北京房山区实验中学 2021年高三数学理测试题含解析

北京房山区实验中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若Sn=sin，则在S1，S2，…，S2017中，正数的个数是（）A．143 B．286 C．1731 D．2000参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】由于sin＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13=0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．【解答】解：由于sin＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13=0，而S14=0，2017=14×144+1，∴S1，S2，…，S2017中，正数的个数是2017﹣144×2+2=1731．故选：C．2.集合，则a的值为A.1 B.2 C. D.4参考答案：C略3.（多选题）已知向量，，，设的夹角为，则（

）A B. C. D.参考答案：BD【分析】根据题意，求出的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，，，则，，依次分析选项：对于，，，则不成立，错误；对于，，，则，即，正确；对于，，，不成立，错误；对于，，，则，，，则，则，正确；故选：BD．【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．4.已知数列{an}、{bn}满足bn=log2an，n∈N+，其中{bn}是等差数列，且a9a2009=4，则b1+b2+b3+…+b2017=（）A．2016 B．2017 C．log22017 D．参考答案：B【考点】数列的求和．【分析】由已知得an=2，计算可判断{an}为等比数列，于是a1a2017=a9a2009=4，从而得出b1+b2017=2，代入等差数列的求和公式即可．【解答】解：设{bn}的公差为d，∵bn=log2an，∴an=2，∴==2=2d．∴{an}是等比数列，∴a1a2017=a9a2009=4，即2?2=2=4，∴b1+b2017=2，∴b1+b2+b3+…+b2017==2017．故选B．5.已知=，则++…+=

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D略6.已知是虚数单位，则等于A. B. C. D.参考答案：A，选A.7.设向量，，定义一运算：,已知，．点Q在的图像上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.函数的图象大致是A.

B. C.

D.参考答案：C由题意，，排除A；，，，排除B；增大时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，排除D，故选C．9.设是定义在R上的周期为的函数，当x∈[－2，1)时，，则＝（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数的值．B1D

解析：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，∴f（）=f（﹣3）=f（﹣）=4（﹣）2﹣2=﹣1故选：D【思路点拨】既然3是周期，那么﹣3也是周期，所以f（）=f（﹣），代入函数解析式即可．10.已知k＜0，则曲线和有相同的(

)A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．长轴长参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出两个椭圆的焦距，判断选项即可．【解答】解：曲线的焦距为：2；k＜0，的焦距为：2=2．焦点坐标都在x轴上，焦点坐标相同．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若随机变量，且，则=

．参考答案：．∵随机变量，∴正态曲线关于对称，∵，∴．12.已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中的二项式系数为_______.参考答案：1013.

设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=-f(1-x)，若f(3)=2，则f(2013)=

.参考答案：14.=__________参考答案：略15.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，在从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3500元/月）收入段应抽出

人。

参考答案：4016.已知不共线，，当______时，共线.参考答案：17.在中，，，，则的值等于．参考答案：试题分析：根据题意可知，，由，所以，解得.考点：向量的减法，向量的数量积，向量垂直的条件.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.己知函数(Ⅰ)求f(x)的定义域及最小正周期；(Ⅱ)求f(x)的单调递减区间．参考答案：（Ⅰ）由得，，，所以的定义域为．

……2分因为

……4分．

……6分所以的最小正周期为．

……8分（Ⅱ）由，

……10分可得，

……11分所以的单调递减区间为，．………13分19.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足.(1)若.(2)求d的取值范围．参考答案：解：(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5.所以a6＝－3－5＝－8，所以，解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0.两边同乘以8，得16a＋72a1d＋80d2＋8＝0，化简得(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2或d≥2.20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；（2）过右焦点（c，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点F作l的垂线，交直线x=于P点，若的最小值为，试求椭圆C率心率e的取值范围．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a，b即可．（2）设直线l的方程，A，B，P坐标，|PF|=．联立，化为：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．|AB|==．=≥．即可求得椭圆C率心率e的取值范围【解答】解：（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆的标准方程为=1．（2）设直线l的方程为：x=my+c，A（x1，y1），B（x2，y2）．P（）|PF|=．联立，化为：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．∴y1+y2=﹣，y1?y2=，∴|AB|==．∴=≥．令，?b2t2﹣2cbt+c2≥0，上式在t≥1时恒成立，∴椭圆C率心率e的取值范围为（0，1）21.已知函数,其中，相邻两对称轴间的距离不小于

（1）求的取值范围；

（2）在

的面积.参考答案：（2）由（Ⅰ）可知的最大值为1，，，，而，，，由余弦定理知，，

联立解得，。

………………12分22.已知函数在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），（1）求θ的值；（2）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）函数是单调函数，求m的取值范围．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先对函数g（x）进行求导，根据g′（x）≥0在x≥1时成立可得≥，根据θ∈（0，π）可知sinθ＞0，所以sinθ=1求得θ的值．（2）对函数f（x）﹣g（x）进行求导，使其为单调，需m=0时，恒小于0

成立m不等于0时对于h（x）可变为K（x）=mx2﹣2x+m=0的形式求解进而根据对称轴求得所以使K（1）≥0则成立的条件求得m的范围．m＜0时，使K（1）≤0，所以m≤﹣1．综合可得答案．【解答】解：（1）求导得到g′（x）=﹣+≥0在x≥1时成立∴≥∴1≥∵θ∈（0，π）∴sinθ＞0∴sinθx≥1∴