2022年云南省昆明市第二十九中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2022年云南省昆明市第二十九中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，根据勾股定理得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，如图（3），正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，…以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．2.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足，则（

）A.-1 B.1 C.-4 D.4参考答案：B【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式，求出公差与公比，进而可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，解得，因此，所以.故选B3.已知直二面角，点A∈α，AC⊥，C为垂足，B∈β，BD⊥，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(

)A．

B．

C．

D．1参考答案：C4.已知函数y=xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数y=xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可【解答】解：由函数y=xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选C．5.若，则下列不等关系中，不能成立的是（

） A．

B． C．

D． 参考答案：C略6.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0②S4029＞0③S4030＜0④数列{Sn}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】推导出等差数列的前2015项和最大，a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，由此求出S4029＞0，S4030＞0．【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，∴等差数列的前2015项和最大，∴a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①和④错误；再由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；S4030==2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．故选：A．7.在棱柱中满足(

)A.只有两个面平行

B.所有面都平行C.所有面都是平行四边形

D.两对面平行，且各侧棱也相互平行参考答案：D8.直线的倾斜角的取值范围是

（）A． B． C．

D．参考答案：B略9.如图所示，正方形ABCD和正方形DEFG，原点O为AD的中点，抛物线经过C，F两点，则直线BE的斜率为（

）A. B.C. D.参考答案：B设正方形和正方形的边长分别为，由题可得，，则解得，则，，直线的斜率，故选B．10.设集合，则A∩B=（

）A.{－1,0,1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{1,2}参考答案：C【分析】根据交集的定义，即可求出结果。【详解】，故选C。【点睛】本题主要考查交集的运算。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)参考答案：1,1,3,3略12.已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上的两个动点，若，则的最大值为__________．参考答案：（或60°）如图依抛物线的定义，可得，，∴，由余弦定理得，∴，故答案为.13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线4x﹣3y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．参考答案：（﹣5，5）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由条件求出圆心，求出半径，由数形结合，只需圆心到直线的距离圆心到直线的距离小于半径和1的差即可．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心为O，半径等于2，圆心到直线的距离d=，要使圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线4x﹣3y+c=0的距离为1，应有＜2﹣1，即﹣5＜c＜5，故答案为（﹣5，5）．14.已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R,则的最大值为

;参考答案：615.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn+1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2014(x)＝________.参考答案：cosx-sinx16.下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是____．参考答案：；??;17.复数z＝（i为虚数单位），则z对应的点在第▲象限．参考答案：四

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.参考答案：.解：(1)证明：取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC?平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC，又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°.所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形.所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点.连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM?平面BEC，EF?平面BEC，所以DM∥平面BEC.19.已知动圆过定点F（0，1），且与定直线y=﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心M所在曲线C的方程；（Ⅱ）直线l经过曲线C上的点P（x0，y0），且与曲线C在点P的切线垂直，l与曲线C的另一个交点为Q．①当x0=时，求△OPQ的面积；②当点P在曲线C上移动时，求线段PQ中点N的轨迹方程以及点N到x轴的最短距离．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹的方程；（Ⅱ）①求出直线l的方程，与抛物线得方程x2+4x﹣10=0，求出|PQ|，点O到直线l的距离，即可求△OPQ的面积；②求出N（x，y）的轨迹方程为

，利用基本不等式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题知，点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线y=﹣1的距离，所以点M所在的曲线C是以F（0，1）为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线…∴曲线C的方程是：x2=4y…（Ⅱ）由（1）有曲线C：，∴…①当时，，曲线C在点P的切线的斜率是，所以直线l的斜率∴…设Q（x1，y1）联立得方程…∴，又点O到直线l的距离从而可得…②由题有曲线C在点P的切线的斜率是，当x0=0时不符合题意，∴x0≠0，所以直线l的斜率，点，∴=1设点Q（x1，y1），点N（x，y），有从而可得，∴∴，=2②将②代入①消x0得：，∴N（x，y）的轨迹方程为

…∵点N（x，y）到x轴的距离为|y|，由轨迹方程知，当且仅当x4=8时取等号∴点N到x轴的最短距离为…20.已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．21.如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.(1)求证：；(2)若平面，则侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

参考答案：(1)证明：据题意可知四棱锥为正四棱锥，连接交于 ………………2分

面，且，为在底面内的射影，

…4分由三垂线定理，可得

……………6分

(2)解：如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，令，

…………9分由平面知为平面的一个法向量，平面，