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文档简介
北京房山区实验中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若Sn=sin,则在S1,S2,…,S2017中,正数的个数是()A.143 B.286 C.1731 D.2000参考答案:C【考点】数列的求和.【分析】由于sin>0,>0,…,>0,sin=0,sin=﹣<0,…,sin=﹣<0,sin=0,可得到S1>0,…,S12>0,S13=0,而S14=0,从而可得到周期性的规律,从而得到答案.【解答】解:由于sin>0,>0,…,>0,sin=0,sin=﹣<0,…,sin=﹣<0,sin=0,可得到S1>0,…,S12>0,S13=0,而S14=0,2017=14×144+1,∴S1,S2,…,S2017中,正数的个数是2017﹣144×2+2=1731.故选:C.2.集合,则a的值为A.1 B.2 C. D.4参考答案:C略3.(多选题)已知向量,,,设的夹角为,则(
)A B. C. D.参考答案:BD【分析】根据题意,求出的坐标,据此分析选项,综合即可得答案.【详解】根据题意,,,则,,依次分析选项:对于,,,则不成立,错误;对于,,,则,即,正确;对于,,,不成立,错误;对于,,,则,,,则,则,正确;故选:BD.【点睛】本题考查向量数量积的计算,涉及向量夹角的计算,属于基础题.4.已知数列{an}、{bn}满足bn=log2an,n∈N+,其中{bn}是等差数列,且a9a2009=4,则b1+b2+b3+…+b2017=()A.2016 B.2017 C.log22017 D.参考答案:B【考点】数列的求和.【分析】由已知得an=2,计算可判断{an}为等比数列,于是a1a2017=a9a2009=4,从而得出b1+b2017=2,代入等差数列的求和公式即可.【解答】解:设{bn}的公差为d,∵bn=log2an,∴an=2,∴==2=2d.∴{an}是等比数列,∴a1a2017=a9a2009=4,即2?2=2=4,∴b1+b2017=2,∴b1+b2+b3+…+b2017==2017.故选B.5.已知=,则++…+=
(
)
A、
B、
C、
D、参考答案:D略6.已知是虚数单位,则等于A. B. C. D.参考答案:A,选A.7.设向量,,定义一运算:,已知,.点Q在的图像上运动,且满足(其中O为坐标原点),则的最大值及最小正周期分别是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B略8.函数的图象大致是A.
B. C.
D.参考答案:C由题意,,排除A;,,,排除B;增大时,指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度,排除D,故选C.9.设是定义在R上的周期为的函数,当x∈[-2,1)时,,则=(
)A.
B.
C.
D.参考答案:【知识点】函数的值.B1D
解析:∵f(x)是定义在R上的周期为3的函数,∴f()=f(﹣3)=f(﹣)=4(﹣)2﹣2=﹣1故选:D【思路点拨】既然3是周期,那么﹣3也是周期,所以f()=f(﹣),代入函数解析式即可.10.已知k<0,则曲线和有相同的(
)A.顶点 B.焦点 C.离心率 D.长轴长参考答案:B【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;规律型;函数思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出两个椭圆的焦距,判断选项即可.【解答】解:曲线的焦距为:2;k<0,的焦距为:2=2.焦点坐标都在x轴上,焦点坐标相同.故选:B.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若随机变量,且,则=
.参考答案:.∵随机变量,∴正态曲线关于对称,∵,∴.12.已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中的二项式系数为_______.参考答案:1013.
设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=-f(1-x),若f(3)=2,则f(2013)=
.参考答案:14.=__________参考答案:略15.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图所示)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,在从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在(2500,3500元/月)收入段应抽出
人。
参考答案:4016.已知不共线,,当______时,共线.参考答案:17.在中,,,,则的值等于.参考答案:试题分析:根据题意可知,,由,所以,解得.考点:向量的减法,向量的数量积,向量垂直的条件.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.己知函数(Ⅰ)求f(x)的定义域及最小正周期;(Ⅱ)求f(x)的单调递减区间.参考答案:(Ⅰ)由得,,,所以的定义域为.
……2分因为
……4分.
……6分所以的最小正周期为.
……8分(Ⅱ)由,
……10分可得,
……11分所以的单调递减区间为,.………13分19.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足.(1)若.(2)求d的取值范围.参考答案:解:(1)由题意知S6==-3,a6=S6-S5.所以a6=-3-5=-8,所以,解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a+9a1d+10d2+1=0.两边同乘以8,得16a+72a1d+80d2+8=0,化简得(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤-2或d≥2.20.已知椭圆C:+=1(a>b>0).(1)若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形,求椭圆的标准方程;(2)过右焦点(c,0)的直线l与椭圆C交于A、B两点,过点F作l的垂线,交直线x=于P点,若的最小值为,试求椭圆C率心率e的取值范围.参考答案:【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.【分析】(1)由已知可得:2c=2,2a=4,b2=a2﹣c2,解得a,b即可.(2)设直线l的方程,A,B,P坐标,|PF|=.联立,化为:(b2m2+a2)y2+2mcb2y﹣b4=0.|AB|==.=≥.即可求得椭圆C率心率e的取值范围【解答】解:(1)由已知可得:2c=2,2a=4,b2=a2﹣c2,解得a=2,c=1,b2=3.∴椭圆的标准方程为=1.(2)设直线l的方程为:x=my+c,A(x1,y1),B(x2,y2).P()|PF|=.联立,化为:(b2m2+a2)y2+2mcb2y﹣b4=0.∴y1+y2=﹣,y1?y2=,∴|AB|==.∴=≥.令,?b2t2﹣2cbt+c2≥0,上式在t≥1时恒成立,∴椭圆C率心率e的取值范围为(0,1)21.已知函数,其中,相邻两对称轴间的距离不小于
(1)求的取值范围;
(2)在
的面积.参考答案:(2)由(Ⅰ)可知的最大值为1,,,,而,,,由余弦定理知,,
联立解得,。
………………12分22.已知函数在[1,+∞)上为增函数.且θ∈(0,π),(1)求θ的值;(2)若f(x)﹣g(x)在[1,+∞)函数是单调函数,求m的取值范围.参考答案:【考点】函数与方程的综合运用;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)先对函数g(x)进行求导,根据g′(x)≥0在x≥1时成立可得≥,根据θ∈(0,π)可知sinθ>0,所以sinθ=1求得θ的值.(2)对函数f(x)﹣g(x)进行求导,使其为单调,需m=0时,恒小于0
成立m不等于0时对于h(x)可变为K(x)=mx2﹣2x+m=0的形式求解进而根据对称轴求得所以使K(1)≥0则成立的条件求得m的范围.m<0时,使K(1)≤0,所以m≤﹣1.综合可得答案.【解答】解:(1)求导得到g′(x)=﹣+≥0在x≥1时成立∴≥∴1≥∵θ∈(0,π)∴sinθ>0∴sinθx≥1∴
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