2022年河北省石家庄市鹿泉第一中学高二数学理联考试卷含解析

2022年河北省石家庄市鹿泉第一中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f'（x1）=，f'（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，1）参考答案：A【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据定义得出=8a2﹣2a，相当于6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a的范围即可．【解答】解：f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上的“双中值函数”，∴=8a2﹣2a，∵f'（x）=6x2﹣2x，∴6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，令g（x）=6x2﹣2x﹣8a2+2a，∴△=4+24（8a2﹣2a）＞0，g（0）＞0，g（2a）＞0，2a＞，∴＜a＜．故选A．【点评】考查了新定义类型题的解题方法，重点是对新定义性质的理解．2.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.在四面体中，已知, 该四面体的其余五条棱的长度均为2，则下列说法中错误的是（

）棱长的取值范围是：

该四面体一定满足：

当时，该四面体的表面积最大

当时，该四面体的体积最大参考答案：D略4.如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为(

)A．

B．C．4

D．2参考答案：B5.的值是A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.下列四个命题中，正确的是（

）

A．对于命题，则，均有；

B．函数切线斜率的最大值是2；

C．已知服从正态分布，且，则

D．已知函数则参考答案：D略7.下面使用类比推理正确的是（）A.直线a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，则B.同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥bC.实数a，b，若方程x2+ax+b＝0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b＝0有实数根，则a2≥4bD.以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2＝r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2＝r2参考答案：D【分析】类比推理中，对于不成立的选项通过举反例的形式说明即可.【详解】：当为零向量时，不一定有，故错误；：正方体的某一顶点处的三条棱互相垂直，其中没有两条棱是平行的，故错误；：取，则方程有实根，此时不成立，故错误；：设球上任意一点，则有，故，故正确.故选：D.【点睛】本题考查推理与证明中的类比推理，难度一般.对于一些无法直接证明出真假的命题，可以考虑通过举例的方法尝试推翻结论.8.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元参考答案：B【考点】线性回归方程．【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．9.已知向量，且，那么实数等于(

)A．3

B．

C．9

D．参考答案：D10.若不等式,对一切x恒成立,则a的取值范围是A．

B．(-2,2]

C．(-2,2)

D．(参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是

．参考答案：?x∈R，x2﹣x﹣1≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是?x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：?x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．12.公比为的等比数列的各项都为正数，且，则_______；_________________.参考答案：，略13.抛物线的焦点坐标为_________参考答案：14.定义在上的可导函数,已知的图象如图所示，则的增区间是

.参考答案：R

15.抛物线的准线方程为＿＿＿＿＿参考答案：略16.已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是_________________.参考答案：17.某射手射击所得环数X的分布列如图：X78910P0.10.3y

已知X的均值，则y的值为__________．参考答案：0.4.【分析】由概率的性质得到，再由期望得到的关系式，两式联立，即可得出结果.【详解】由题中分布列，根据概率的基本性质可得，又的均值，所以，即，由，解得.故答案为0.4【点睛】本题主要考查根据分布列与期望求参数，熟记概念即可，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an﹣3，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的通项公式为bn=，求数列{bn}的前项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）求出数列的首项，利用递推关系式求出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．（2）利用裂项法，求解数列{bn}的前项和Tn．【解答】（本题满分12分）解：（1）依题意，当n=1时，2S1=2a1=3a1﹣3，故a1=3．当n≥2时，2Sn=3an﹣3，2Sn﹣1=3an﹣1﹣3，两式相减整理得an=3an﹣1，故…（2）=．故=…19.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．参考答案：略20.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；∵an=bn+bn+1，∴an﹣1=bn﹣1+bn，∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）cn===6（n+1）?2n，∴Tn=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，∴2Tn=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②，①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1]=12+6×﹣6（n+1）?2n+1=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2，∴Tn=3n?2n+2．21.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在的直线上.（1）分别求AD边，CD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.参考答案：解：(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3．……2分又因为点T(-1，1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0．…………4分由解得点A的坐标为(0，-2).…………6分因为矩形ABCD的两条对角线的交点为M(2，0),所以C(4,2)…………8分所以CD边所在直线的方程为x-3y+2=0,…………10分(2)M为矩形ABCD外接圆的圆心．又|AM|=,………………12分从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.……14分22.（本题满分12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增.（1）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．

参考答案：解：（１）依题意f