2022-2023学年湖南省衡阳市集兵中学高二数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市集兵中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在极坐标系中，若圆的方程为，则圆心的极坐标是（

）A．B．C．（1,π）D．（1,0）参考答案：D2.已知数列的前n项和为，且则等于（）

A．4

B．2

C．1

D．-2参考答案：A3.用三段论推理：“指数函数是增函数，因为是指数函数，所以是增函数”，你认为这个推理

()A．大前提错误

B.小前提错误

C．推理形式错误

D．是正确的参考答案：A4.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（

）.A.，

B.，C.，

D.，参考答案：D5.在空间中，可以确定一个平面的条件是（）A．一条直线B．不共线的三个点C．任意的三个点D．两条直线参考答案：B略6.下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据相关系数的定义可知①错误；根据特称命题（又叫存在性命题）的否定可知②错误；根据真值表即可判断“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，故③错误；由条件可得，f（﹣1）=0，f'（﹣1）=0，解得a=2，b=9或a=1，b=3，经检验，当a=1，b=3时，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故④错误．【解答】解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；对于②：命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故②错误；对于③：若p∧q为真，则p、q均为真命题，此时p∨q为真，故命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分条件，故③错误；对于④：f'（x）=3x2+6ax+b，因为f（x）在x=﹣1有极值0，故，解得经检验，当a=2，b=9时，f'（x）=3x2+12x+9=3（x+1）（x+3），此时f（x）在x=﹣1处取得极小值，符合条件；当a=1，b=3时，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；所以a=2，b=9．故④错误．故选：A．【点评】考查了相关系数的概念，特称命题的否定，复合命题的真值表以及导数的应用，对第四个命题中利用导数求出a，b的值后需进行检验．7.右面的程序框图表示求式子×××××的值,则判断框内可以填的条件为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B

8.命题:“x∈R,”的否定是(

)A.x∈R,

B.x∈R,C.x∈R, D.x∈R,参考答案：C略9.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是（

）

A.

B.

C.直线∥

D.直线所成的角为45°参考答案：D略10.若直线与平面、、满足∥，，则有（

）

A．∥且

B．⊥且

C．⊥且∥

D．∥且⊥参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若则自然数_____.参考答案：

解析：

12.观察下列一组等式：①sin2300+cos2600+sin300cos600=，②sin2150+cos2450+sin150cos450=，③sin2450+cos2750+sin450cos750=，……，

那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：__

_____.参考答案：13.设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是

参考答案：②③14.已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O的表面积为____________。参考答案：略15.已知点为抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为▲。参考答案：

16.某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元／千米计价收费，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘车里程的范围是

．参考答案：解析：付款16元，肯定超出了3千米，设行程x千米，则应该付款8＋1,5(x-3)∵四舍五入∴15.5≤8＋1.5(x-3)<16.5解得8≤x<8。17.二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=

．参考答案：2πr4【考点】F3：类比推理．【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；（Ⅱ）圆M是△ABC的外接圆，求圆M的方程．参考答案：【考点】圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）求出，运用直线方程的点斜式列式，再化简即可得到直线BC方程；（Ⅱ）根据A、C两点的坐标算出AC中点M坐标为（1，0），而圆M的半径R=|AC|=3，利用圆方程的标准形式即可写出圆M的方程为（x﹣1）2+y2=9．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴；

∴直线BC的方程是y=x﹣2﹒（Ⅱ）由（Ⅰ）可得C（4，0），∴圆心M（1，0），∴圆M的方程是：（x﹣1）2+y2=9﹒19.已知数列中，，其前项和满足．（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和；（Ⅲ）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，有恒成立．参考答案：解:（Ⅰ）证明：由已知，,即（n≥2，n∈N*），且．∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，∴．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，设它的前n项和为∴两式相减可得：所以（Ⅲ）解：∵，∴，要使恒成立，则恒成立∴恒成立，∴恒成立．（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜恒成立，当且仅当n=1时，有最小值为1，∴λ＜1．（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣恒成立，当且仅当n=2时，﹣有最大值﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=﹣1．综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有．略20.（本小题满分12分）已知二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（I）求展开式的第四项；（II）求展开式的常数项.参考答案：解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为、、，

所以+=，即.

解得.

………….4分（I）第四项；….7分（II）通项公式为=，

令，得.

………….10分

所以展开式中的常数项为.

…………….12分略21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点,(1)证明：AD⊥平面PAC;(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值.参考答案：略22.设，其中.（1）证明：，其中；（2）当时，化简：；（3）当时，记，，试比较与的大小.参考答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）直接将排列数用阶乘表示，化简整理即可.（2）求出q＝1时的，证明，代入原式即可求得答案；（3）当q＝n时，，可得，则，令x＝1，得．方法一、利用数学归纳法证明An与Bn的大小；方法二、设，利用导数研究单调性，由单调性即可比较An与Bn的大小．【详解】（1），其中.（2）当时，由（1）结论可得所以原式.（3）【解法一】当时，，所以，所以，令，得，当时，；当时，，即.下面先用数学归纳法证明：当时，，（☆）①当时，，（☆）式成立；②假设时，（☆）式成立，即，则时，（