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无穷級数习题课2019年8月南京航空航天大学理学院数学系、主要内容un为常数∑an为函数an(x)常数项级数取x=函数项级数正收幂级数三级数项半泰勒展开式‖博氏展开式数1R(x)→0满足狄氏条件豪勒级数民级数在收敛级数与数条件下相互转化数数或函数函数2019年8月南京航空航天大学理学院数学系常数项级数定义∑n=1+l2+a3++L+级数的部分和Sn=m1+n2+…+an=∑级数的收敛与发散常数项级数收敛(发散)分lms存在(不存在)2019年8月南京航空航天大学理学院数学系收敛级数的基本性质性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和级数收敛的必要条件:limn=0.2019年8月南京航空航天大学理学院数学系常数项级数审敛法般项级数正项级数任意项级数1.若S→S,则级数收敛;2.当n→∞,n→0,则级数发散;3按基本性质4绝对收敛4充要条件4绝对收敛5比较法5交错级数6比值法(莱布尼茨定理)7根值法2019年8月南京航空航天大学理学院数学系2、正项级数及其审敛法定义∑un,n≥0审敛法正项级数收敛部分和所成的数列S有界(1)比较审敛法若∑an收敛(发散)且nsun(an≤n),则∑vn收敛(发散)2019年8月南京航空航天大学理学院数学系(2)比较审敛法的极限形式设∑n与∑v都是正项级数如果li。则(1)当0<l<+∞时,级数有相同的敛散性;(2)当=0时,若∑v收敛,则∑n收敛;(3)当1=+0时,若∑v发散,则∑ln发散;2019年8月南京航空航天大学理学院数学系3)极限审敛法设∑n为正项级数,如果limnu=l>0(或ilimnu=∞),n→0则级数∑ln发散;如果有P>1,使得limn"un存在,n→则级数∑un收敛2019年8月南京航空航天大学理学院数学系(4)比值审敛法(达朗贝尔D'Alembert判别法)设∑a是正项级数如果lmn“=p(p数或+∞)则p<1时级数收敛;p>1时级数发散;p=1时失效(5)根值审敛法(柯西判别法设∑un是正项级数,如果im"un=p(P为数或+∞),则p<1时级数收敛;p>1时级数发散;p=1时失效2019年8月南京航空航天大学理学院数学系3、交错级数及其审敛法定义正、负项相间的级数称为交错级数∑11)”a或∑(-1)an(其中un>0)H=1莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(i)ln≥ln+1(n=1,2,3,…);(i)l

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