、正态总体均值与方差的区间估计

问题：如何估计未知参数？设抽取容量为的样本由大数定律,把样本平均值作为总体平均值的一个估计。即用估计点估计

第七章

第一节二、矩估计法一、点估计问题的一般提法三、最大似然估计法一、点估计问题的一般提法是待估参数，是的一个样本,是相应的一个样本值。点估计就是构造一个适当的统计量用它的观察值作为未知参数的近似值。称为估计量为估计值设总体的分布函数为形式为已知,未知参数估计的两种方法:矩估计法、最大似然估计法

二、矩估计法

其基本思想是用样本矩估计总体矩。

它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法。是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。基本思想:Eg.若X为连续型随机变量，设概率密度为令解出若X为离散型随机变量，设其分布律为令，其中为样本，为样本值，解出例1

设总体求的矩估计量。解:令其中所以λ的矩估计量为为X的一个样本，估计量估计值例2设总体X的概率密度为解

即是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数α的矩估计量.令，则从而α的矩估计量为X的一个样本，求的矩估计量。例3

设总体解

令例4设

为X的一个样本，求X的数的矩估计量。学期望解

：令其中则解得数学期望的矩估计量分别为总结：任何分布的均值和方差的矩估计量的表达式都不变例5

设总体一个样本，求的矩估计量。为X的解由

所以由上例可得三、最大似然估计法这是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,GaussFisher然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇

。

费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.最大似然法的基本思想：假定一个盒子中有白、黑球共3个，但不知各有几个，如果有放回的抽取3次球，发现第1，3次是黑球，第2次是白球，试估计黑球所占的比例？准备内容：当总体X是离散型，分布律改写为：以泊松分布为例，分布律为，其中θ未知。为X的样本，为X的样本值，⑴X为离散型记为——样本的似然函数为θ的最大似然估计量；为θ的最大似然估计值；满足条件:具体算法：令设x1,x2,…,xn是取自总体

X~b(1,p)的一个解例1似然函数为:样本值，求参数p的最大似然估计值。所以为p的最大似然估计值。解例2设X1,X2,…,Xn

是取自总体

X

的一个样本,，求参数λ的最大似然估计值。似然函数为:⑵X为连续型似然函数为利用或得例3设X1,X2,…,Xn

是取自总体

X

的一个样本,X服从参数λ

的指数分布，求λ的最大似然估计值。解似然函数当令所以设x1,x2,…,xn

是取自总体

X

的一个样本值,，求参数的最大似然估计值。解例4令所以的最大似然估计值为例5设X1,X2,…,Xn

是取自总体

X

的一个样本,，求参数a,b的最大似然估计量。解似然函数则要使得取最大值注：特殊的似然函数通过求导得不到其最大，

需要从函数本身入手。所以，最大似然估计量为估计量的评选标准

第七章

第二节二、有效性一、无偏性三、一致性一、无偏性定义结论：无论X服从什么分布,只要它的数学期望存在，总是的无偏估计量。是的无偏估计例1设X1,X2,…,Xn

是取自总体

X

的一个样本,求k使为的无偏估计.解

⑴故当时结论成立..2s=一个未知数可以有不同的无偏估计量。解例3二、有效性定义：都是参数的无偏估计量，如果注：比较有效性，必须是在无偏估计量的前提。例4设X1,X2,…,Xn

是取自总体

X

的一个样本,⑴验证都是的无偏估计.⑵问那个估计量最有效?解

⑴都是总体均值的无偏估计量;故⑵因为所以更有效三、一致性定义：区间估计

第七章

第三节二、正态总体均值与方差的区间估计一、置信区间三、两个正态总体均值与方差的区间估计一、置信区间定义1设总体含一待估参数为一样本，满足则称为的置信度为的置信区间，的分布函数为，其中若由样本确定的两个统计量下限上限通常,采用95%的置信度,有时也取99%或90%.即置信度为这时重复抽样100次,则在得到的100个数值区间中包含真值的有95个左右,不包含真值的有5个左右。含义：若具体的计算方法⑴由样本寻找一个样本函数，不含其他任何未知参数，分布已知，且只含有一个未知参数θ。⑶由解出等价的不等式是θ的置信度为的置信区间。⑵对于给定的置信水平，找a,b使得二、正态总体均值与方差的区间估计设为总体的一个样本置信度下，来确定的置信区间⑴已知方差，估计均值μ对于给定的，有可得所以μ的置信水平为1-α的置信区间为简记为已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120131,115,109,115,115,105,110cm;假设标准差置信度为95%;试求总体均值μ的置信区间解已知由样本值算得：查正态分布表得，由此得置信区间例1设总体问需要抽取容量为多大的样本,才能使的置信水平为0.95的置信区间的长度不大于0.49?解

设需要抽取容量为n的样本,其样本均值为查表得于是μ的置信水平为0.95的置信区间为该区间长度例2解得取⑵方差未知，估计均值μ所以μ的置信水平为1-α的置信区间为简记为用仪器测量温度,重复测量7次,测得温度分别为:115,120,131,115,109,115,115;设温度在置信度为95%时,试求温度均值所在范围。例3查表得已知由样本值算得：解

得区间：⑶方差的置信区间（均值μ未知）设为总体的一个样本是的无偏估计并且样本函数：由分布表的构造置信区间即标准差σ的置信水平为的置信区间例4某自动车床加工