华东师范大学数学分析2009试题及解答

华东师大

2009年数学分析考研试题

.

a,A,B均为实数，则

一．判断下列各题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例

1.设limgxA，limfyB，此处

xa

limfgxB.

xa

yA

2.设fx为闭区间

a,b上不恒为零的连续函数，

.

Dx为

Dirichlet函数，则

fxDx在a,b上不可积

3.存在实数

a0，an，bnn1,2,使得

a0acosnxnsinnx1,x1,2.

2n1n

n

0,x4,5

4.已知

5.如果

fx在

x2处连续，且

fx

lim

1，证明

x2

x2

fx在x0的一个邻域内连续

fx在x2处可导

.

.

fx在x0处可导，则

n

6.若多项式函数列

式函数

.

Px在,上一致收敛于函数

fx，则

fx必是多项

二．计算下列各题

ax11x

lim

a1x.

x

1.设a0，a1，求极限

2.设圆盘

盘的质量

xa2yb2R2上的各点的密度等于该点到其圆心的距离，求此圆

.

l为任何固定方向，

3.设S为R3中封闭光滑曲面，

n为曲面

S的外法线方向，求

cosn,ldS.

S

三．证明下列各题

1.设P0是曲面

S:x2y2z21外一点，

2

2

2

a

b

c

P1S，若PPmaxPP，求证直线

10

0

PS

PP0

1

是S在点

P1处的法线

.

1

y3siny

2.设f

x,yx2yx2,x0，证明

0,

x0

fx,y在原点处沿任何方向的的方向导数存

在，但不可微

.

已知

3.设ab，cd均为实数，

fx在

a,b上单调，

值域为

c,d，证明

fx在

a,b上一致连续

4.设数列

证明数列

.

an0，

an满足条件：

n1,2,且

an

0，

na

n2

an4

lim

an无界

.

5.设fx在

0,上连续且有界，证明对任意正数

T，存在

xn，使得

limfxnTfxn0.

n

6.设函数

证明

fx在闭区间

若对任意

a,bab上可积，

fx0，则存在

fxdx0，

b

a

xa,b，有

c,da,b，cd使得对任意

xc,d，均有

fx0.

2

华东师大

一．1.解

反例.设

错误.

2009年数学分析考研试题解答

f

yB,yA，

C,yA

xa

CB，gxA，显然

limgxA，limfyB，

xa

yA

但fgxC，limfgxCB.

2.解正确

.

由fx在a,b上连续不恒为零，

可知，存在

显然

从而

c,da,b，使得

fx在c,d上有

fxM0，

fxDx在c,d上不可积，

fxDx在a,b上不可积

.

2的连续可微函数

.

3.解正确

可选取到周期为

fx，且当

x1,2时，

fx1；

x4,5时，

fx0，

取a0，an，bn为fx的Fourier系数，

则有

结论得证

a0acosnxnsinnxfx，x,，

2n1n

n

.

4.解正确，

因为

f

2limfxlimfxx20，

x2

x2

x2

fxf2

fx

lim

lim

1，

x2

x2

x2

x2

所以

5.解

反例

显然

fx在x2处可导

错误

.

.

设fx

x2,x为无理数

0，x为有理数

fx在x0处可导，但

，

fx在x0处不连续

3

.

6、设实系数多项式序列

证明

因为实系数多项式序列

{fn(x)}在R上一致收敛于实值函数

{fn(x)}在R上一致收敛于实值函数

NN*，使得当

f(x)，证明：

f(x)也是多项式。

f(x)，

所以对任意

又因为

0，存在

m,nN时，有

fn(x)fm(x)，

fn(x)fm(x)也是多项式，

若fn(x)fm(x)不为常数，

则当

x趋于无穷时，

fn(x)fm(x)

