2022年湖南省怀化市郑家村乡中学高三数学理期末试卷含解析

2022年湖南省怀化市郑家村乡中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则=（）A． B． C． D．1参考答案：B【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】先确定函数f（x）的周期为2，再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，即可得出结论．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数，∴=f（﹣）=f（）∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x，∴f（）=，故选：B．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性，属于中档题．2.已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如下图），主视图与左视图都是边长为2的正三角形，则其全面积是(

)A.

B.

C.8

D.12参考答案：Ｄ3.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)。A.

B.

C.

D.参考答案：C4.函数的部分图象如图所示，若，且，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D5.函数在区间上至少取得个最大值，则正整数的最小值是（

）(A)

（B）

(C)

(D)参考答案：6.已知是方程的两个根，则下列结论恒成立的是（）

A．

B．C．

D．参考答案：B7.如图，矩形ABCD中，点A的坐标为(－3,0)，点B的坐标为(1,0).直线BD的方程为，四边形BDFE为正方形.若在五边形ABEFD内随机取一点，则该点取自三角形BCD（阴影部分）的概率为A. B. C. D.参考答案：D在中，令，得，即，则，所以，，由几何概型概率公式，得在五边形内随机取一点，该点取自三角形(阴影部分)的概率.故选D.8.是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面,则该球的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是(

)A． B．2 C． D．参考答案：A10.在下列结论中，正确的是

(

)①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件(A).①②

(B).①③

(C).②④

（D）.③④参考答案：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的导函数为，且，则的最小值为_____.参考答案：8【知识点】导数的应用B12∵f（x）=x（x-a）（x-b）=x3-（a+b）x2+abx，∴f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

∵f′（0）=4，∴f′（0）=ab=4，∴a2+2b2≥2=8，当且仅当a2=2b2，即a=b时取等号，【思路点拨】求函数的导数，得到ab=4，然后利用基本不等式即可得到结论．12.3位逻辑学家分配10枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配：(1)抽签确定各人序号：1，2，3；(2)1号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同意自己方案），就按照他的方案进行分配，否则1好只得到2枚金币，然后退出分配与表决；(3)再由2号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己方案），才会按照他的提案进行分配，否则也将得到2枚金币，然后退出分配与表决；(4)最后剩的金币都给3号.每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1号为得到最多的金币，提出的分配方案中1号、2号、3号所得金币的数量分别为

．参考答案：9,0,113.我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：

日相逢？参考答案：9由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列，设路程为，由题意有：，故：，满足题意时，数列的前n项和为，由等差数列前n项和公式可得：，解得：.即二马相逢，需9日相逢

14.已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为

．参考答案：a＜﹣3或a＞6【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出函数的导数，根据函数有极大值和极小值，可知导数为0的方程有两个不相等的实数根，通过△＞0，即可求出a的范围．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6故答案为：a＜﹣3或a＞615.已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则方程f（x）＝在（0，+∞）解的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：B是周期为4的函数。因为函数是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），所以，所以函数的对称轴为。，由图可知，方程有四个解。故选B。

16.已知中，角A,B,C所对的边分别为，若，则角C=__________．参考答案：

17.函数f（x）＝的定义域为＿＿＿＿（用区间表示）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小．参考答案：解法一：（1）作交于点，则为的中点．连结，又，故为平行四边形．，又平面平面．所以平面．

--------4分（2）不妨设，则为等腰直角三角形．取中点，连结，则．又平面，所以，而，所以面．

--------8分取中点，连结，则．连结，则．故为二面角的平面角

--------10分 ．所以二面角的大小为．

--------12分解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．设，则，．取的中点，则．平面平面，所以平面．--------4分（2）不妨设，则．中点又，，所以向量和的夹角等于二面角的平面角． ．所以二面角的大小为．（其他方法酌情给分）19.(本小题满分14分)设函数.（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.参考答案：（Ⅰ）当时，，，，所以切线的斜率为.…………2分

又，所以切点为.

故所求的切线方程为：即.………………4分（Ⅱ），，.………6分令，则.当时，；当时，.故为函数的唯一极大值点，所以的最大值为=.8分由题意有，解得.所以的取值范围为.……10分（Ⅲ）当时，.

记，其中.∵当时，，∴在上为增函数，即在上为增函数.…………12分又，所以，对任意的，总有.所以，又因为，所以.故在区间上不存在使得成立的（）个正数….…………14分20.已知函数f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）当m=﹣1时，求f（x）的极大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；（3）当时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）当m=﹣1时，求出函数的解析式，定义域，求出导函数，求出极值点，推出结果即可．（2）（法一），通过当m≤0，当m＞0时，求解实数m的取值范围．（法二），问题成立只需m＜u（x）max（x∈（0，+∞）），然后求解实数m的取值范围．（3）求出切线方程，转化mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上有且只有一解．构造函数g（x）=mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），求出函数g（x）有零点x=1．通过求解导函数，讨论当时，当时，判断函数的单调性，利用函数的零点．推出m的范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，f（x）=mx2﹣x+lnx=﹣x2﹣x+lnx，其定义域（0，+∞）．又．∵，故由f′（x）=0，得．…∴当时，f′（x）＞0，f（x）递增；当，f′（x）＜0，f（x）递减．因此当时，f（x）取得极大值；…（2）（法一），即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．当m≤0显然成立；…当m＞0时，由于函数y=2mx2﹣x+1的图象的对称轴，故须且只须△＞0，即1﹣8m＞0，故．…综上所述得，故实数m的取值范围为；…（若f'（x）≤0在（0，+∞）上有解，最后有检验也是可以的）（法二），即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）能成立，即，设，问题成立只需m＜u（x）max（x∈（0，+∞））…∵，∴故实数m的取值范围为；…（3）因为f（1）=m，f′（1）=2m，故切线方程为y﹣m+1=2m（x﹣1），即y=2mx﹣m﹣1，…从而方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上有且只有一解．设g（x）=mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），则g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，又g（1）=0，故函数g（x）有零点x=1．…则．当时，g′（x）≥0，又g（x）不是常数函数，故g（x）在（0，+∞）上递增．∴函数g（x）有且只有一个零点x=1，满足题意；…当时，由g′（x）=0，得，或x=1．且由g′（x）＞0，得0＜x＜1，或；由g′（x）＜0，得；故当x在（0，+∞）上变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：（此表可省略）x（0，1）1g′（x）+0﹣0+g（x）递增极大值递减极小值递增根据上表知．…又．∴，故在上，函数g（x）又有一个零点，不符；…综上所述得．…【点评】本题考查函数的对数的应用，函数的极值点以及单调性，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.(本题满分14分)设等差数列{an}的首项a1为a，前n项和为Sn．(Ⅰ)若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)证明：n∈N*,Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．参考答案：本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和的公式,同时考查反证法与推理论证能力。满分14分。(Ⅰ)解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na＋，S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d．由于S1，S2，S4成等比数列，因此＝S1S4，即得d(2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．(1)当d＝0时，an＝a；(2)当d＝2a时，an＝(2n－1)a．

…………6分(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即．因此a2＋mad＋m(m＋1)d2＝0，

①(1)当d＝0时，则a＝0，此时Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝0，与等比数列的定义矛盾；(2)当d≠0时，要使数列{an}的首项a存在，必有①中的Δ≥0．然而Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)d2＜0，矛盾．综上所述，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列．

…………14分22.(本小题满分14分)设函数.（1）若函数在x=1处与直线相切.①求实数a，