2021年辽宁省抚顺市第四十九中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2021年辽宁省抚顺市第四十九中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1..A、B、C三人同时参加一场活动，活动前A、B、C三人都把手机存放在了A的包里，活动结束后B、C两人去拿手机，发现三人手机外观看上去都一样，于是这两人每人随机拿出一部，则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：B2.执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为A．3

B．8

C．9

D．63参考答案：B由输入的值是2，循环一次的值是3，循环两次的值是8，恰好可以满足条件，结束程序，输出的值是8。3.某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有

（

）A．100辆

B．200辆

C．300辆

D．400辆

参考答案：C4.若非零向量，则△ABC的形状是A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形参考答案：C5.已知集合，，则（A）{x|7≤x＜10}

（B）{x|2＜x≤3}（C）{x|2＜x≤3或7≤x＜10}

（D）{x|2＜x＜3或7＜x＜10}参考答案：C6.要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将函数y=cos2x的图象

（

）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位

D.向右平移个单位 参考答案：D7.已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝()A．－1

B.C．－1或

D．1或－参考答案：C8.已知函数，若，且，则的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】经过讨论可知，利用可得，从而将化为；通过求解函数的值域求得的取值范围.【详解】设若，则，不成立；若，则，不成立若，则

设，则当时，，则单调递减当时，，则单调递增本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，本题解题的关键是能够通过讨论得到的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果.9.定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），对于任意x1，x2∈[0，+∞），＜0（x2≠x1），则(

)A．f（﹣1）＜f（﹣2）＜f（3） B．f（3）＜f（﹣1）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜f（﹣1）＜f（3） D．f（3）＜f（﹣2）＜f（﹣1）参考答案：D【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，然后结合函数的单调性进行判断即可．【解答】解：由f（﹣x）=f（x），得f（x）为偶函数，对于任意x1，x2∈[0，+∞），＜0，则当x≥0时，f（x）为减函数，则f（3）＜f（2）＜f（1），即f（3）＜f（﹣2）＜f（﹣1），故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10.已知、、均为单位向量，且满足?=0，则（++）?（+）的最大值是（）A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先将已知等式展开，得到（++）?（+）=2+?（2+），再利用向量的数量积转为关于向量夹角的式子，求最值．【解答】解：∵、、均为单位向量，且满足?=0，∴（++）?（+）=++2++=2+?（2+）=2+||?|2|cos＜，2＞=2+cos＜，2＞，∴当cos＜，2＞=1时，（++）?（+）的最大值是2+．故选B．【点评】本题考查了向量的数量积的定义以及运用，当向量的夹角为0°时，数量积最大．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于．参考答案：?【考点】交集及其运算．【分析】化简M={y|y＞1}，N={y|0≤y≤1}，利用两个集合的交集的定义求出M∩N．【解答】解：集合M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，N={y|y=}={y|0≤y≤1}，故M∩N={y|y＞1}∩{y|0≤y≤1}=?，故答案为：?．12.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是______________.参考答案：函数，作出函数图象，直线过定点A（0,2），其中,，根据图象可知要使两个函数的交点个数有两个，则直线斜率满足。13.已知向量=（sin55°，sin35°），=（sin25°，sin65°），则向量与的夹角为

．参考答案：30°略14.若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是

．参考答案：15.边长为2的等边△ABC的三个顶点A，B，C都在以O为球心的球面上，若球O的表面积为，则三棱锥O-ABC的体积为

．参考答案：设球半径为，则，解得．设所在平面截球所得的小圆的半径为，则．故球心到所在平面的距离为，即为三棱锥的高，所以．答案：

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

曲线C的参数方程是（为参数，且），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为，取线C与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是

参考答案：

曲线即直线的普通方程为，又曲线即圆心为，半径为2的半圆，其方程为，注意到，所以，联立方程组得，解之得，故交点的坐标为.过交点且与曲线相切的直线的普通方程是，对应的极坐标方程为.17.设是平面向量的集合，是定向量，对，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是____________（写出满足条件的所有向量的序号）．

参考答案：①③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.共享单车是指企业在校园、地铁站点、公共站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，是共享经济的一种新形态.某共享单车企业在A城市就“一天中一辆单车的平均成本与租用单车数量之间的关系”进行了调查，并将相关数据统计如下表：租用单车数量x（千辆）23458每天一辆车平均成本y（元）3.22.421.91.5根据以上数据，研究人员设计了两种不同的回归分析模型，得到两个拟合函数：模型甲：，模型乙：.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1元）（备注：，称为相应于点的残差）；租用单车数量（千辆）23458每天一辆车平均成本（元）3.22.421.91.5模型甲估计值

2.421.81.4残差

000.10.1模型乙估计值

2.321.9

残差

0.100

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）这家企业在A城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎并供不应求，于是该企业决定增加单车投放量.根据市场调查，市场投放量达到1万辆时，平均每辆单车一天能收入7.2元；市场投放量达到1.2万辆时，平均每辆单车一天能收入6.8元.若按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，问该企业投放量选择1万辆还是1.2万辆能获得更多利润？请说明理由.（利润=收入-成本）参考答案：解：（1）①经计算，可得下表：租用单车数量（千辆）23458每天一辆车平均成本（元）3.22.421.91.5模型甲估计值3.22.421.81.4残差0000.10.1模型乙估计值3.22.321.91.7残差00.100-0.2②，，因为，故模型甲的拟合效果更好.（2）若投放量为1万辆，由（1）模型甲可知，每辆车的成本为（元），这样一天获得的总利润为（元），若投放量为1.2万辆，由（1）模型甲可知，每辆车的成本为（元），这样一天获得的总利润为（元），因为，所以选择投放1.2万辆能获得更多利润.

19.（本小题满分12分）如图，已知☉O所在的平面，AB是☉O的直径，AB=2，C是☉O上一点，且AC=BC，，E是PC的中点，F是PB的中点.（I）求证：EF//面ABC；（II）求证：EF面PAC；（III）求三棱锥B-PAC的体积.参考答案：20.某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如右）.如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计.试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．参考答案：略21.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，分别为弦与弦上的点，且，四点共圆.（1）证明：是外接圆的直径；（2）若，求过四点的圆的面积与外接圆面积的比值.参考答案：（1）略；（2）试题分析：（1）由已知与圆的切线的性质可得△CDB∽△AEF，∠DBC=∠EFA．利用B，E，F，C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，∠EFA=∠CFE=90°，即可证明．

（2）连接CE，由于∠CBE=90°，可得过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB?BA=2DB2，可得CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB?DA=3DB2，即可得出．试题解析：（1）证明：∵为外接圆的切线，∴，由题设知,故∽，∴.∵四点共圆，∴,故,∴，因此是外接圆的直径.

考点：与圆有关的比例线段22.某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．参考答案：【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴=，解得n=40；（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在20岁以下的