也趋于无穷，矛盾。所以

由上面结论及

fn(x)fm(x)an,m，其中

{an,m}为一无穷小序列。

fn(x)是多项式，可知当

nN时，

fn(x)P(x)bn，

其中

P(x)为某一固定的多项式，

{bn}为某一收敛数（因为

bnbman,m为柯西列）

因为由已知条件

f(x)fn(x)f(x)P(x)bn，

一致收敛于

所以有

0,及limbnb，

n

f(x)P(x)b，即

f(x)也是多项式，结论得证。

二．

1.解

lima

x1

xa1x

1

x

lim

ax11xlim11x

x

a1xx

lime

x

1lnax1

xa1

，

1axlna

lim1lna1limax1

x

xx

a1x

1

lnalim

ax

xax1

lna,a1

0,0a1，

ax11x

lim

a1xa，

x

4

当a1时，

当0a1时，

ax11x

lim

a1x1.

x

2.解

x,y

xa2xb2

Mx,ydxdy

D

2dRrrdr

0

0

21R32R3.

3

3

3.解设ll1,l2,l3，则

cosn,ll1cosn,xl2cosn,yl3cosn,z，

2

cosn,yl3cosn,zdS

利用高斯公式，则有

cosn,ldSlcosn,xl

1

S

S

l1l2l3dxdydz

xyz

0dxdydz0.

三．

1.证明

设P0x0,y0,z0，Px,y,z，

xx02yy02zz02，

fx,y,zPP0

显然

fx,y,z在S上连续，

S为有界闭集，

fx,y,z在S上达到最大值，

设f在P1x1,y1,z1S处达到最大值，

令Lxx02yy02zz02xyz1，

2

2

2

abc

2

2

2

L2xx2x0，

x

0

a2

L2yy2y0，

y

0

b2

L2zz2z0，

z

0

c2

令

xx0,yy0,zz0

x,y,z，

a2b2c2

在P1处取到条件极值，必是

L的驻点，

x1x0,y1y0,z1z0x12,y12,z12，

即得

P1x1,y1,z1满足

a

b

c

5

曲面

所以直线

2.证明

S在P1的法线方向为

PP0是S在点

1

x1,y1,z1，

a2b2c2

P1处的法线

.

lim

x,y0,0

由

fx,yf(0,0)y，即得

fx,yf0,00，

表及里所以

对任意方向

fx,y在

0,0处连续，

h12h221，

hh1,h2，

fth1,th2f0,0sinh2,h10，

h

lim

t

t0

0,h10

1

f存在，

h

显然

当

fx0,00，fy0,00，

x2y20，

x0时，

fx,yf0,0fx0,0xfy0,0y

x2y2

y3siny

x

x2y2

x2y2

.

的极限不存在，

所以

3.证明

所以

fx,y在

因为函数

0,0处不可微

fx的值域为开区间

c,d，

fx在

a,b上具有介值性质，

又fx在

可以得到

a,b上单调，

fx在

a,b上连续，

limfx，limfx存在且有限，

xb

xa

由fx在

从而知

4.证明

假若数列

a,b上单调有界，所以

fx在

用反证法

a,b上一致连续

.

an有界，存在

M0，使得

0anM，

6

由条件知

limanlim

n

an

na

an2an40，

n2

an4

对1，存在正整数

N，当nN时，

4

有0an1an2an4，nN,N1,，

4

令Nsupan，N0，

nN

an1NN1N，

4

2

于是有

N1N，从而显然有

2

则有

nN,N1,，

N0，

这与

N0矛盾，所以数列

an无界

.

T0，对所有

x0，

5、

设f(x)在区间

(0,)上连续有界，且对某个

有f(xT)f(x)，

试证：存在数列

证明

{xn}(0,)，limxn，使得

n

lim(f(xnT)f(xn))0。

n

g(x)f(xT)f(x)，

依题设条件，可得必有

不妨设

g(x)0或g(x)0，x(0,)

g(x)0，x(0,)

我们断定，

否则由

0，对于任意大的

A0，不可能对所有

xA，恒有

g(x)，

g(x